广东省开平市忠源纪念中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版+原卷）

这是一份广东省开平市忠源纪念中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版+原卷），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. ax2+bx+c＝0
C. (x﹣1)(x﹣2)＝0D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2
2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A. B. C. D.
3. 抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（ ）
A. y轴B. 直线x=﹣1C. 直线x=1D. 直线x=﹣3
4. 一元二次方程 的实数根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
5. 已知x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则实数a的值是（ ）
A. ﹣1B. 1C. 0D. 2
6. 已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（ ）
A. 其图象的开口向下B. 图象的对称轴为直线x＝﹣1
C. 函数最大值为5D. 当x＞1时，y随x的增大而增大
7. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2B. y1＜y2C. y1＝y2D. 无法判断
9. 若，则代数式的值（ ）
A. -1B. 3C. -1或3D. 1或-3
10. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11. 一元二次方程的根是_____．
12. 二次函数的顶点坐标是_____．
13. 若关于x的方程是一元二次方程，则m＝____.
14. 抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是___________．
15. 已知三角形两边长分别是和，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长等于_________．
16. 设，是一元二次方程的两根，则_______．
17. 二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，，．其中正确的有______．
三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
18. 用合适的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
四、解答题（一）（本大题共5小题，共33.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根．
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？
21. 如图，一小球沿与地面成一定角度方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
22. 已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，原方程有两个实数根，，求的值．
五、解答题（二）（本大题共2小题，共24.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. 二次函数图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点，其顶点为D．
求这个二次函数的表达式；
求的面积．
24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
（1）若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天䇔利最多？
25. 如图，抛物线y=+bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并予证明．
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年第一学期九年级数学（上）期中试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. ax2+bx+c＝0
C. (x﹣1)(x﹣2)＝0D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、是分式方程．错误；
B、当a＝0时不是一元二次方程，错误；
C、是，一元二次方程，正确；
D、3x2+2＝x2+2(x﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
3. 抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（ ）
A. y轴B. 直线x=﹣1C. 直线x=1D. 直线x=﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定对称轴．
【详解】解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式与抛物线的性质之间的关系，关键是明确抛物线的顶点坐标及开口方向．
4. 一元二次方程 的实数根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据根的判别式的值的符号即可出判断．
【详解】解：∵，，，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
5. 已知x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则实数a的值是（ ）
A. ﹣1B. 1C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】将x＝1代入x2﹣2x+a＝0得到关于 a的方程，解之可得．
【详解】解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+a＝0，
得：1﹣2+a＝0，
解得：a＝1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，正确求解a的值是解决本题的关键．
6. 已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（ ）
A. 其图象的开口向下B. 图象的对称轴为直线x＝﹣1
C. 函数的最大值为5D. 当x＞1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案．
【详解】y＝3（x﹣1）2+5中，
∵a＝3＞0，
∴图象开口向上，故A错误；
对称轴为：x＝1，故B错误；
函数有最小值为5，故C错误；
当x＞1时，y随x的增大而增大，故D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记其用顶点式表示的二次函数的性质是解决本题的关键．
7. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据该企业某月份的生产总值以及经过两个月连续降低的生产总值，即可得到关于的一元二次方程，进而得到本题的正确选项．
【详解】解：依题意可得：，
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题的相关知识点，找出等量关系正确列出方程是解题的关键．
8. 已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2B. y1＜y2C. y1＝y2D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】将点A（﹣1，y1），点B（2，y2）分别代入y＝﹣3x2+2，求出相应的y1、y2，即可比较大小．
【详解】解：∵点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，
∴当x＝﹣1时，y1＝﹣1，
当x＝2时，y2＝﹣10，
∴y1＞y2，
故选A．
【点睛】此题考查二次函数的图象上点的特点，能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．
9. 若，则代数式的值（ ）
A. -1B. 3C. -1或3D. 1或-3
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法解方程即可.
【详解】设=x，原方程变为：
，
解得x=3或-1，
∵≥0，
∴
故选B.
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，设=x，把原方程转化为是解题的关键.
10. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，
∴△=，解得：，
又∵m为正整数，
∴m=1或2或3，
（1）当m=1时，原方程为x2+2x-1=0，此时方程两根均不为整数，故m=1不符合要求；
（2）当m=2时，原方程为x2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；
（3）当m=3时，原方程为x2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；
∴ m=2或m=3符合题意，
∴m的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.
故选B.
【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程中，若方程有两个实数根，则△=”是解答本题的关键.
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11. 一元二次方程的根是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：或，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12. 二次函数的顶点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线顶点式的性质直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
的顶点坐标是：，
故答案为：；
【点睛】本题考查抛物线顶点式的顶点是．
13. 若关于x的方程是一元二次方程，则m＝____.
【答案】-3
【解析】
【详解】∵是关于的一元二次方程，
∴ ，解得.
点睛：解这道题需注意两点：（1）一元二次方程中，二次项系数不能为0；（2）一元二次方程中未知数的最高次数为2.
14. 抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
15. 已知三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长等于_________．
【答案】13
【解析】
【分析】首先从方程中，确定第三边的边长为2或4；再检验2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【详解】解：由方程，得：
解得，，
当第三边是2时，，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，，能构成三角形，三角形的周长为4＋3＋6＝13．
故答案为：13．
【点睛】本题解一元二次方程和三角形三边关系，求三角形的周长，注意检验三边长能否成三角形．
16. 设，是一元二次方程的两根，则_______．
【答案】0
【解析】
【分析】直接根据根与系数关系求解．
【详解】解：、是方程的两根，
，，
．
故答案为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
17. 二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，，．其中正确的有______．
【答案】②③⑤
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
，，，
，，
，；故①错误，故②正确；
∴当时，y有最大值，即为，
当时，，即为，故③正确；
对称轴是直线，与轴交点在左边，
二次函数与轴的另一个交点在与之间，
，故④错误；
，
，
，
，
，
，
，，
，故⑤正确；
故正确有②③⑤，
故答案②③⑤
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键．
三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
18. 用合适的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法可进行求解；
（2）根据公式法可进行求解方程；
（3）根据因式分解法可进行求解方程．
【小问1详解】
解：
解得：；
【小问2详解】
解：
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
四、解答题（一）（本大题共5小题，共33.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根．
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1），；
（2）证明见详解；
【解析】
【分析】（1）将方程的根代入求解即可得到的值，再结合根与系数关系直接求解即可得到另一个根；
（2）计算判别式结合完全平方公式即可得到证明；
【小问1详解】
解：∵方程的一个根为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握，判别式大于0一元二次方程有两个不相等的实数根．
20. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？
【答案】围成矩形的长为8m、宽为6m
【解析】
【详解】试题分析：设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m．
由题意，得 x•（20﹣2x）=48，
解得 x1=4，x2=6．
当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去），
当x=6时，20﹣2×6=8．
答：围成矩形的长为8m、宽为6m．
考点：一元二次方程的应用．
21. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【答案】（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【解析】
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
【详解】解：（1）当y=15时，
15=﹣5x2+20x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y=0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x3=0，x2=4，
∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22. 已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，原方程有两个实数根，，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到k的范围；
（2）当时，原方程为：，得出，，代入即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，即，解得，
∴k的取值范围为；
【小问2详解】
解：当时，原方程为：，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
五、解答题（二）（本大题共2小题，共24.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. 二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点，其顶点为D．
求这个二次函数的表达式；
求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）将点A与点C坐标代入计算可得；
（2）先求出抛物线的顶点坐标及点B坐标，再利用割补法求解可得．
【详解】（1）将点A（1，0），C（0，5）代入解析式，得：，解得：，∴此二次函数表达式为y=﹣x2﹣4x+5；
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E．
∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，∴D（-2，9），当y=0时，﹣x2﹣4x+5=0，解得：x1=1，x2=﹣5，∴B（﹣5，0），则S△BCD=S梯形OBDE﹣S△BOC﹣S△CDE（2+5）×95×52×44=15．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质，割补法求三角形的面积．
24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
（1）若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天䇔利最多？
【答案】（1）每件衬衫应降价元
（2）每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．
（2）设商场平均每天赢利元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得，．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降元．
答：每件衬衫应降价元．
【小问2详解】
设商场平均每天赢利元，则
．
当时，取最大值，最大值为．
答：每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据题意列出方程与函数关系式是解题的关键．
25. 如图，抛物线y=+bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并予证明．
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；(2)△DCB为直角三角形，理由详见解析；(3) 存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），故设抛物线为两点式方程y=a（x﹣1）（x+3），把点C的坐标代入即可求得a的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；
（2）过D作DT⊥y轴于T，则可求得∠DCT=45°，∠BCO=45°，则可判断△BCD的形状；
（3）可设出P（﹣1，t），则可分别表示出AP、CP、AC的长度，分AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况分别可得到关于t的方程，可求得P点坐标．
【详解】解：（1）点A（1，0）关于x=﹣1的对称点B（﹣3，0），
设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y=a（x﹣1）（x+3），
该抛物线又过C（0，3），则有：3=﹣3a，解得a=﹣1，
即y==﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；
（2）△DCB为直角三角形，理由如下：
过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，
则T（0，4）．
∵DT=TC=1，
∴△DTC为等腰直角三角形，
∴∠DCT=45°，
同理可证∠BCO=45°，
∴∠DCB=90°，
∴△DCB直角三角形；
（3）设P（﹣1，t），
∵A（1，0），C（0，3），
∴==，==，==10，
∵△APC为等腰三角形，
∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况，
①当AP=CP时，则有=，即=，解得t=1，此时P（﹣1，1）；
②当AP=AC时，则有=，即=10，解得t=，此时P（﹣1，）或（﹣1，）；
③当CP=AC时，则有=，即=10，解得t=0或t=6，此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．