2025绵阳南山中学高二上学期期中考试数学试题含答案

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一、选择题
填空题
12. 9 13. 14.
四、解答题
15.解：(Ⅰ)法一：因为AB边所在直线的方程为，所以．又因为矩形ABCD中，，所以,所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：，即；
法二：因为，设AD边所在直线的方程为：
又因为直线AD过点，所以将点代入上式得:．所以AD边所在直线的方程为：；
(Ⅱ)由，得：，得AC所在直线的方程：，即．
16.解：（Ⅰ）由题可设圆C的方程为，则有，解得；所以圆C的标准方程为：；
（Ⅱ）因为，所以过的切线有两条，当斜率存在时，设切线方程为：即，所以有：，解得：；
所以的方程为：。
17.解：（Ⅰ）因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得A0,0,0，，，，，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
（Ⅱ）由（1）得直线的一个方向向量为
平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（Ⅰ）由已知,所以C的标准方程为：；
（Ⅱ）设，则有两式相减可得：
即，
即，为定值；
（Ⅲ）设的方程为：，，
由消去得： ，
令，，当且仅当时，取“=”，所以面积的最大值为1.
19.解:（Ⅰ）因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P轨迹方程为
（Ⅱ）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则所以，即点P在圆上，则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，
故直线的方程为。
( ii )设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为.
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，所以圆H的方程为.
假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，
由可得，所以，
代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选 项
A
A
B
C
C
D
C
D
ABC
AD
ACD