福建省三明市永安九中、沙县区金沙高级中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

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完卷时间：120分钟满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
2. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（）
A. B. C. D.
3. 直线与圆的位置关系是（）
A. 相交且过圆心B. 相切
C. 相离D. 相交但不过圆心
4. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（）
A. B. C. D.
5. 若空间中有三点，则点到平面距离为（）
A. B. C. D.
6. 将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（）
A. B.
C. D.
7. 已知点为直线上任意一点，则的最小值是（）
A. B. 2C. D.
8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（）
A. B.
C. D. 不是平面一个法向量
10. 若圆与圆相交，则k的取值可能为（）
A. B. 0C. 3D. 5
11. 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法中正确的是（）
A. 椭圆的蒙日圆方程为
B. 过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为为直角时，直线的斜率为
C. 若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D. 若为正方形，则的边长为
三、填空题（本大题共15分，每小题5分）
12. 已知定点，点为圆上动点，则的中点的轨迹方程为______.
13. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________．
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0， 3)，圆.若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是_____．
四、解答题（本大题共77分，15题13分，16、17题15分，18、19题17分）
15. 已知直线和点．
（1）求经过点，且与直线平行的直线的方程；
（2）求经过点，且与直线垂直的直线的方程；
（3）求点关于直线对称的点的坐标；
16. 已知椭圆：的离心率为，焦距为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
18. 已知直线：，：，且满足，垂足为C.
（1）求m的值及点C的坐标.
（2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求外接圆方程.
19. 阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
2024-2025学年上学期永安九中、沙县区金沙高级中学“联考”试卷
高二数学
完卷时间：120分钟满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题（本大题共15分，每小题5分）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题（本大题共77分，15题13分，16、17题15分，18、19题17分）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1），
（2）．
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析