北京市第八十中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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2024年10月
（考试时间120分钟满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解集合，再根据补集的定义即可得出答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2. 下列函数中是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.
【详解】解：对于A，因为函数定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A不符题意；
对于B，函数定义域为，
，所以函数为偶函数，故B符合题意；
对于C，函数的定义域为，
，所以函数不是偶函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
因为，所以函数不是偶函数，故D不符题意.
故选：B.
3. 已知，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特值法可排除，，，根据在上单调递增，可判断项.
【详解】当时，，故错误；
当，时，，故错误；
因为在上单调递增，且，所以，故正确；
当，时，，故错误.
综上，正确的为.
故选：.
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.
【详解】，所以，排除AC，且，排除D.
故选：B
5. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（ ）
A. 增函数且有最大值B. 增函数且有最小值
C. 减函数且有最大值D. 减函数且有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.
【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5，
所以，
又为奇函数，
所以函数在区间上是增函数，且有最大值.
故选：A
6. 随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数增长模型计算即可.
【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，
根据题意可得，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，
所以2030年年底该地区的农民人均年收入为元．
故选：B.
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为，根据基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立；
所以的最小值为5，
故选：D.
8. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.
【详解】依题意，集合或，
而，则或，
由韦恩图知，图中阴影部分表示集合为.
故选：C.
9. “”是“关于x的不等式对恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求不等式恒成立时的取值范围，再根据集合的关系，即可判断.
【详解】不等式对恒成立,
当时，恒成立，
当时，，得，
所以，
所以“”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
10. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.
【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立，
不妨假设，则，可得，即，
可知函数在R上递减，
则，解得：，
所以的取值范围是.
故选：D.
11. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域
【详解】当时，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，又
所以；
当时，，
所以，的值域为.
故选：B.
12. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ）
A 没有最大元素，有一个最小元素
B. 没有最大元素，也没有最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素
D. 有一个最大元素，没有最小元素
【答案】C
【解析】
【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误
【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；
若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；
若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；
有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.
故选：C
二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
13. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解.
【详解】函数的定义域需满足2x−1≠02−x>0，得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14. 关于的不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】因式分解后，即可求解不等式.
【详解】，得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
15. 计算：______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解.
【详解】.
故答案为：
16. 命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．
【答案】∃x0＞0，x02+2x0-3≤0
【解析】
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【详解】命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0，
故答案为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
17. 已知，当时，函数的最小值是______，最大值是______.
【答案】 ①. ##0.4 ②. 2
【解析】
【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值.
【详解】，且，
，
因为，，
所以，
所以，即，
所以在上为减函数，
则，
故答案为：，.
18. 如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先设，再根据条件，用表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解.
【详解】设，纸的用量为，则，
所以，
，
当时，即，
所以当时，最少的纸的用量为.
故答案为：；
19. 函数的单调递增区间是______.
【答案】和
【解析】
【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解.
【详解】，
当时，，是函数的单调递增区间，
当时，，是函数的单调递增区间，
所以函数的单调递增区间是和.
故答案为：和
20. 函数的值域是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数的值域可得，再利用不等式的性质即可求解.
【详解】因为函数定义域为，又，
所以，
所以，即，
故答案为：.
21. 已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得两个函数的值域的包含关系，进而可列关于的不等式，求解即可.
【详解】因为对任意，总存在，使成立，
即成立，
设，因为，所以，
当时，，不符合题意；
当时，可得，则，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述，实数m的取值范围为.
故答案为：.
22. 已知函数满足，若函数与图象的m个交点为，则的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解.
【详解】由条件得，，所以关于点对称，
关于点对称，所以函数与图象的m个交点有对关于点对称，
所以，，
所以.
故答案为：
三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
23. 记全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求a的取值范围；
（3）若，求a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；
（2）根据题意可得到有关的一个方程组，求解即可；
（3）分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
若，则，又或，
则，；
【小问2详解】
集合，或，，
所以，解得，
所以a的取值范围为；
【小问3详解】
因为，则，
，或，
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
综上,若，求a的取值范围为或.
24. 已知函数
（1）当，的最大值为3，求实数m的值.
（2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；
（2）先根据不等式得到在上恒成立，令，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.
【小问1详解】
已知，
当时，函数在上递增，
所以，解得；
当时，函数在上递减，
所以，矛盾；
当时，函数在上递减，在上递增，
所以或，解得，均不符合题意；
综上；
【小问2详解】
当时，若不等式恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，该函数对称轴为，
①当，即时，函数在上递减，
只需让即可，
则，解得，即；
②当，即时，
此时，
解得，即；
③当，即时，函数在上递增，
此时，解得，即；
综上m的取值范围为.
25. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；
（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？
【答案】（1）
（2）15
【解析】
【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；
（2）由（1）分，，三种情况讨论即可的解．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
当时，，
关于的函数解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，，解得舍去，
当时，，解得，
当时，，解得舍去，
综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为15.
26. 已知函数是定义在R上奇函数，且.
（1）求函数的解析式以及零点.
（2）判断并用函数单调性的定义证明在−1,0的单调性.
（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的准确示意图.
【答案】（1），零点为0
（2）函数在上单调递减，证明见详解；
（3）图象见详解.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质和可解得，的值，即可得函数的解析式；令可解得函数的零点；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.
【小问1详解】
因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，解得，
又，即，解得，
所以，
令得，解得，即函数的零点为0；
【小问2详解】
函数在上单调递减；
证明：设，
则，
因为，所以，，x12+1x22+1>0，
所以fx1−fx2=x1−x2x1x2−1x12+1x22+1>0，即，
所以函数在上单调递减；
【小问3详解】
函数的图像如下：
27. 设集合为非空数集，定义，．
（1）若，写出集合、；
（2）若，，且，求证：；
（3）若，且，求集合元素个数的最大值．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）1348
【解析】
【分析】（1）根据定义，，直接求解即可，
（2）由题意利用集合中的元素间的关系及可证明，
（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求的范围，即可求出最大值．
【小问1详解】
由题意，得，，
【小问2详解】
证明：因为，，且，
所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为，
又因为，所以且，
所以集合中其他元素为，，，
即，剩下的，
因为，所以，
即，即，所以
【小问3详解】
设，满足题意，其中，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
中最小的元素为0，最大的元素为，
所以，
实际当，时满足题意，证明如下：
设，，
则，，
由题意得，
即，故的最小值为674．
即时，满足题意，
综上所述，集合中元素的个数为（个．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到，进而证明符合题意.
每户每月用水量
水价
不超过12的部分
3元/
超过12但不超过18的部分
6元/
超过18的部分
9元/