北京市首都师范大学附属育新学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，若，，，则或者异面，故A错误，
对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误，
对于C，若，，则或者，故C错误，
对于D，若，，则，D正确，
故选：D
2. 下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）
A. 两两垂直B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解.
【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；
对于B，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故B错误；
对于C，由共面定理可知非零向量共面，故C错误；
对于D，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D错误.
故选：A.
3. 在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解直角三角形可求点到直线AC1的距离.
【详解】
如图，连接，由正方体的性质可得，，
故到距离为，
故选：C.
4. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（ ）
A. B. 10C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面垂直得到与平行，设，得到方程组，求出.
【详解】直线l与平面垂直，故与平行，
设，即，解得.
故选：D
5. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由，即可求出答案.
【详解】连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故选：C.
6. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解之得
于是直线，即，
所以与之间的距离为.
故选：A
7. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的对称性可得过圆的圆心且直线与直线垂直，从而可求出.
【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，
故直线与直线垂直，且直线过圆心，
所以，，所以，.
故选：A
【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.
8. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值.
【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为，
又，即在圆内，
当时，圆心到直线的距离最大为，
此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为．
故选：A.
9. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】找出与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.
【详解】由圆的方程为可得圆心，半径，
若圆与函数相交，则圆心到直线的距离，
即，
若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部，
即，解得，
综上函数的图象与圆有四个公共点则，
所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件，
故选：B
10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得到点的距离为3
C. 在上存在点，使得
D. 上的点到直线的最小距离为1
【答案】C
【解析】
【分析】对A：设点Px,y，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点Mx,y，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断.
【详解】对A：设点Px,y，
∵，则，整理得，
故C的方程为，故A正确；
对B：的圆心，半径为，
∵点到圆心的距离，
则圆上一点到点的距离的取值范围为，
而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；
对C：设点Mx,y，
∵，则，整理得，
∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，
又，则两圆内含，没有公共点，
∴在C上不存在点M，使得，C不正确；
对D：∵圆心到直线的距离为，
∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；
故选：C.
【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可.
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为.则该圆锥的体积为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，从而求出圆锥底面半径，再利用锥体的体积公式即可求解.
【详解】
因为圆锥底面半径、高、母线构成一个，
又，，
所以底面圆半径，
则该圆锥的体积，
故答案为：.
12. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量法可得出点到平面距离为，即可求解.
【详解】由题意可知，
根据点到平面的距离为.
故答案为：
13. 过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为____________ （用一般式表示）
【答案】
【解析】
【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可；
【详解】由题意可得，解得交点坐标为，
又所求直线的倾斜角为，故斜率为，
所以直线方程为，
故答案为：.
14. 已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米， 则车辆的最大高度为______________米．
【答案】
【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设，求出点处半圆的高度即可得．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，是圆心，，
半圆方程为（），在半圆上，且轴，
则，，
故答案为：．
15. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）
①正方体的外接球表面积为；②异面直线与所成角的取值范围是；③直线平面；④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
【答案】②③
【解析】
【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断①，由异面直线所成角的定义确定与的夹角范围判断②，根据线面平面平行的判定定理判断③，换度后由三棱锥体积公式判断④．
【详解】正方体对角线长为，即这外接球直径，因此球半径为，球表面积为，①错；
正方体中与平行且相等，是平行四边形，，是正三角形，与的夹角（锐角或直角）的范围是，因此②正确；
由②上知，而平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，③正确；
由平面，因此到平面的距离不变，所以不变，④错．
故答案为：②③．
三、解答题（共85分）
16. 已知顶点、、．
（1）求线段的中点及其所在直线的斜率；
（2）求线段的垂直平分线的方程；
（3）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
【答案】（1）中点，
（2）；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解；
（2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解；
（3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解
【小问1详解】
由、，可知中点为，且，
【小问2详解】
由（1）可得，垂直平分线斜率满足，即，
又的垂直平分线过，所以边的垂直平分线的方程为，
即；
【小问3详解】
当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
17. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【小问1详解】
因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
【小问2详解】
因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
18. 已知圆，直线过点.
（1）求圆的圆心坐标及半径长；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程；
（3）设直线与圆相切于点，求AB.
【答案】（1）圆心坐标为3,4，半径长为.
（2）或.
（3）.
【解析】
【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长；
（2）讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，不存在时设出直线方程根据点到直线距离公式求解即可；
（3）根据两点间距离公式求出长，再根据勾股定理求解即可.
【小问1详解】
圆方程可化为:，圆心坐标为3,4，半径长为.
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在时，方程为x=1，圆心3,4到直线距离为，满足题意．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程是y=kx−1，即.
由圆心到直线的距离等于半径得，，解得，
此时直线的方程为.
综上，直线的方程为x=1或.
【小问3详解】
∵圆的圆心坐标为3,4，，
∴.
如图，由相切得，，，
∴.
19. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面；
（2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解.
【小问1详解】
因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得A0,0,0，，，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面；
（2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面与平面夹角余弦值；
（3）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出.
【小问1详解】
如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以，
又，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形，从而，
沿着AE翻折成后，有
又平面，所以平面，
由题意，易知，所以四边形是平行四边形，
故，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，则有，
由（1）知，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形，
则，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
则，
令得，故，
又平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为；
【小问3详解】
假设线段上存在点，使得平面，
过点作交于，连接，如图所示：
所以，所以四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以是的中点，
故线段上存在点，使得平面，且.
21. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则
（1）①点，，求的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
（2）已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
（3）设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【答案】（1）①7；
②；
（2）2； （3）2，，，，.
【解析】
【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；
（2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值；
（3）将的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的，即可得到的最小值.
【小问1详解】
①；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即.
【小问2详解】
设直线上任意一点坐标为，则，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
综上所述，的最小值为2.
【小问3详解】
如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
（i）例如：，此时；
（ii）例如：，此时；
当四个点不在同一个平面时，
（iii）例如：，此时；
（iiii）例如：，此时；
（iiiii）例如：，此时；
（iiiiii）例如：，此时；
综上所述，的最大值为2，例如：，，，.