2023年江西省九年级数学学科核心素养卷（中考数学模拟练习）

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试题参考答案与解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题有1个选项符合题意，每小题精准选对得3分，否则不得分，共18分）
下列说法正确的个数是（ ）
③
【答案】：A
【解析】：①：末两位“54”不可以被4整除，错误；②：各位数字和为114，可以被3整除，故错误；③：末位数为奇数，错误。故选A。
如图所示的模糊的几何体绕它的中心轴顺时针旋转45°后从箭头方向可以看到的是（ ）
【答案】：D
【解析】：我们应该可以看到：。A选项是逆时针转45°所看到的；B选项是顺时针转135°所看到的；C选项是逆时针转135°所看到的。
非零数x、y、z满足：、、，则（ ）
【答案】：D
【解析】：分别对三个式子取倒数后联立，得方程组，继而，三式相加，得，配方得，算知、、，带回原方程组检验发现不成立，故原方程组无实数解，选D。
函数与函数有m个交点，则下列说法正确的是（ ）
在菱形ABCD中，，E、F为边AD、CD上的点，满足，若,则（ ）
【答案】：A
有m张卡片上写了m个不同的正整数（），现在从中随机取3个数，且其和为质数，则m的最大值是（ ）
【答案】：B
【解析】：当选取4个数时，在卡片上写1、3、7、9即可。当选取5个数时，考虑除以3的余数，若前3个数取余0、1、2，则无论再添加怎样的两个数都有概率使其可以被3整除，若前3个数的值只有两种，也无论再添加怎样的两个数都有概率使其可以被3整除。故4个数是最大值，选B。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
因式分解：____________________．
【答案】：
【解析】：
关于x的方程有两个不相等的实数根a、b，则__________．
【答案】：161
【解析】：易知，则，，原式=，又，所以原式值为161。
我国数学家刘徽首创“割圆术”：用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆的周长并以此求取圆周率，从正六边形到正十二边形再到正二十四边形……最终将圆周率精确到了小数点后7位，则他将正多边形扩展到的边数的最小值是__________．
【答案】：11288
【解析】：设圆半径为r，周长为C，则，设圆内接正多边形周长为C1，则，由题，n为6的倍数，且，则n的最小值为11288。
关于x的方程的实数根的取值范围是，则整数__________．
【答案】：0
【解析】：设函数，当时，，当时，，故关于x的方程的实数根的取值范围是，即。
小明同学告诉小方二次函数过点、、、（k为正整数），但小方认为有一个点的纵坐标错误，设这个错误的点的纵坐标值为m，则__________．
【答案】：359
【解析】：观察发现：，，，故，，，。
函数与交于点，且i、j为整数，则非零数a、b满足关系式：__________．
【答案】：（且）
【解析】：令，则，变形得，即，因为此时x、y为整数，所以为整数，因为，所以，所以，即。
三、解答题（本大题共11小题，共84分）
求和符号“”满足：，，请先理解它的运算规律再计算：（6分）．
解：
原式
原式
“Z公司”举办迎接虎年活动。在网页抽奖活动中，有概率抽中“虎”、“生”、“威”三种卡片，且抽中每张卡片的概率均为，小明同学在参加本次活动中恰抽奖4次便集齐了“虎虎生威”这4张卡片（没有顺序），请计算发生这件事的概率（6分）．
解：
若恰好4次集齐“虎虎生威”：
当第一次抽到“虎”，剩下三次抽到“虎生威”（没有顺序）的概率为
当第一次抽到“生”，剩下三次抽到“虎虎威”（没有顺序）时：
①下一次抽到“虎”，剩下两次抽到“虎威”（没有顺序）的概率为
②下一次抽到“威”，剩下两次抽到“虎虎”的概率为
当第一次抽到“威”，剩下三次抽到“虎虎生”（没有顺序）时：
①下一次抽到“虎”，剩下两次抽到“虎生”（没有顺序）的概率为
②下一次抽到“生”，剩下两次抽到“虎虎”的概率为
综上，恰好4次集齐“虎虎生威”的概率为
若，计算：（6分）．
解：如右图，构造直角三角形ABC，
使，在BC上取点D使,再在BD上取点E使，则
设
∴。
设
∴
在Rt△ABD中：
∴
解得：
设，同理，可得
∴
∴
平面上有一个圆和一个点P，按要求使用无刻度直尺作图．
（1）如图1，点P在圆上，求作该圆过点P的切线（3分）；
（2）如图2，点P不在圆上，求作该圆过点P的切线（3分）．
请在平面直角坐标系xOy中，作出函数与点，然后回答下列问题．
（1）函数的图像类似于我们学过的__________函数（2分）；
（2）作以点A为圆心，半径为1的圆，求该圆与函数的交点个数（4分）．
解：（1）反比例
（2）设此反比例函数上一点
∴
令
∴
化简得：
∴
∵有一个实数根
∴有两个实数根
∴有两个实数根
∴此反比例函数上到A距离为1的点有2个
∴此反比例函数与所作圆的交点有2个
AB、CD分别与圆O相切于E、G，且，EG为直径，且．
（1）如图1，证明：BC为圆O切线（4分）；
（2）如图2，若BC切圆O于F，OF与EC交于点H，且，求的值（4分）．
解：（1）如图1，延长CO交BA延长线于M，过B作OF⊥BC于F
∵AB∥CD
∴∠EMO=∠OCG
∵AB、CD分别与圆O相切于E、G
∴,
∴
∵
在△MEO与△CGO中：
∴△MEO≌△CGO（AAS）
∴，
∵
∴，即
∴，且
∵
∴
∴BC为圆O切线．
（2）解：如图2：延长CO交BA延长线于M，连接EF、OB
∵，
∴
∴EF∥MC
∴
设，则，
∴，，
又∵
∴△OFB∽△CFO
∴
∴,即
∴
∵EFMC
∴△BEF∽△BMC
∴
∴
∴
∴．
在正方形ABCD中：，直角三角形DEF的直角顶点D与正方形顶点重合，且,连接AE、CF，作CF中点M．
（1）如图1，连接DM，直接写出AE、DM之间的数量关系（画出解题辅助线）（4分）；
（2）如图2，作AD中点G，连接CG，过点D分别作CG、EF垂线，垂足分别为P、Q，连接PM、QM，直接写出的值（画出解题辅助线）（4分）．
解：（1） （2）
【探究】如图1所示，透明敞口容器为正方体，其中装有一些液体，开始转动前，ABCD紧紧贴合桌面，现将正方体绕轴AB旋转，且液体没有溢出，某一时刻，液面恰好过CD，液体的三视图如图2所示，设旋转角．
①直接写出液体体积（1分）；
②直接写出旋转角（2分）；
【拓展】在图1的基础上，向左或向右旋转容器，但不使液体溢出，其正视图如图3、4所示，设液面为PQ，，，求y与x的关系式并直接写出对应的取值范围（5分）．
解：【探究】：①24dm3 ②36.87°
【拓展】：①当时：
∴
∴（）
②当且液体不溢出时：
∴
∴（）
正n边形内接于☉O（），在上有一个动点P．
（1）直接写出PA1、PA2、PA3之间的数量关系（用含n的式子表示）（4分）；
（2）当、时，过点P作PM∥OA2交OA1于M，连接OP，作三角形PMO内心I，过点I作IJ∥A1A2交☉O于J，求证：IJ为定值（简述证明思路）（5分）．
解：（1）
（2）如右图，连接A1O、PO、OI，
可得
又，，
可证△A1IO≌△PIO（SAS）
即为定值，则点I在以A6为圆心，A6O为半径的上，
我们发现与全等，所以IJ为定值
在平面直角坐标系xOy中，二次函数和点（）．
（1）直线y2恒过点A，于y1顺次交于M、N，过点M、N分别向x轴作垂线，垂足为P、Q，探究OA、MP、MQ、MN的数量关系，并探究形如抛物线的第二定义（4分）；
（2）平行于x轴的定直线m在y1的准线下方，R为此直线上的一个动点，过点R作切y1的直线，切点为S、T，求证：直线ST过定点（5分）．
解：（1），理解：由如下：
如右图，设
作直线，延长MP、NQ分别交y3于点I、J
由两点之间距离公式，得：
发现
同理，
∵
∴
由此，我们可以得出：抛物线的第二定义是：给定y轴上一点A（焦点），作过这个点关于x轴对称的点且平行于x轴的直线l（准线），所有到A的距离与到l的距离相等的点的集合即为抛物线。
（2）连接SA，过点S作于点K，连接AK交SR于点F
由（1）：
假设在AK上，垂直平分AK
假设与抛物线有另一个交点
∴
过点作于点
∴，矛盾
∴切抛物线
∴SF垂直平分AK
延长SR交AO于点D，连接DK
∵SF垂直平分AK
∴，，SD平分，，F为AK中点
∴
∵O为AL中点
∴FO为三角形AKL边KL中位线
∴FO∥KL，
∵，
∴
∴
过点S作于点E，过点T作于点C，设AO与l交于点L，TR与AO交于点B，延长FO交TR于点G，连接AG
易知四边形SELK为矩形
∴，
∴
∴
同理：
∵m∥OF
∴
∴△DRH∽△FAO
同理：△RHB∽△AOG
∴
∴
∵
∴
∴
∵m为给定直线
∴OH为定值
∴OW为定值
∴W为定点
在锐角三角形ABC中，点H为垂心，分别以边BC、AC、AB中点D、E、F为圆心，该中点到H距离为半径作圆与该边交于A1、A2、B1、B2、C1、C2，求证：A1、A2、B1、B2、C1、C2共圆．（12分）
解：设⊙E、⊙F除H另一个交点为K
∵KH为⊙E、⊙F公共弦
∴
∵EF为三角形ABC边BC中位线
∴EF∥BC
∵
∴
∴A、K、H共线
连接C1H，C2K
∴
∴△AC2K∽△AHC1
∴
同理
∴
∴△AC2B2∽△AB1C1
∴
∴B1、B2、C1、C2共圆
同理A1、A2、C1、C2共圆．
∴A1、A2、B1、B2、C1、C2共圆①
②
A.0
B.1
C.2
D.3
A.
B.
C.
D.A、B、C都错误
A.
B.
C.
D.A、B、C都错误
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.A、B、C都错误
【答案】：D
【解析】：函数如右图所示，当n分别取1、2、3时，m分别取4、5、4，故选D。
A.6
B.
C.
D.
【解析】：如图，设，则，过点C作于点H，又，所以，，所以，，所以解得，。
A.3
B.4
C.5
D.6
（1）如图1，直线l即为所求
（2）如图2，直线m、n即为所求