2023年湖南省长沙市初中学业水平考试二模数学试卷

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（试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．）
选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．
本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
解：的相反数是．
故选B．
2. 如图是某体育馆内的颁奖台，其左视图是（ ）
A． B． C．D．
解：由几何体可知，该几何体的左视图是 ．
故选D
3. 太阳的半径为千米，是地球半径的倍，千米用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
解：千米米 ，
故选B．
4. 瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，
下面花纹图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解：选项A图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项B图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项C是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
选项D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
5. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，
调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：，）

A．6米B．3米C．2米D．1米
解:由题意得：sin37°=，
∴h=5×=3，
∴调整后的楼梯长==6，
∴调整后的楼梯会加长：6-5=1m．
故答案为：D．
6. 垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害．
随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，
则投放正确的概率为（ ）

A．B．C．D．
解：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，
设两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为，
故选：C．
7．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，
调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，
则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ）

A．7 h；7 h B．8 h；7.5 h C．7 h ；7.5 h D．8 h；8 h
解：众数，中位数分别为：7 h ；7.5 h
答案C
8.如图，等腰的直角顶点在轴上，点在轴上，若点坐标为，则点坐标为（ ）

A．B．C．D．
解：如图，

作BD⊥轴于点D，’
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∵点坐标为，
∴ OD=6，BD=1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴ ∠ACB=90°，AC=BC，
∴ ∠ACO+∠BCD=90°
∴ ∠ACO=∠CBD
在和中，
∵，
∴ （AAS），
∴ CO=BD=1，AO=CD，
∴AO=CD=OD-OC=5，
∵点在轴上，
∴点坐标为（0，5），
故答案选：D
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，
如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．
若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）

A．1米B．2米C．米D．米
解：连接OC交AB于点E．
由题意OC⊥AB，
∴AE=BE=AB=2（米），
在Rt△AEO中，（米），
∴CE=OC-OE=（米），
故选：C．
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，
连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝( )

A．B．C．D．
解：过E作EH⊥CF于H．由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA．
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=CE，
∴∠FEH=∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH=90°．
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEH，∠B=∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴．
∵AE==10，
∴EH=，
∴sin∠ECF==．
故选D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 使根式有意义的x的取值范围是___．
解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须，
解得：，
故答案为：．
12代数式与代数式的值相等，则x＝______．
解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母
，
去括号号
，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：7．
如图，是某商店售卖的花架，其中，，，，
则长为_________cm.
解：，
∴，
∴，
解得；cm，
14. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________．
解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根
∴
∴
故答案为：．
15如图，在正五边形中，以为边向内作正，则度数为_______

解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，
点落在点处，折痕为，则线段的长是_______
解：将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，
则：，，，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴；
解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题
每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
计算：．
解：（1）
；
18.解不等式组：，并写出它的所有整数解．
解：，
解不等式①得 x≥﹣2；
解不等式②得 x＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
其整数解为：﹣2，﹣1，0．
19. 我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，
在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”．学完了三角函数知识后，

某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度．
如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，
在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，
在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为．
求：（1）坡顶A到地面的距离；
（2）求碑亭的高度（结果保留根号）．
解：（1）如图，过点A作于点D，
∵斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，
∴米，
即坡顶A到地面的距离10米；
（2）解：过点C作于点E，则米，
设米，
在中，，
即，
解得：，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
解得：，
即碑亭的高度为米．
为深化课程改革，提高学生的综合素质，某校开设了形式多样的校本课程．
为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，
从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程
（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，
如图所示，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中A部分的圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？
（4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）
解：（1）本次调查的总人数为24÷40%＝60（人），
扇形统计图中A部分的圆心角是360°×＝36°，
故答案为：60、36；
（2）B课程的人数为60﹣（6+18+24）＝12（人），
补全图形如下：
（3）估计最喜欢“科学探究”的学生人数为400×＝80（人）；
（4）画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数为2，
∴他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是＝
21. 年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，
用元购进、两种世界杯吉祥物共个，
且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，
且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍．
(1)求、两种吉祥物的单价各是多少元？
(2)世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，
于是计划用不超过元的资金再次购进、两种吉祥物共个，
已知、两种吉祥物的进价不变．求种吉祥物最多能购进多少个？
解：（1）设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，
根据题意，有：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
（元），
答：种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元；
设种吉祥物最多能购进个，
则此时种吉祥物能购进个，且为整数，
根据题意，有：，
解得：，
即：种吉祥物最多能购进个．
22.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝
23.矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，
建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），
过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为 ．
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
解：（1）∵OB＝4，OA＝3，
∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），
点F运动到边BC的中点时，点F（4，），
将点F的坐标代入y＝并解得：k＝6，
故反比例函数的表达式为：y＝，
当y＝3时，x＝＝2，故E（2，3），
故答案为：（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，
∴F（4，），
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣＝，
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝，
在Rt△CEF中，tan∠EFC＝＝；
（3）如图，由（2）知，CF＝，CE＝，＝，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH+∠HEG＝90°，
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH+∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∵∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴，
∴，
∴BG＝．
如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，
将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
（1）解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
25. 若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，
二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分．
求直线的表达式；
(3)如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接交于点F，连接，．
①当时，求点P的坐标；
②求m的最大值
解:（1）一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，
当时，，
当时，，解得，
∴点，，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为：；
设直线交y轴于点M，
从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为，
∵轴交抛物线于点D，
∴点D的横坐标是2，当时，，
∴，
由点B、C的坐标知，直线与的夹角为，即，
∵恰好平分，故，
而，，
故，
∴，故，故点，
设直线的表达式为： ，则，解得，
故直线BE的表达式为：；
过点P作轴交于点N，
则，则，
而，则，解得：，
①当时，则，
设点，
设直线的表达式为，
则则，解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，故点，
故，
解得：或2，
∴或，
故点或；
②，
∵，故m的最大值为．