人教版第一册上册函数练习题

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题型1 抽象函数的定义域问题
题型2 抽象函数的值域问题
题型3 求抽象函数的值
题型4 求抽象函数的解析式
题型5 抽象函数的奇偶性问题
题型6 抽象函数的单调性问题
题型7 抽象函数周期性问题
题型8抽象函数的对称性问题
题型9 解抽象不等式
题型10 抽象函数比较大小
题型11 抽象函数的最值问题
题型12 抽象函数的零点问题
题型13 双函数混合型
1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2.抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
3.“赋值法”求抽象函数的值
赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。
注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.
（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取.
（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.
4.“赋值法”求抽象函数的解析式
赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题 设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性
判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。
注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律.
（1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，
（2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。
（3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
6.判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试．
= 1 \* GB3 ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或；
= 2 \* GB3 ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或．
7.抽象函数周期性的常用结论（是不为0的常数）
1、若，则；
2、若，则；
3、若，则；
4、若，则；
5、若，则；注：；（为常数）
6、若，则（）；
8.抽象函数的对称性
（1）轴对称：
①函数关于直线对称
②函数关于直线对称.
（2）中心对称：
①函数关于点对称；
②函数关于点对称
9.函数的奇偶性和对称性的关系：
（1）若为奇函数，则关于对称；
（2）若为偶函数，则关于对称；
（3）若为奇函数，则关于对称；
（4）若为偶函数，则关于对称.
10.抽象单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
11.抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
题型1 抽象函数的定义域问题
【例1】已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，解得，
故函数的定义域是．
故选：A.
【变式1】已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数定义域的对应特征分析求解.
【详解】对于函数：因为，则，
所以的定义域为.
故选：B.
【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】可根据相同对应关系括号内取值范围一样解出结果.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
又因为函数，
所以，即或，
故答案为：
【变式3】已知函数的定义域为，则的定义域为 .
【答案】
【分析】根据题意列出满足的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的定义域为，
则需满足，解得，
即的定义域为，
故答案为：
【变式4】函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数定义域求法可得的定义域为，结合根式和分母要求即可求得结果.
【详解】根据题意可得函数的定义域为，可知，
即的定义域为，
所以需满足，解得，
即的定义域为.
故选：D
【变式5】若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解.
【详解】由题意得函数fx的定义域是，
令，所以，即，解得，
由，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
题型2 抽象函数的值域问题
【例2】已知函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知求得的范围，即可得到的范围.
【详解】因为函数的值域为，即，
所以，
所以，即函数的值域为.
故选：A
【变式1】已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知可推得的定义域与值域，然后即可得出，根据交集的运算得出答案.
【详解】由已知的定义域为，值域为，
可得的定义域为，值域为，
所以，
所以，所以，.
所以，.
故选:C.
【变式2】已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A，由可得，，故A错误；
对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
【变式3】【多选】已知函数的定义域和值域均为，则（ ）
A．函数的定义域为B．函数的定义域为
C．函数的值域为D．函数的值域为
【答案】ABC
【分析】根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB；求出抽象函数的值域判断CD.
【详解】函数中的x需满足，解得，
故函数的定义域为，故A正确；
函数中的x需满足解得，
故函数的定义域为，故B正确；
函数和的值域都为，故C正确，D错误．
故选：ABC．
题型3 求抽象函数的值
【例3】已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可.
【详解】因为，
令，可得；
令，可得；
两式相加可得，
令，可得；
则，即.
故选：D.
【变式1】函数的定义域为，若，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以令，得，得，
所以令，得，得.故选：C
【变式2】已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，
当时，，可得，
当时，，可得，
函数是定义在上且不恒为零的函数，
令，可得，则函数是奇函数，
令，,
得，所以，
所以.故选：.
【变式3】已知函数满足，若，则（ ）
A．25B．125C．625D．15625
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解.
【详解】解法一：由题意取，可得
即知则.
解法二：令，则
，
所以，
即，所以，则.
解法三：由可构造满足条件的函数，
可以快速得到.
故选：C.
【变式4】【多选】已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．是偶函数
【答案】ABD
【分析】根据已知的抽象函数性质，赋值（式）法求解即可.
【详解】令，则，即. A正确.
令，则.
令，则，则.
故. B正确.
是非奇非偶函数. C不正确.
是偶函数. D正确.
故选：ABD.
题型4 求抽象函数的解析式
【例4】已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式.
【答案】.
【分析】根据所给关系对于合理赋值后求出，再令可得解.
【详解】由已知等式，
令，，得．
又，所以．
再令，可得，即．
因此，函数的表达式为．
【变式1】已知函数满足，则的解析式可以是 .（写出满足条件的一个解析式即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可.
【详解】若设，则由，
得，解得，
所以，
故答案为：（答案不唯一）
【变式2】设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.
【答案】
【分析】利用赋值法可求的解析式.
【详解】由已知条件得，又，
设，则，∴.
【变式3】已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用赋值法求及，然后利用单调性解不等式即可.
【详解】令，得.
令，得，解得，
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A
题型5 抽象函数的奇偶性问题
【例5】【多选】已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
【答案】AB
【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确；
令，得，则，
对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确；
对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误；
对于选项C，令，得，所以选项C错误；
故选：AB.
【变式1】【多选】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因为函数为奇函数，所以，A正确；
由为偶函数，得，即，B正确；
由为奇函数，得，
所以，即，C错误．
由上可知，则，则，
所以，D正确．故选：ABD
【变式2】定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
(1)求，；
(2)判断的奇偶性，并证明；
【答案】(1)，；(2)奇函数，证明见解析；
【解析】（1）取，得，即，
所以，因为，
又，得，可得；
（2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，
取，得，移项得，
所以函数是奇函数.
【变式3】已知定义在上的函数满足，，且.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明.
【答案】(1)；(2)为偶函数，证明见解析
【解析】（1）令，得，
令，得，
因为，所以，，
令，得，即，
因为，所以，所以.
（2）为偶函数.
证明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定义域为，所以为偶函数.
【变式4】【多选】已知函数满足，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．是奇函数
【答案】AC
【分析】利用赋值法求得，，可判断各选项的正误。
【详解】令，则，
令，则，解得或，
若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；
，则,，B选项错误；
函数，定义域为R，，
为偶函数，C正确，D错误.
故选：AC
【变式5】已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ ）
A．B．C．为奇函数D．为偶函数
【答案】D
【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可.
【详解】令，则，，，选项A错误；
令，，则，即，则，选项B错误；
，不是奇函数，选项C错误；
令，则，即，故，为偶函数，选项D正确；
故选：D．
题型6 抽象函数的单调性问题
【例6】已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性.
【答案】在定义域上单调递增
【解析】令，则，解得，
令，则，
所以，故在R上是奇函数.
任取，且，令，则，
因为在R上是奇函数，所以，
所以，因为当时，，
由，所以，所以，
所以，即，
所以在定义域上单调递增.
【变式1】已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明；
【答案】在上为减函数，证明见解析
【解析】任取，且，
因为，，
所以，故，
因为，所以，又因为当时，，所以，
所以，所以，即，所以在上为减函数.
【变式2】已知fx是定义在R上的函数，且对任意实数， .
(1)若，求，的值.
(2)若x>0时恒有，试判断函数fx单调性，并说明理由.
【答案】(1)，.
(2)fx为上的减函数，理由见解析.
【分析】（1）取，可得，取x=0，，解得，取，解得，即可得出答案.
（2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案.
【详解】解：（1）取，则，，
取，则，，
取，解得,则，
取，则，解得，
（2）由题意可知，
设，令，则，
所以，
所以，
所以函数在R上为减函数.
【变式3】已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立．
(1)判定并证明函数在R上的单调性；
(2)讨论函数的奇偶性；
(3)若，求x的取值范围．
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)奇函数，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性；
（2）赋值法得到，进而赋值得到，得到答案；
（3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案.
【详解】（1）在R上单调递减，理由如下：
任取，且，
因为，所以，
令，
则，
因为当时，恒成立，
又，所以，
所以，，
所以在R上单调递减；
（2）令，则，解得，
令，因为，
故，所以，
所以是奇函数；
（3）因为，
所以，
因为是奇函数，所以，
因为是R上的减函数，所以，
解得或，所以不等式的解集为或.
【变式4】函数对任意实数恒有，且当时，.
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，解关于的不等式.
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.
（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；
（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有，
令得，解得：.
取，则由得，
∴，即，
∴函数是奇函数.
（2）证明：任取，且，则，
∵当时，，∴，
由得，
∴，
∴，
∴是上的减函数.
（3）解：由得，
由得，
则，
∴不等式可化为，
∵是上的减函数，
∴，即………①.
（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，即，
若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式①式化为，即，
∵此时，∴原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【点睛】方法点睛：
1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.
题型7 抽象函数周期性问题
【例7】已知是上的奇函数且，当时，，则（ ）
A．-2B．2C．0D．2023
【答案】B
【解析】,则，则函数的周期，
则，
又函数为奇函数，所以，所以.故选：B.
【变式1】若函数对任意都有，且当时，，则（ ）
A．B．8C．D．12
【答案】A
【解析】因为，所以，所以周期为6，
当时，，.故选：A.
【变式2】
已知定义在R上的函数满足，，则（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】C
【解析】因为，由，
令，则，
即，得，
两式相加得，则有，即，
则有，所以函数的一个周期为6，
令，则，得，
令，则，得，
又，得，，
，，
所以，
由周期性得.故选：C
题型8抽象函数的对称性问题
【例8】已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为（ ）
A．3B．0C．-3D．
【答案】C
【解析】由函数的图象关于直线对称，可得，
再结合为奇函数，可得，
求得，故选：C.
【变式1】已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称，且当时，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．
【答案】B
【解析】由已知可得，.
因为是定义在R上的偶函数，所以，.
又的图象关于点对称，所以，.故选：B.
【变式2】【多选】已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．的图象关于原点对称
【答案】ABC
【解析】因为为偶函数，得，故的图象关于对称，
故，故A正确；
由得，，代入中，
得①，令，得，故B正确；
因为为偶函数，故，
故由得，，
则，故②，
联立①②，可得，故为图象的一条对称轴，故C正确；
而，故的图象关于y轴对称，故D错误，故选：ABC．
【变式3】【多选】已知定义在R上的函数的图像关于点对称，则下列结论成立的是（ ）．
A．是奇函数B．
C．D．
【答案】CD
【解析】由题得函数图像上的点关于点的对称点也在函数图像上，
所以，
对于A：函数的图像由函数的图像向右平移一个单位得到，
则函数的图像关于点对称，不能得到函数为奇函数，所以A选项错误；
对于B：由，令，则有，故B选项错误；
对于C：由，令，则有，故C选项正确；
对于D：由，令，则有，∴，故D选项正确．
故选：CD．
【变式4】【多选】设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（ ）
A．B．函数有对称中心
C．函数为奇函数D．函数为减函数
【答案】ABC
【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D.
【详解】由对于任意实数， ，
令，则，即,
再令,则，
即，故A正确;
令，则，即，故B正确；
由，则，即是奇函数，故C正确；
对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误.
故选：ABC
【变式5】定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据可得函数对称轴，可判断①；根据可得函数周期，可判断③；根据，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出，进而可得判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤.
【详解】由知直线为曲线的对称轴，①正确；
因为，所以
所以是周期为4的周期函数，③正确；
由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称，
又直线为曲线的对称轴，以是周期为4的周期函数
则的对称中心为，②错误；
令，则，所以，在中，令，则.
于是，，，，则，所以，④正确；
因为的图象关于点对称，因为周期为4，
所以，所以为奇函数，⑤错误.
故选：C.
题型9 解抽象不等式
【例9】设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过分析函数的单调性结合，即可得出不等式的解集.
【详解】由题意，
在中，函数是定义在上的偶函数，且在内是增函数，
∴，函数在单调递减，
∵，
∴当和时，，
故选：B.
【变式1】函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到，结合函数的单调性，把不等式转化为，即可求解.
【详解】因为为奇函数且在上单调递减，且，可得，
则不等式，等价于，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【变式2】已知偶函数在上单调递减，.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知：在上单调递增，且，结合偶函数性质分析求解.
【详解】因为偶函数在上单调递减，则在上单调递增，
对于不等式，且，即，
可得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.
【变式3】设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数向右平移1个单位得到函数，
由题意可知，函数关于直线对称，函数的定义域为，
因为在区间上是减函数，所以在区间上是增函数，
且，根据对称性可知，，在区间，
在区间，，
上图是满足函数性质的图象，
不等式，等价于或，
即或，得或，
所以不等式的解集为.故选：C
【变式4】已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】取，则，即，
故在上单调递减，
，解得，
从而，即，
则，解得
所以原不等式的解集是．故选：D.
【变式5】已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，则，则，
由可得：，
因为是定义在区间上的增函数，
所以，解得：.
则的取值范围为:.
故答案为：.
【变式6】定义在上的函数满足，且不恒为0.
(1)求和的值；
(2)若在上单调递减，求不等式的解集.
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）令，
所以，故，
令，所以，所以.
（2）令，因为，所以，故，
所以是偶函数，
由，，则，
又是偶函数，所以上式可转化为，
又在上单调递减，
所以上式可转化为，解得或.
故不等式的解集为.
【变式7】已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题意可得或的解集，再分和两种情况求不等式的解集.
【详解】由题意可知，当时，，当时，，
当或时，，
当时，，则，由已知可得，解得，又，所以；
当时，，则，
由已知可得或，解得或，又，所以.
综上，可得不等式的解集为.
故选：A
题型10 抽象函数比较大小
【例10】已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项.
【详解】由，得到对称轴为，则，
而，又在上单调递减，
则，得.
故选：D
【变式1】已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由求出对称轴，再结合奇偶性求出的周期；求出，的范围以及的值，得出的关系式，再利用在上的单调性，即可得出答案.
【详解】因为，
所以关于对称，
又因为为偶函数，
所以，
所以为周期函数，，
因为，且，
所以，，
因为，
所以
又因为，
所以，
因为在上单调递减，为偶函数，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
故选：D.
题型11 抽象函数的最值问题
【例11】已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（ ）
A．5B．6C．8D．12
【答案】A
【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.
【详解】令，则，且
故，，故
且令，，可得
设，则，
则，故在上单调递增
的最大值是
故选：A
【变式1】已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
【答案】C
【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C
题型12 抽象函数的零点问题
【例12】若为上的偶函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】A
【分析】数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为的零点，根据对称性即可求零点之和.
【详解】若为上的偶函数，则，且，
则的周期，
当时，，
则当时，，即可画出函数的图象；
函数周期是2，最大值为3，把函数在下方图象翻折到轴上方。
与在区间上一共有10个交点，
且这10个交点的横坐标关于直线对称，
所以在区间的的有零点的和是20.
故选：A
【变式1】定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．28B．16C．20D．12
【答案】A
【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数，可得出在上是增函数，又是R上的奇函数，所以在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有4个实数根，和为28.
【详解】由知函数的图象关于直线对称，
∵，是R上的奇函数，
∴，
∴，
∴的周期为4，
考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
对于奇函数有，，
故当时，，当时，，
当时，，当时，，
因为方程在上有实数根，
函数在上是单调函数，则这实数根是唯一的，
所以方程在上有唯一的实数根，
则由于，函数的图象关于直线对称，
故方程在上有唯一实数根，
因为在和上，
则方程在和上没有实数根，
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，
当，方程的两实数根之和为，
当，方程的所有4个实数根之和为
.
故选：A.
题型13 双函数混合型
【例13】已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】D
【分析】根据是偶函数，得到关于对称，即，结合和为偶函数即可得到周期为4，故可求出，则即可.
【详解】因为是偶函数，
所以的图象关于直线对称，
即，
即，
所以.
所以关于点中心对称.
又是定义域为的偶函数，
所以，
所以，
即，
所以函数的周期为4.
所以，
所以.
故选：D.
【变式1】已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性推出的周期为4，最后再计算出一个周期内的各值即可.
【详解】因为函数为奇函数，所以有，
又因为为偶函数，所以，
于是有，
所以函数的周期为4，因为，
所以，
所以，
于是，
故选：B.