山东省烟台市福山区（五四制）2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省烟台市福山区（五四制）2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分.）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】第一个图形是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形不是轴对称图形，
故有3个轴对称图形．
故选：C．
2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 0.3，0.4，0.5C. 6，9，12D. 9，12，13
【答案】B
【解析】A、1 2+22≠32，故不是直角三角形，不合题意；
B、0.3 2+0.42=0.52，故是直角三角形，符合题意；
C、6 2+92≠122，故不是直角三角形，不符合题意；
D、92+122≠132，故不是直角三角形，不合题意.
故选：B．
3. 已知△ABC两条边的长分别为5和8，若第三边长为5的倍数，则第三边的长度是（ ）
A. 5B. 5或10C. 10或15D. 15
【答案】B
【解析】由题意，可得8﹣5＜c＜5+8，即3＜c＜13，
∵第三边长为5的倍数，∴第三边长是5或10．
故选：B．
4. 如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由作图可知：，
又，∴.
故选：D．
5. 如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（ ）
A. 6平方厘米B. 12平方厘米C. 24平方厘米D. 3平方厘米
【答案】A
【解析】根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米），
可得这个直角三角形的面积为：××4＝6（平方厘米）．
故选：A.
6. 下列三角形是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A选项中三角形三边按从小到大为：，，3，，不是直角三角形；
B选项中三角形三边按从小到大为：，，，，故不是直角三角形；
C选项中三角形三边按从小到大为：，，，，故不是直角三角形；
D选项中三角形三边按从小到大为：，，，，故该三角形是直角三角形.
故选：D.
7. 如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，要在直线l上修建一个向村庄A，B供水的水站P，现有四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道最短的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，作关于直线的对称点，连接交直线于点，则此时为所求.
故选：A．
8. 如图，的顶点都在小正方形的顶点上，在格点中选出一个点与点、点构成的三角形与全等，则符合条件的点共有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】由图形可得，，，，
∴要使选出的点与点、点构成的三角形与全等，
则选出的点到点或点的距离为，∴点和点不符合，
当选出的点为点时，可得，，，由可得与全等；
当选出的点为点时，可得，，，由可得与全等；
当选出的点为点时，可得，，，由可得与全等；
故符合条件的点共有个.
故选：．
9. 如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=40°，则∠BMC=（ ）
A. 135°B. 120°C. 100°D. 110°
【答案】D
【解析】若∠1=40°，∴∠AMA1+∠DMD1=180-40=140°，∴∠BMA1+∠CMD1=70°．
∴∠BMC=∠BMA1+∠CMD1+∠1=110°．
故选：D．
10. 如图，是的中线，点分别为的中点．若的面积为则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】是的中点，的面积为，，
是的中点，，
．
故选：A．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
11. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是________（用三个字母表示）．
【答案】
【解析】根据题意可得：，，且对应边的夹角，
∴由可证明．
12. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的小正方形为_________（填序号）．
【答案】②④⑤
【解析】在序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，有5种结果，其中与图中的阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤这3种结果.
13. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了_____米．
【答案】9
【解析】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），则船向岸边移动了9米.
14. 如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若，则________．
【答案】
【解析】由折叠的性质得，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
15. 如图，已知长方体的长，宽，高，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到点，最短路程是___________cm．
【答案】5
【解析】根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿，，，，，剪开，得图1：
则；
（2）沿，，，，，剪开，得图2：
则；
（3）沿，，，，，剪开，得图3：
则；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即.
16. 如图，∠AOB30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是__________．
【答案】6
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6cm，
∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=6．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程.）
17. 如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的F点处，若，求的长度．
解：是通过折叠得到，∴
∵，在中，
利用勾股定理可得，
∴，设，
则在中，，即，
解得.
答：的长为.
18. 已知：如图，在中，．
用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
（1）求作：点D，使点D在边上，且．
（2）求作：，使．，．
解：（1）如图，点即为所求．
（2）如图，即为所求．
．
19. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，5)，B(1，-2)，C(4，0).
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△.
（2）求△ABC的面积.
（3）在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小，保留作图痕迹．
解：（1）如图，A1、B1、C1为点A、B、C关于y轴的对称点，△A1B1C1即为所求.
（2）S△ABC=×7×3=10.5.
（3）连接A1C，与y轴交于点P，连接AP，
∵点A与点A1关于y轴对称，∴AP=A1P，∴A1C是PA+PC的最小值，
∴点P即为所求.
20. 如图，中，为边上的一点，，以线段为边作，使得，，求证：．
证明：∵，∴，
即，
在和中，，∴，
∴．
21. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：一根直立地面的竹子，原来高一丈，自A处折断，其竹梢B恰好抵地，抵地处与原竹子底部C距离三尺，问直立处还有多高的竹子？
解：设AC=x尺，
因为AC+AB=10（尺），所以AB=10-x（尺）．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2．
解得x=4.55，即AC=4.55（尺）．
故直立处还有4.55尺的竹子.
22. 如图，，，的垂直平分线交于点D．
（1）求的度数；
（2）求证：．
解：（1）∵，，∴，
∵的垂直平分线交于点D，∴，
∴，
∴.
（2）∵，，∴，
∴，，∴，
∴，∴．
23. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
解：（1）是；理由是：
在中，∵，，∴，
∴，
∴CH是从村庄C到河边的最近路.
（2）设，则，
在中，，∴，
解得：，
答：原来的路线AC的长为千米.
24. 如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接．
（1）请判断与相等吗？并说明理由．
（2）若，求的度数．
解：（1）相等，理由如下：
∵，∴，即．
∵，∴，
∴.
（2）∵，∴，
∵，
∴．
25. 【问题探究】
如图，在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，试说明：．
【变式拓展】
如图，在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，试探究线段三者之间的数量关系，并说明理由．
解：问题探究：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∵在△ADB和△CEA中，，
∴.
变式拓展：．理由：
设，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴．