广东省中山市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省中山市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟
一、单选题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y=(x-4)2-5的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向下，(4,-5)B．开口向上，(4,-5)
C．开口向下，(-4,-5)D．开口向上，(-4,-5)
3．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．ax2+bx+c=0B．x2-2=x+32
C．x2+3x-5=0D．x2-1=0
4．设A(-5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=-x+12+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2>y3>y1B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1D．y3>y1>y2
5．关于x的方程2x2-mx-2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
6．在同一坐标系中，作y=3x2+2，y=-3x2-1，y=13x2的图象，则它们（ ）
A．都是关于y轴对称B．顶点都在原点
C．都是开口向上D．以上都不对
7．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率是x，则可以列出方程（ ）
A．5001+2x=720B．5001+x2=720
C．5001+x2=720D．7201-x2=500
8．一次函数y=cx-ac≠0和二次函数y=ax2+x+ca≠0在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
① 2a+b=0；②abc<0；③9a+3b+c>0；④ 3a+c<0；⑤若m≠1，则m(am+b)-aA．1B．2C．3D．4
10．如图，点O是等边△ABC内一点，OA=2，OB=23，OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则S△ABC-S△AOC的值为（ ）
A．53B．43C．932D．1132

第9题图 第10题图 第13题图
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．方程x2＝x的解是 ．
12．将y=x2-2x向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后其解析式为 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°．将此三角形绕点C按顺时针方向旋转后得到△A'B'C'，若点B'恰好落在线段AB 上，AC、A'B'交于点O，则∠ACB'的度数为 ．
14．已知关于x的二次函数y=-x-52+1，当215．如图所示，一段抛物线：y＝－x（x－3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C22．若P（65，n）在第22段抛物线C22上，则n＝ ．
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）解方程：x2-3x-2＝0．
17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．

(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
(2)将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．
(3)若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
18．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD=12cm，此时面汤最大深度EG=8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，求此时汤面的直径PQ的长；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，求此时碗中液面宽度CH的长．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．已知关于x的方程a-4x2-4x+2=0．
(1)若方程有实数根，求a的取值范围；
(2)若方程为一元二次方程，且方程的一个根为-1，请你求出方程的另一个根．
20．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB=6cm，AD=4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从A点出发沿AB以2cm/s的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为ts．

(1)当t为何值时，△PDQ的面积为3cm2？
(2)当t为何值时，△PDQ的面积最大？
21．某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元．
(1)嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：200+20x=500．”
请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
(2)该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．”
①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由；
②试分析指出采纳谁的意见更合适．
五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题．
(1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x-35=0为例，求解过程如下：
①变形：将方程x2+2x-35=0变形为xx+2=35；
②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为x+x+22，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4xx+2+22=4×35+4=144，因此，可得新的一元二次方程x+x+22=144，∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5．
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程x+x+22=144可以得到原方程的另一个根是________．
(2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2-3x-4=0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．

(3)拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b=0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a=________，b=________，方程x2+ax+b=0的一个正根为________．

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交 x 轴于A-1,0、B3,0两点，交 y 轴于点C．一次函数y=kx+1k≠0与抛物线交于A、D 两点，交y 轴于点E ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，过点P作PM∥y轴交AD于点M，求出PM+22AM的最大值及相应的点P的坐标；
(3)将抛物线沿着射线AE方向平移了2个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线交于 R 点，点H是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在N点，使得以点A、R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可解答．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据y=ax-h2+k的顶点坐标为h,k，a>0，抛物线的开口向上，a<0，抛物线的开口向下，进行判断即可．
【详解】解：∵y=(x-4)2-5，a=1>0，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为：(4,-5)；
故选B．
3．D
【分析】根据形如ax2+bx+c=0(a≠0)的整式方程叫做一元二次方程，以此判断即可．
【详解】A. ax2+bx+c=0，缺少条件a≠0，不是一元二次方程；
B. x2-2=y+32，有两个未知数，不是一元二次方程；
C. x2+3x-5=0，不是整式方程，不是一元二次方程；
D. x2+1=0，是一元二次方程；
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线y=-(x+1)2+3的开口向下，对称轴为直线x=-1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线y=-(x+1)2+3的开口向下，对称轴为直线x=-1，
∵-5--1=6,1--1=2,2--1=3，即6>3>2，
∴ A(-5,y1)离直线x=-1的距离最远，B(1,y2)点离直线x=-1最近，
∴y2>y3>y1．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．求出Δ的值即可判断．
【详解】解：∵2x2-mx-2=0，
∴Δ=-m2-4×2×-2=m2+16>0，
∴方程有两个不相等实数根．
故选：A．
6．A
【分析】从三个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴x＝0，对称轴为y轴．
【详解】观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，
故对称轴x＝-b2a＝0，对称轴为y轴，都关于y轴对称．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像，解题的关键是掌握二次函数的一次项系数为0，对称轴是y轴．
7．B
【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b（当增长时中间的“±”号选“＋”，当降低时中间的“±”号选“-”）．
【详解】解：设平均每月增长率是x，列出方程为5001+x2=720，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
可先由一次函数y=cx-a图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax²+x+c的图象相比较看是否一致．
【详解】A．由抛物线可知a<0，又b=1>0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意；
B．由抛物线可知，a>0，c<0，由直线可知，a>0，c<0，故本选项符合题意；
C．由抛物线可知，a>0,c<0，由直线可知，a>0,c>0，故本选项不符合题意；
D．由抛物线可知a<0,又b=1>0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意；
故选： B．
9．D
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a，可以对①进行判断；由抛物线开口向下得到a<0，然后利用对称轴的位置以及抛物线与y轴的交点可得到b、c的符号，可以对②进行判断；利用x=3时，x=3可以对③进行判断；当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，加上b=-2a，可以对④进行判断；利用抛物线的对称轴为x=-1，可以对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b=-2a，即2a+b=0，故①正确；
∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，b=-2a>0，
∴abc<0，故②正确；
当x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，故③错误；
当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，又b=-2a，
∴a+2a+c=3a+c<0，故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴当m≠1时，am2+bm+c故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+ca≠0，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴的左边，当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴的右边；常数项c决定抛物线与y轴的交点；抛物线与x轴交点个数由Δ决定，Δ>0抛物线与x轴有2个交点，Δ=0，抛物线与x轴有1个交点，Δ<0，抛物线与x轴没有交点．
10．A
【分析】证明△BO'A≌△BOC，即可得到O'A=OC=4，S△AO'B=S△BOC，根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，则OO'=OB=23，利用勾股定理的逆定理判断△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°，利用四边形AOBO'的面积=等边△BOO'面积+Rt△AO'O面积=△AO'B面积+△AOB的面积=△BOC的面积+△AOB的面积，进行计算即可判断．
【详解】解：在△BO'A和△BOC中，BO'=BO，∠O'BA=∠OBA，BA=BC，
∴△BO'A≌△BOCSAS，
∴O'A=OC=4.
如图，连接OO'，
根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，
∴OO'=OB=23，
在△AOO'中，AO=2，OO'=23，AO'=4，
∴AO2+OO'2=AO'2，
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°.
∴Rt△AOO'面积为12×2×23=23，
作BD⊥OO'于D，则DO=12OO'=3，
∴BD=BO2-DO2=3，
∴等边△BOO'面积为12×23×3=33，
∴四边形AOBO'的面积为53，
∵△BO'A≌△BOC，
∴四边形AOBO'的面积=△AOB的面积+△BOC的面积，
∴S△ABC-S△AOC=S△AOB+S△BOC=53，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
11．x1=0,x2=1
【分析】方程移项后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：x2＝x
x2-x=0
x(x-1)=0
∴x1=0,x2=1
故答案为：x1=0,x2=1
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握报解方程的步骤是解答本题的关键．
12．y=x2
【分析】本题主要考查二次函数图象的变换，根据：“左加右减，上加下减”的方法求解即可．
【详解】解：将y=x2-2x=(x-1)2-1向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后可得：y=(x-1+1)2-1+1，
即y=x2，
故答案为：y=x2．
13．10°/10度
【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得：CB=CB' ，从而有∠CB'B=∠B ，然后由三角形的内角和可求出∠BCB'，最后根据互余求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可得：CB=CB'，
∴∠CB'B=∠B=50°，
在△CBB' 中，
∠BCB'=180°-∠CB'B-∠B=80° ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB'=90°-∠BCB'=10°，
故答案为：10°．
14．-8【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x=5，函数有最大值1；当x=2时函数有最小值-8，进而求得它们的范围．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=5，抛物线顶点坐标为5,1，
∴在2故答案为：-815．-2
【分析】将P1,m代入y=-xx-30≤x≤3即可得m的值；先根据抛物线C1的解析式可求出A13,0,OA1=3，同样的方法可求出A1236,0，A1339,0，再根据抛物线C1,C3,C5,⋯,C13的开口大小相同，且都向下可求出抛物线C13的解析式中的二次项的系数为-1，从而可得出抛物线C13的解析式，然后将点P65,n代入即可得n的值．
【详解】解：由题意，当y=0时，-xx-3=0，解得x=0或x=3，即A13,0,OA1=3，
由旋转的性质得：A1A2=OA1=3，
∴A23×2,0，
同理可得：A33×3,0，⋯，A213×21,0，A223×22,0，
即抛物线C22与x的两个交点坐标为A2163,0，A2266,0，
由旋转过程可知，抛物线C2,C4,C6,⋯,C22的开口大小相同，且都向上，
则抛物线C22的解析式为y=x-63x-66，
将点P65,n代入得：n=65-63×65-66=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次函数的旋转问题，正确找出抛物线的旋转变化规律，并熟练掌握待定系数法是解题关键．
16．x1=3+172,x2=3-172
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【详解】解：△＝（-3）2-4×1×（-2）＝17＞0，
x＝3±172，
∴x1＝3+172，x2＝3-172
故答案为：x1＝3+172，x2＝3-172
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)0，1
【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可画出△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可画出△D1EF1；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△D1EF1即为所求；
（3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；
旋转中心在线段AD、CF的中垂线上，即为图中点P；
由图象可知，该点的坐标为0,1．
故答案为：0,1．
18． 62 1522
【分析】（1）设点E的坐标为0,c，则抛物线的表达式为y=ax2+c则点C的坐标为： 6,8+c，点Qx,4+c再用待定系数法即可求解；
（2）确定直线CH的表达式为y=x-6+8+c=x+2+c，求出x1+x2=92，x1x2=-9进而求解；
本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
设点E的坐标为：0,c，则抛物线的表达式为y=ax2+c，
则点C的坐标为6,8+c，点Qx,4+c，
将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得：8+c=36a+c4+c=ax2+c ，
解得：a=29x=32，
即抛物线的表达式为：y=29x2+c①，
∴PQ=2xQ=62，
故答案为：62；
（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK=45°时停止，
∴所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°，
设直线CH的解析式为y=x+b，
将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y=x-6+8+c=x+2+c②，
联立①②并整理得：2x2-9x-18=0，
则x1+x2=92，x1x2=-9，
则x1-x22=x1+x22-4x1x2=2254，
则x1-x2=152，
由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°，则CH=2x1-x2=1522，
故答案为：1522．
19．(1)a的取值范围为a≤6；
(2)方程的另一个根为13．
【分析】（1）分①当a=4时，②当a≠4时，根据一元二次方程的定义和根的判别式，可得关于a的不等式，解不等式即可得出a的取值范围；
（2）把x=-1代入方程，得出a的值，再将a的值代入原方程，解方程即可；
本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）①当a=4时，方程为-4x+2=0，有实数根，
②当a≠4时，
∵关于x的方程a-4x2-4x+2=0有实数根，
∴Δ=-42-4a-4×2=16-8a+32=48-8a≥0，
解得：a≤6，
∴a≤6且a≠4，
综上可知：方程有实数根，a的取值范围为a≤6；
（2）∵方程为一元二次方程，且方程的一个根为-1，
∴a-4×-12-4×-1+2=0，解得：a=-2，
∴原方程为-6x2-4x+2=0，即有3x2+2x-1=0，
解得：x1=-1，x2=13，
∴方程的另一个根为13．
20．(1)当t=1s或3s时，△PDQ的面积为3cm2．
(2)不存在t使△PDQ为等腰三角形，理由见解析
【分析】
（1）由四边形ABCD为矩形，AB=6cm，AD=4cm，可得DQ=4-t，AP=2t，∠A=90°，结合124-t∙2t=6，再解方程即可；
（2）由题意可得：S=124-t∙2t，建立函数模型，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：AQ=t，AP=2t，
∵四边形ABCD为矩形，AB=6cm，AD=4cm，
∴DQ=4-t，AP=2t，∠A=90°，且0≤t≤3，
∴124-t∙2t=6，
∴t2-4t+3=0，
解得：t=1或t=3；
∴当t=1s或3s时，△PQD的面积为3cm2．
（2）由题意可得：S=124-t∙2t=-(t-2)2+4，
∵a=1<0，
∴当t=2时，S有最大值．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，利用图形面积建立函数模型求解是解本题的关键．
21．(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析；
(2)①两人的说法都正确，理由见解析；②采取王经理的意见，理由见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程中的销售问题， 一元二次方程的应用，掌握利润、售价、进价之间的关系是解题的关键．
（1）根据已知的方程可求出具体降价金额， 从而可求出售价， 将售价与进价比较即可求解；
（2）①根据题意列出方程30-x-16200+20x=2860，整理得到x2-4x+3=0，求解即可得出结论；
②从增加销售量可以减少库存，可得结论．
【详解】（1）解：嘉嘉的说法不正确，理由如下：
200+20x=500，
解得：x=15，
∴30-15=15元，
∵15元<16元，
∴亏本，
∴小宇的说法不正确．
（2）解：①两人的说法都正确，理由如下：
依题意得：30-x-16200+20x=2860，
整理得：x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴降价1元或3元都能达到期望目标，
∴两人的说法都正确；
②由于增加销售量可以减少库存，
∴应采取王经理的意见．
22．(1)-7；
(2)x=4，图形见详解；
(3)a=2,b=-3，x=1．
【分析】（1）运用直接开平方法解方程x+x+22=144，即可得到方程的另一个根．
（2）将方程x2-3x-4=0变形为xx-3=4，画四个长为x，宽为x-3的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可；
（3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为x+2，由题意得x(x+2)=3，整理得x2+2x-3=0，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值．
本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键．
【详解】（1）由(x+x+2)2=144得
(2x+2)2=144
2x+2=±12
∴x1=5,x2=-7
∴原方程的另一个根是-7．
故答案为：-7
（2）将方程x2-3x-4=0变形为xx-3=4，
画四个长为x，宽为x-3的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，

则图中大正方形的面积从整体看可表示为x+x-32，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4xx-3+32=4×4+9=25，因此，可得新的一元二次方程x+x-32=25，
∵x表示边长，
∴2x-3=5，
即x=4．
（3）∵中间围成的正方形面积为4，
∴中间正方形的边长为2，
设长方形的宽为x，则长为x+2，
由题意得x(x+2)=3，
整理得x2+2x-3=0，
∴a=2，b=-3．
如图中大正方形的面积从整体看可表示为x+x+22，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4xx+2+22=4×3+4=16，因此，可得新的一元二次方程x+x+22=16，
∵x表示边长，
∴2x+2=4，
即x=1．
∴方程x2+ax+b=0的一个正根为x=1．
故答案为：∴a=2，b=-3．x=1．

23．(1)y=x2-2x-3
(2)PM+22AM取得最大值9，点P2,-3
(3)点N的坐标为4,-1或-2,-1或0,-3+172或0,-3-172
【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可；
（2）根据题意求得一次函数解析式y=x+1，即可判定△OAE为等腰直角三角形，得到△MAH为等腰直角三角形，则AM=2MH，设点Mt,t+10（3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为y=x2-4x+1，即可得到点R2,-3，即可设点H的坐标为1,m，设点N的坐标为s,t，可知A，R两点在对称轴两侧，若以AR为矩形的边，过A，R两点作AR的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线AR上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线AR下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以AR为矩形的对角线，则线段AR的中点坐标和线段HN的中点坐标重合且AR=HN，由此建立方程组求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c交 x 轴于A-1,0、B3,0两点，
∴1-b+c=09+3b+c=0，解得b=-2c=-3，
则抛物线的解析式y=x2-2x-3；
（2）解：∵一次函数y=kx+1k≠0过点A-1,0，
∴-k+1=0，解得k=1，
则一次函数解析式y=x+1，
∴点E0,1，
∴OA=OE=1，
则△OAE为等腰直角三角形，
∵PM∥y轴，且设PM与x轴交于点H，如图，
∴△MAH为等腰直角三角形，
∴AM=2MH，
设点Mt,t+10∴PM+22AM=PM+22×2MH=t+1-t2-2t-3+t+1
=-t-22+9，
当t=2时，PM+22AM取得最大值9，点P2,-3；
（3）解：∵抛物线y=x-12-4沿着射线 AE 方向平移了2个长度得到新的抛物线，
∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，
∴新的抛物线为y=x-1-12-4+1=x2-4x+1，
联立得y=x2-4x+1y=x2-2x-3，解得x=2y=-3，
则点R2,-3，
由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=1，故设点H的坐标为1,m，设点N的坐标为s,t，
①当AR是边时，
点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R，
则点HN向右平移3个单位向下平移3个单位得到点NH，且AN=RHAH=RN，
即1+3=sm-3=t(s+1)2+t2=(2-1)2+(m+3)2或1-3=sm+3=t(1+1)2+m2=(s-2)2+(t+3)2，
解得：m=2s=4t=-1或m=-3s=-2t=-1
故点N的坐标为4,-1或-2,-1；
②当AR是对角线时，
由中点坐标公式和AR=HN得：
12-1+2=12s+1120-3=12m+t2+12+32=s-12+m-t2，解得m=-3-172t=-3+172s=0或m=-3+172t=-3-172s=0，
故点N的坐标为0,-3+172或0,-3-172．
综上，点N的坐标为4,-1或-2,-1或0,-3+172或0,-3-172．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
A
A
B
B
D
A