湖南省娄底市名校2024-2025学年高三上学期11月联考数学试卷（Word版附解析）

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数学
（考试范围：集合与逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量与复数、数列与立体几何）
考生注意：
1.本试卷共150分，考试时间120分钟.
2.请将答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由复数除法、模的求法化简求复数，进而判断对应点所在象限.
【详解】由，对应点为在第一象限.
故选：A
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出集合、后，结合集合的运算即可得.
【详解】，即，则，解得，
所以，，
所以，从而.
故选：D.
3. 已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.
【详解】设与的夹角为，
在上的投影向量为
所以，
所以，
所以钝角，且.
故选：A
4. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.
【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，
所以平地降雪厚度的近似值为.
故选：C
5. 定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列新定义可得，利用累乘法求得的表达式，解数列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则，
故，
将以上各式累乘得：，
故，令，由于，
故，即，
又的值随n的增大而增大，且，
当时，，
当时，，
故n的最小值为8，
故选：B
6. 已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得是定义在上的偶函数，然后求导得，即可判断在上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果.
【详解】因为函数定义域为关于原点对称，
且，
所以是定义在上的偶函数，
又，
当时，，则，所以在单调递增，
又，则，
且，则不等式可化为
，即，
且是定义在上的偶函数，在单调递增，
则，即，即，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A
7. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件利用正弦定理得的关系，由余弦定理可得，结合三角形面积公式求得的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出错即可得解.
8. 已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.
【详解】当时，因为此时的最小值为，
所以，即.
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
在上单调递减，所以存在唯一符合题意；
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用作差法比较大小判断A，利用基本（均值）不等式判断BCD，要注意“一正二定三相等”.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，故A正确；
因为的等号成立条件不成立，所以B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.
故选：AD
10. 已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周期B.
C. 在上单调递增D. 是偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的性质结合周期性的定义即可求解A，利用性质作出函数的图象，即可结合图象逐一求解.
【详解】由于是奇函数，所以，则
又，则，所以，所以的周期为8，A错误，，
，故B正确，
根据函数的性质结合，，作出函数图象为：
由图象可知：在上单调递增，C正确，
由于的图象不关于对称，所以不是偶函数，D错误
故选：BC
11. 在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（ ）
A. 存在点M使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线PC与直线AD所成角为
D. 当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】取AD的中点G，证明平面PGC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，从而得为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D．
【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，,则，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，平面，则．
又因为，所以，
又，平面，所以平面PGC．
因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误．
因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．
如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确．
如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD距离最小时，
由上推导知，，，
，，，，
因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为中点,平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点，故，D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
13. 已知函数，若的最小值为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得或，结合题意可得，然后代入求值即可.
【详解】，，
所以，或，
，
所以．
故答案为：.
14. 已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由可得出，利用弦长公式得出，利用导数求出函数在0,+∞上的值域，即可为所求.
【详解】当时，，，则，
当时，，，则，
因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行，
则，即，则，
，，
所以，，
令，其中，则，
当时，，此时函数在0,1上单调递减，
当时，，此时函数在1,+∞上单调递增，
所以，，因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出、所满足的关系式，然后将转化为含的函数，转化为函数的值域问题求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）若，，求的面积；
（2）求的最小值，并求出此时的大小．
【答案】（1）
（2）的最小值是5，此时
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理与面积公式即可得；
（2）结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.
【小问1详解】
由题意得，
因为，
所以，故，
又，所以．
因为、是的内角，所以为钝角，
所以，所以，
所以是等腰三角形，则，
所以．
【小问2详解】
由（1）可知，中，，
即为钝角，则，
因为，，
所以，
设，
则
，
由，
故，
当且仅当，即，
结合钝角，即当时等号成立，
所以的最小值是5，此时．
16. 如图，在正三棱锥中，有一半径为1半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．
（1）用分别表示线段BC和PD长度；
（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OP，由题意O为的中心，则可得为直角三角形，设半球与面PBC的切点为E，然后分别在和中求解即可，
（2）由已知条件可得，，令，则上述函数变形为，，然后利用导数可求得结果
【小问1详解】
连接OP，由题意O为的中心，
且面ABC，又面ABC，所以，所以为直角三角形．
设半球与面PBC的切点为E，则且．
在中，，所以．
在中，．
【小问2详解】
由题知，，
化简得，，
令，则上述函数变形为，，
所以，令，得．当时，
，单调递减，当时，
，单调递增，所以当时，
三棱锥的侧面积S的最小值为．
17. 已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值.
（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数的几何意义求参数的取值范围；
（2）首先求函数的导数，函数有两个极值点，转化为有两个零点，设，则，讨论和两种情况下函数的单调性，分析函数的零点，求参数的取值范围.
【详解】（1），
，
则，解得.
（2），
由题设可知有两个不同的零点，且在零点的附近的符号发生变化.
令，则，
若，则，则为0,+∞上为增函数，
在0,+∞上至多有一个零点.
当时，若，则，故在上为增函数，
若，则，故在上为减函数，
故，故.
又且，故在上存在一个零点；
下证当时，总有.
令，则，
当时，，故为上的减函数，
故，故成立.
令，则，
故当时，有，
取，则当时，
有，
故，故在上，存在实数，使得，
由零点存在定理及的单调性可知可得在上存在一个零点.
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查导数的几何意义，根据函数的零点个数求参数的取值范围，重点考查逻辑推理能力，分类讨论的思想，函数与方程思想，属于中档题型.
18. 已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由递推关系首先得结合等差数列求和公式即可求解.
（2）由题意首项得，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集.
【小问1详解】
①
②
②-①得，，得．
当时，①式为，得，也满足上式．
，数列an是等差数列，所以．
【小问2详解】
，则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，
又，得，
得．
令，即，即．
当时，经验证，（*）式满足要求．
令，则
，
所以当时，，
即当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
19. 牛顿法( Newtn's methd)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，选取x．作为r的初始近似值，过点作曲线的切线L，L的方程为.如果，则 L与x轴的交点的横坐标记为，称为r 的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为，称为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知.
（1）若给定，求r的二阶近似值；
（2）设
①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系；
②证明：.
【答案】（1）；
（2）①；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定方法，求出的导数，依次求出即可.
（2）①求出函数，利用导数探讨函数的最小值，结合求出m 与r 的关系；②由①的结论，构造函数，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证.
【小问1详解】
函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以.
【小问2详解】
①由（1）知，，则，
，求导得，
令，求导得，在上单调递增，
函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值.
②由①知，，令，求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.