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四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附答案）
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这是一份四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，若向量，，满足，，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.
5.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.复数的虚部是（ ）
A.B.C.D.
2.式子的值为（ ）
A.B.2C.D.
3.由正数组成的等比数列，为其前项和，若，，则等于（ ）
A.B.C.D.
4.在的展开式中，含项的系数是（ ）
A.B.C.D.
5.已知函数对都有，且其导函数满足当时，则当时，有（ ）
A.B.
C.D.
6.若向量，，满足，，则的最大值为（ ）
A.10B.12C.D.
7.若对，函数的函数值都不超过函数的函数值，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.在三棱柱中，，，在面的投影为的外心，二面角为，该三棱柱的侧面积为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.对于样本相关系数，下列说法正确的是（ ）
A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C.样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强
D.样本相关系数
10.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度
11.正实数，满足，则下列选项一定成立的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.命题“，”的否定是______.
13.若，，，四点在同一个圆上，则该圆方程为______.
14.椭圆左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
设的内角，，的对边分别为，，，已知，且.
（I）求角的大小；
（II）若向量与共线，求，的值.
16.（本小题满分15分）
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的总人数，估计的数学期望.
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
（I）求证：；
（II）求二面角的正弦值；
（III）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
椭圆：左焦点和，构成一个面积为的，且.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）点是在三象限的点，与轴交于，与轴交于
①求四边形的面积；
②求面积最大值及相应点的坐标.
19.（本小题满分17分）
已知函数.（其中）
（I）当时，证明：
（II）若时，，求实数的取值范围；
（III）记函数的最小值为，求证：
2024~2025学年度上期高2025届半期考试
高三数学试卷参考答案
一、单选题
DABCDBCC
二、多选题
9.ABD10.AC11.BCD
三、填空题
12.，13.
14.
四、解答题
15.【解】（I），，
即，
，，解得。
（II）与共线，。
由正弦定理，得①，
，由余弦定理，得②，
联立①②，
16.【解】（I）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（II）设甲获得优秀为事件，乙获得优秀为事件，丙获得优秀为事件
，
，
，
，
的分布列为
17.【解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、、、、、
（I）依题意，，，
从而，所以；
（II）依题意，是平面的一个法向量，
，.
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得.
，
.
所以，二面角的正弦值为；
（III）依题意，.
由（II）知为平面的一个法向量，于是
.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
18.【解】：（I）设，由，得，
再由面积，解得椭圆方程
（II）①解：设，解得，，
直线：；直线：；
解得，
四边形的面积
由点在椭圆上，
②解：
即需求出最大值即可
：，椭圆三象限的点到的距离
此时，
最大值为
面积最大值为
注：此问也可用参数方程求解，酌情给分
19.【解】（I）当时，
当时，，，单调递增
当时，，，单调递减
得证
（II）法一：由，，
①当时，，，，单调递增，，
单调递增，，成立；
②当时，当，，单调递减，，
单调递减，，与条件矛盾，不成立；
综上所述：
法二：由，即成立，设
，设，
，单调递增，
，单调递增
即，单调递增，
由洛必达法则，
（III），则
设，则，又因
在单调递增
又
，使得，即①
且，，单调递减；
，，单调递增
，
由①得
又，，
，使得，即，即
且，，单调递减；
，，单调递增
，
，
再设，易证在单调递减
，也即大于
要证，即证，又即证
由（II）问，
得证
0
1
2
3
考试时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.
5.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.复数的虚部是（ ）
A.B.C.D.
2.式子的值为（ ）
A.B.2C.D.
3.由正数组成的等比数列，为其前项和，若，，则等于（ ）
A.B.C.D.
4.在的展开式中，含项的系数是（ ）
A.B.C.D.
5.已知函数对都有，且其导函数满足当时，则当时，有（ ）
A.B.
C.D.
6.若向量，，满足，，则的最大值为（ ）
A.10B.12C.D.
7.若对，函数的函数值都不超过函数的函数值，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.在三棱柱中，，，在面的投影为的外心，二面角为，该三棱柱的侧面积为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.对于样本相关系数，下列说法正确的是（ ）
A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C.样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强
D.样本相关系数
10.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度
11.正实数，满足，则下列选项一定成立的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.命题“，”的否定是______.
13.若，，，四点在同一个圆上，则该圆方程为______.
14.椭圆左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
设的内角，，的对边分别为，，，已知，且.
（I）求角的大小；
（II）若向量与共线，求，的值.
16.（本小题满分15分）
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的总人数，估计的数学期望.
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
（I）求证：；
（II）求二面角的正弦值；
（III）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
椭圆：左焦点和，构成一个面积为的，且.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）点是在三象限的点，与轴交于，与轴交于
①求四边形的面积；
②求面积最大值及相应点的坐标.
19.（本小题满分17分）
已知函数.（其中）
（I）当时，证明：
（II）若时，，求实数的取值范围；
（III）记函数的最小值为，求证：
2024~2025学年度上期高2025届半期考试
高三数学试卷参考答案
一、单选题
DABCDBCC
二、多选题
9.ABD10.AC11.BCD
三、填空题
12.，13.
14.
四、解答题
15.【解】（I），，
即，
，，解得。
（II）与共线，。
由正弦定理，得①，
，由余弦定理，得②，
联立①②，
16.【解】（I）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（II）设甲获得优秀为事件，乙获得优秀为事件，丙获得优秀为事件
，
，
，
，
的分布列为
17.【解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、、、、、
（I）依题意，，，
从而，所以；
（II）依题意，是平面的一个法向量，
，.
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得.
，
.
所以，二面角的正弦值为；
（III）依题意，.
由（II）知为平面的一个法向量，于是
.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
18.【解】：（I）设，由，得，
再由面积，解得椭圆方程
（II）①解：设，解得，，
直线：；直线：；
解得，
四边形的面积
由点在椭圆上，
②解：
即需求出最大值即可
：，椭圆三象限的点到的距离
此时，
最大值为
面积最大值为
注：此问也可用参数方程求解，酌情给分
19.【解】（I）当时，
当时，，，单调递增
当时，，，单调递减
得证
（II）法一：由，，
①当时，，，，单调递增，，
单调递增，，成立；
②当时，当，，单调递减，，
单调递减，，与条件矛盾，不成立；
综上所述：
法二：由，即成立，设
，设，
，单调递增，
，单调递增
即，单调递增，
由洛必达法则，
（III），则
设，则，又因
在单调递增
又
，使得，即①
且，，单调递减；
，，单调递增
，
由①得
又，，
，使得，即，即
且，，单调递减；
，，单调递增
，
，
再设，易证在单调递减
，也即大于
要证，即证，又即证
由（II）问，
得证
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