初中数学苏科版(2024)八年级上册2.4 线段、角的轴对称性获奖课件ppt
展开如图2-23,OC是∠AOB 的平分线,如果把∠1沿 OC 翻折,因为 ∠1=∠2,所以射线 OA 与射线OB 重合.
角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.
在∠AOB 的平分线上任意取一点 P,分别画点 P到OA 和OB 的垂线段PC和PD(如图2-24),PC与PD 相等吗?
我们可以运用图形运动的方法,利用角的轴对称性,证明 PC=PD .
把图2-24 中的△POC 沿OP 翻折(如图 2-25),因为∠AOP=∠BOP,所以OA与OB 重合,因为 PC⊥OA,PD⊥OB,依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,可知 PC 与 PD 重合,所以 PC=PD.
于是,我们得到如下定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
如果一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角的两边距离相等; 反过来,如果一个点到一个角的两边的距离相等,那么这个点在这个角的平分线上吗?
如图 2-26,点Q在∠AOB 内且QC⊥OA,QD⊥OB,垂足分别为 C、D,QC=QD,作射线 OQ. 因为∠QCO=∠QDO=90°,QC =QD,OQ=OQ,所以 Rt△QCO ≌ Rt△QDO. 于是∠AOQ=∠BOQ,即点Q在∠AOB 的平分线上.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
如图,∵ OP 平分∠ AOB, PD⊥OA 于点D, PE⊥OB 于点E,∴ PD=PE.
线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较
相同点:两者都可以直接得到两条线段相等;不同点:前者指的是点到点的距离,后者指的是点 到线的距离.
1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线、垂线)得到一个结论(线段相等). 2. 利用角平分线的性质证明线段相等时,证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
如图,在△ABC 中,∠C=90°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点D. 若CD=6,则点D 到 AB 的距离为___________.
运用角平分线的性质解决问题时, 条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线+两垂直), 若缺少某个部分, 则通过作辅助线补充完整,才能运用此性质解决问题.
解:如图,过点D 作DE ⊥ AB,垂足为E. ∵∠C=90°, ∴ DC ⊥ BC. 又∵ BD 平分∠ ABC, ∴ DE=CD=6, 即点D 到AB 的距离为6.
利用网格画图:(1) 在 BC 上找一点P,使点 P 到 AB 和 AC 的距离相等;(2) 在射线 AP 上找一点Q,使 QB=QC.
解:如图所示(1)画出∠BAC 的角平分线交线段 BC 于点P,即为所求. (2) 画线段 BC的垂直平分线交射线AP于点Q即为所求.
在△ABC 中,用直尺和圆规分别作角平分线 AD、BE,AD、BE 相交于点P,再作∠C的平分线,你有什么发现?
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
如图,∵ P 为∠AOB 内一点,PD ⊥ OA, PE⊥OB,垂足分别为D、E, 且PD=PE,∴点P 在∠AOB 的平分线OC 上.
角平分线的判定定理与性质定理的关系
三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等.
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线,线段相等)得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据,它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
例2 已知:如图,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P . 求证:点P在∠C的平分线上.
证明: 过点 P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC, 垂足分别为 F、M、N.
∵AD平分∠BAC,点P在AD上. ∴ PF=PN (角平分线上的点到角两边的距离相等).同理 PF=PM. ∴ PM=PN. ∴点P在∠C的平分线上 (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
例3 已知:如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为 E、F. 求证:AD垂直平分EF.
证明:∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∠1=∠2, ∴ ∠3=∠4, ∴ DE=DF,AE=AF (角平分线上的点到角两边的距离相等). ∴ 点 D、A在 EF 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线 段的垂直平分线上).∴ AD 垂直平分 EF.
如图,BE=CF,BF ⊥ AC 于点F,CE ⊥ AB 于点E,BF 和CE 交于点D,连接AD. 求证:AD平分∠ BAC.
证明角平分线的方法: 1. 从数量上证明被要证的线分成的两个角相等. 2. 从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等,即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段,再证明垂线段相等即可.这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题,体现了转化思想.
证明:∵ BF⊥AC,CE⊥AB, ∴∠DEB=∠DFC=90° . 在△BDE 和△CDF 中,∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,BE=CF, ∴△BDE ≌△CDF. ∴ DE=DF.又∵ DF⊥AC,DE⊥AB, ∴点D在∠BAC 的平分线上,即AD平分∠BAC.
在一张纸上画△ABC 及其两个外角(如图). (1) 用折纸的方法分别折出∠BAD 和∠ABE 的平分线,设两条折痕的交点为 O;
(2) 用直尺和圆规作∠ACB 的平分线CF. 点O在射线 CF 上吗?证明你的结论.
证明如下:分别过点O作OM⊥CD,OP⊥AB,ON⊥CE,垂足分别为 M,P,N. ∵ AO是∠BAD的平分线,OM⊥CD,OP⊥AB,
∴ OM=OP (角平分线上的点到角两边的距离相等)同理,可得ON=OP,∴OM=ON,∴CO是∠DCE 的平分线 (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).又∵CF 是∠DCE 的平分线,∴点O,C,F 共线,即点O在射线CF上.
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