江苏省连云港市灌云县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. (开放题，只要满足题意都可) 10. 11. 70
12. 108 13. 14. 15. 18 16. 2028
17. 18.
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19.（解法不唯一，其他解法参照给分）
（1）解： ………………2分
………………4分
（2）解：∵a=1，b=4，c=1
∴b2-4ac=42-4×1×1=12＞0 ………………2分
∴
∴ ………………4分
20.（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2×m＝（m﹣2）2，
无论m取任何实数，（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根． ………………4分
（2）取m＝2，方程为2x2+4x+2＝0．
解得x1＝x2＝﹣1．………………8分
(开放题，只要满足题意都可)
21.解：（1）正确标出点P位置； ………………2分
P（1，2）； ………………4分
（2）如图； ………………6分
（3）AC＝=4， ………………8分
＝＝2π． ………………10分
22.（1）如图所示：………………5分；
D
（2）连接圆心和两个切点M和N，作BC边上的高AD，设半径为r，
则OM⊥AB，ON⊥AC，OM=ON=r
∵在△ABC中，∠BAC＝90°AB＝4，AC＝3，
∴BC=5 ………………7分
∵S△ABC= S△AOC +S△AOB
∴AB•AC=AC•ON+AB•OM
∴×3×4=×3r+×4r
解得：r＝． ………………10分
23.（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DF． ………………3分
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线； ………………5分
（2）解：∵∠BAC＝90°．
∴AB与⊙D相切，
∵BC是⊙D的切线，
∴FB＝ AB=5．
∵BC＝13，
∴CF＝8，
∵AB=5 ,BC＝13，
∴AC＝=12． ………………8分
在Rt△DFC中，
设DF＝DE＝r，则
r2+64＝（12﹣r）2，
解得：r＝．
∴CE＝12﹣2×＝． ………………10分
24.（1）460 ………………2分
（2）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）＝6 000
解得x＝5或x＝10， ………………5分
为了使顾客得到实惠，所以x＝5
答：每千克应涨价5元. ………………6分
（3）法一：设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）＝7 000
此方程无解，所以不可能
法二：设涨价z元时总利润为y，
则y＝（10+z）（500﹣20z）＝﹣20z2+300z+5 000（0＜z＜25），
即y＝﹣20（z2﹣15z）+5000＝﹣20（z2﹣15z+﹣）+5000
＝﹣20（z﹣7.5）2+6125当z＝7.5时，y取得最大值，最大值为6 125
∵6125<7000 ∴不能达到。 ………………9分
6 125 ………………12分
25.（1）方程两边平方得：2x+3＝x2，
解一元二次方程得x＝3或x＝﹣1， ………………4分
检验：当x＝3时，左边＝＝3＝右边，
当x＝﹣1时，左边＝＝1≠右边，
∴原方程的解为x＝3； ………………6分
（2）设C（x，3），
∴OC＝，BC＝6﹣x，
∵OC+BC＝8，
∴+（6﹣x）＝8，
∴＝x+2， ………………9分
两边平方得：x2+9＝x2+4x+4，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
∴C（，3）． ………………12分
26.（1）不是 ………………3分
（2）∵勾股方程mx2+qx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝2q2﹣4mn＝0，
∴q2＝2mn，
∵q2＝m2+n2，
∴m2+n2＝2mn，
∴m﹣n＝0，
∴m＝n， ………………5分
∴q＝m，
∴＝； ………………7分
（3）连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，
∵关于x的方程是“勾股方程”，
∴m，n，10构成直角三角形，10是斜边，
∴m2+n2＝102
∵AB∥CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，，
∴∠OED＝∠OFB＝90°，，
∴DE2+OE2＝OD2，OF2+BF2＝OB2，即n2+OE2＝102，OF2+m2＝102，
又m2+n2＝102，
∴OE＝m，OF＝n，
∴DE＝OF，OE＝BF，
∴△OED≌△BFO（SSS）， ………………10分
∴∠EOD＝∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF＝90°，
∴∠EOD+∠BOF＝90°，
∴∠DOB＝90°. ………………12分

27.（1）在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵⊙O中∠ABE与∠ADE都对应弧AE，
∴∠ABE＝∠ADE，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE（SAS）； ………………4分
（2）BE﹣DE＝2AG； ………………5分
理由：
在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF，
由（1）△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠DAE+∠DAF＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF是等腰直角三角形， ………………8分
∵AG⊥BE，
∴FG＝GE＝AG，
∴EF＝2AG，
∵EF＝BE﹣BF＝BE﹣DE，
∴BE﹣DE＝2AG； …………10分
（3）CF的最小值为，点F所经过的路径长为． …………14分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
D
A
C
B
D