黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试（11月）数学试题

这是一份黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试（11月）数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本试卷主要命题范围，已知圆与圆相切，则的最小值为，设有一组圆，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本试卷主要命题范围：选择性必修第一册（第二章第三章）。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系中，原点（0，0）到直线的距离为
A.B.C.2D.3
2.抛物线的准线方程为
A.B.C.D.
3.若直线与圆交于，两点，则
A.B.12C.D.
4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为.若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线的离心率取值范围为
A.（1，2）B.C.D.
5.已知椭圆，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，是椭圆上一点，是的外角平分线，过作的垂线，垂足为，则
A.B.C.D.
6.已知圆与圆相切，则的最小值为
A.5B.3C.2D.
7.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔-蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.如过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，分别与圆交于，两点，直线与椭圆相交于，两点，则下列结论不正确的是
A.椭圆的离心率为
B.到椭圆的右焦点的距离的最大值为
C.若动点在椭圆上，记直线，的斜率分别为，，则
D.面积的最大值为
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为
A.4B.C.D.6
10.设有一组圆，下列命题正确的是
A.不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点（3，0）
C.经过点（2，2）的圆有且只有一个
D.所有圆的面积均为4
11.在平面直角坐标系中，凸四边形的4个顶点均在抛物线上，则
A.四边形不可能为平行四边形
B.存在四边形，满足
C.若过抛物线的焦点，则直线，斜率之积恒为一2
D.若为正三角形，则该三角形的面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.过点且与直线平行的直线方程为__________.
13.曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为__________.
14.椭圆的一个焦点是，为坐标原点，过的直线交椭圆于，两点.若恒有，则椭圆离心率的取值范围为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（13分）
已知直线，直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
16.（15分）
（1）已知双曲线的顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率，求双曲线的标准方程；
（2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.求线段的长.
17.（15分）
已知圆与圆的公共弦所在的直线是，且圆的圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
18.（17分）
已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点（2，0）作直线交抛物线于点，，求面积的最小值（其中为坐标原点）.
19.（17分）
已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于、两点，且，求的值.
牡丹江二中2024-2025学年度第一学期高二学年期中考试・数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 原点（0，0）到直线的距离为.
2.B 由化得，故物物线的标准方程为，所以，则，所以抛物线的准线方程为.
3.C 由圆的方程为可知圆心为（2，-3），半径，则圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式可得.
4.D 以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点，则圆心到直线的距离，所以双曲线的离心率.
5.A 延长交的延长线于点，如图所示.平分，且，为等腰三角形，，且为的中点，又，，为的中点，为的中点，
6.C 由题，圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1.若圆与圆外切，则，即，则，即，当且仅当时等号成立.若圆与圆内切，则，即，则，即，当且仅当时等号成立.综上，的最小值为2.
7.B 直线恒过定点，曲线即：，，曲线表示以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆，如图所示，直线与曲线有两个交点，当过点的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，此时，解得；当过点的直线也过点时有2个交点，此时，.
8.D 椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，椭圆，，，则，椭圆的离心率，故A正确；点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B正确；根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径，与椭圆交于两点，，点，关于原点对称，设，，，，故C正确；因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误.
9.BC 由椭圆，得：，，当点在椭圆上时，周长最大，为；当点在轴上时，去最小值，为.又因点为椭圆内部的动点，所以周长的取值范围为（4，6），故选BC.
10.AB 由题意可知：圆的圆心，半径.对于A，不论如何变化，圆心始终在直线上，故正确；对于，令，整理得，因为，可知方程无解，所以所有圆均不经过点（3，0），故B正确；对于C，令，整理得，因为，可知方程有两个不同的解，所以经过点（2，2）的圆有且只有两个，故C错误；对于D，因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误.故选AB.
11.ABD 对于A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与至多只有一个交点，因此，四边形不可能为平行四边形，故A正确；对于B，如图1所示，在抛物线上任取，两点（，分居轴两侧）连接，作的垂直平分线交抛物线于，两点，连接，，，，则，故B正确；对于C，设，，，，解得，所以，故C错误；对于D，设若为正三角形，如图2所示，由抛物线的对称性可知，，则直线，则，解得，，，，故D正确.故选ABD.
12. 设与直线平行的直线方程为，把点的坐标代入直线方程，求得，所以所求直线方程为.
13.（4，20） 圆，即，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，则必有，即，两圆圆心的距离，若两圆有4条公切线，则两圆外离，必有，解得，则的取值范围为（4，20）.
14. 设过点的直线的直线方程为与椭圆交于，两点，设点，，，联立方程得，整理为，，，，，是钝角，，，，，整理为恒成立，，即，，解得或（舍），，离心率.
15.解：（1），，……2分
整理得，解得或，……5分
当时，与重合，舍去，故.……7分
（2）解：，，……9分
，或.……13分
16.解：（1）①由题意，解得，，则，……4分
所以双曲线的标准方程为.……6分
（2）由题意，抛物线的焦点，，则直线的方程为，……8分
设，，联立得，
所以，……12分
所以.……15分
17.解：（1）由已知可设圆的方程为：，①
圆②
①一②可得：，即为的方程，……3分
所以有，，
所以圆的方程为.……6分
（2）由（1）知圆心的坐标为（3，0），半径为2，由已知当直线不过原点时可设的方程为，……7分
因为直线与圆相切，所以有，
所以直线的方程为.……10分
又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等且为0，
所以又可设直线的方程为，所以有，
所以直线的方程为.……14分
综上直线的方程为或.……15分
18.解：（1）由题意知，，所以.……5分
（2）由（1）知，抛物线，直线过（2，0），可设直线的方程为，联立.……9分
设，，不妨设，，……12分
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为.……17分
19.解：（1）设椭圆的半焦距为.由题意得……1分
解得，所以椭圆的方程为.……3分
（2）由得.……4分
由，解得.……5分
设，，则，，
所以，……8分
，，.……11分
因为，所以，则，
则，则，
解得或.……15分
当时，直线过点，则不满足，所以.……17分