专题13.4 等边三角形的性质与判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21416" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21416 \h 1
\l "_Tc11599" 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc11599 \h 1
\l "_Tc16486" 【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 PAGEREF _Tc16486 \h 4
\l "_Tc2220" 【考点三 等边三角形的判定】 PAGEREF _Tc2220 \h 8
\l "_Tc17963" 【考点四 等边三角形的判定和性质】 PAGEREF _Tc17963 \h 11
\l "_Tc14825" 【考点五 含30°的直角三角形】 PAGEREF _Tc14825 \h 16
\l "_Tc19570" 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 PAGEREF _Tc19570 \h 18
\l "_Tc13376" 【过关检测】 PAGEREF _Tc13376 \h 21
【典型例题】
【考点一 利用等边三角形的性质求角度】
例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若为等边三角形，且，则的度数= ．
【答案】60°/
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质等知识．利用等边三角形的性质得到，又由已知即可证明，则，利用三角形外角的性质和等量代换即可求出答案．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，若，，则 度．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再由三角形外角的性质证明，据此利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知点，是上的三等分点，是等边三角形，那么的度数为 ．
【答案】120度/
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可．
本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是得出的度数．
【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形，
，，
，，
又∵，，
，
．
故答案为：．
3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．

【答案】15
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理得到，再由等边对等角得到，则．
【详解】解：∵在等边中，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：15．
【考点二 利用等边三角形的性质求线段】
例题：（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称—最短路线问题，由等边三角形的性质可得、两点关于直线对称，连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为，求出即可得解．
【详解】解：∵是等边三角形，为高，
∴、两点关于直线对称，
连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为，

∵E为的中点，
∴，即为的高，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ．
【答案】32
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】过P作交于点F．
∵是等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
又∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为4，D是边的中点，E在边上，，点F在边的延长线上，且，则的长为 ．
【答案】1
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，含的直角三角形的性质等知识，熟练运用各个定理是解题的关键．
解法一：过点D分别作于点M，作于点N，连接，证明及可证明，在中，利用即可求出，再求出，即可求出结果；
解法二：过点D作，交于点G，证明即可证明，再根据中位线定理，求得，即可求得结果．
【详解】解法一：如解图①，过点D分别作于点M，作于点N，连接，
∵D是的中点，
∴是的平分线，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，同理，，
，
，．
多解法
解法二：如解图②，过点D作，交于点G，
则，，．
，
，
∵，
∴是等边三角形，
又∵D是边的中点
∴，
，
．
∵D是的中点，∴G是的中点，
，
，，
故答案为：1．
【考点三 等边三角形的判定】
例题：如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是的等腰三角形是等边三角形即可求证．
【详解】证明：，
为等腰三角形，
又，
，
是等边三角形．
【变式训练】
1．如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．

(1)求证：；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形．理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识．
（1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到．
（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）是等边三角形．理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
2．如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再由对顶角相等得到，由垂线的定义和三角形内角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可证明是等腰三角形；
（2）根据（1）所求，只需要满足即可，再由三角形外角的性质即可得到的度数，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：当时，是等边三角形，证明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键．
【考点四 等边三角形的判定和性质】
例题：如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质：
（1）根据已知条件证明即可得证；
（2）证明，再证明可得，进而证明为等边三角形；
【详解】（1）证明：和均是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
由（1）得，
，即，
在和中，
，
，
，
又，
为等边三角形．
【变式训练】
1．如图，在等边中，点在内，，且，．
(1)试判定的形状，并说明理由；
(2)判断线段，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到是等边三角形；
（2）证明，即可．
【详解】（1）解：是等边三角形．
理由：是等边三角形，
．
又，，
，
，
是等边三角形．
（2）解：．
理由：由（1）知是等边三角形，
，
．
，
．
在和中，
，
．
2．如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，．
(1)求的度数；
(2)判断的形状并加以证明；
(3)连接，若，求的长．
【答案】(1)
(2)是等边三角形，证明见解析
(3)
【分析】（1）首先证明是等边三角形，推出，再证明，推出即可解决问题．
（2）只要证明得到即可证明是等边三角形；
（3）首先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，进而利用勾股定理求出的长，则由等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：，，
是等边三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：是等边三角形，证明如下：
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等边三角形．
（3）解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
，
，
∵，即，，
，
，
∴ ，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
【考点五 含30°的直角三角形】
例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴
∴
∵，
∴
故答案为3
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，，平分，交于点D，若，则 ．
【答案】12
【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据三角形角平分线定义可得，可得，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：12．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，的长是 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求得，再根据含有30°角的直角三角形的性质即可求得BD，进而得到线段的长度．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
故答案为：．
3．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则AB的长为 ．
【答案】4
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到，，再求出，得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∵，
，，
∵
，
，
，
，
．
故答案为：．
【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】
例题：（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在中，，为边上的中线， 则的长等于 ．
【答案】4
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，为边上的中线，
∴，
故答案为：4．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边的中点，若，则 ．
【答案】3
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．在中，利用斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长．
【详解】解：在中，是边的中点，，
．
故答案为3．
2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ．
【答案】45
【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵E是斜边的中点，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点P是的中点，，
∴．
故答案为：8
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在等边中，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质三边相等，即可求解．
【详解】解：在等边中，，
∴，
故选：A．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、等边三角形的性质
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
过C作直线l，
∵直线直线m，
∴直线直线，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，交于点，则的长为（ ）
A．18B．10C．11D．12
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质，然后利用角的和差关系求出，从而可得，再利用等角对等边可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
4．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．6.5B．6.8C．7D．7.2
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，作于，则，证明，得出，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，则，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 如图，中，，，于点，，点在边上，点在边上，连接EF．若，，则线段的长为（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．取的中点，连接，证明是等边三角形，推出，即可求得．
【详解】证明：取的中点，连接，如图，
∵中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
6．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，是等边三角形的中线，且，延长至点E，使，连接，则的长是 ．
【答案】3
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定是解决问题的关键．
先求出，再求出，证出，得出．
【详解】解：∵是等边三角形，
，
∵为中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则等于 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，过作于，由角平分线的定义得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的性质推出．
【详解】解：过作于，
平分，，
，
，
，
，
，
，，平分，
．
故答案为：3．
8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，，与相交于点，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质， 全等三角形的判定和性质． 本题中求证是解题的关键 ．证明，可得，根据，即可求得，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
．
故答案为：
9．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，垂线段最短等知识．解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
如图，取的中点Q，连接，证明，推出，推出当时，最小，此时的值最小．
【详解】解：如图， 取的中点Q，连接．
则．
∵，
∴，．
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴当时，最小．
∵，
∴．
∴的最小值为．
故答案为：．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质等等．过点作轴于点，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后利用等腰三角形的性质可得的长，即可得点的横坐标，同样的方法分别求出点的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，即点的横坐标为，
同理可得：点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
归纳类推得：点的横坐标为（为正整数），
则点的横坐标为，
故答案为：．
三、解答题
11．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，连接，且，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质
【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论；
（2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴.
又∵是中线，
∴平分，
∴.
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）可知，
又∵F是的中点，
∴.
∵，
∴.
又∵为直角三角形，
∴，
∴.
∵是中线，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴的周长为
12．（24-25八年级上·重庆秀山·阶段练习）已知a，b，c是的三边长．
(1)若a，b，c满足，，试判断的形状；
(2)化简：．
【答案】(1)为等边三角形
(2)
【知识点】化简绝对值、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等边三角形的判定
【分析】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1）解：，
且，
，
∴为等边三角形；
（2）解：，，是的三边长，
，，，
原式．
13．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．
(1)求证：平分；
(2)试探究之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定：
（1）作、，由，可知，，由全等三角形性质知，据此得出平分；
（2）在上截取，连接，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出为等边三角形，进而得到，最后根据，得到．
【详解】（1）证明：如图①，作，垂足为点，作，垂足为点，
和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
，且，
，，
，
，
又，，
点在的平分线上，即平分；
（2）解：，证明如下：
如图，在上截取，连接，
，
，
又，
，
，且，
又，
，即，
为等边三角形，
，
又，
．
14．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，为等边三角形，点D与点C关于直线对称，E，F分别是边和上的点，，与交于点G，交于点H．

(1)求的度数，并证明．
(2)求证．
(3)连接，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)是等边三角形，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查全等三角形和等边三角形的判定性质及应用，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定方法是解题的关键，
（1）根据题意可证得，延长至，使，根据等边三角形的判定与性质可得，再由对顶角相等可得；
（2）由于，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，进而证得，即可得到答案；
（3）连接，根据全等三角形的判定方法及性质可得，最后根据等边三边形的判定可得结论．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
又∵
在和中
∴，
延长至，使，连接，
∵，
∴，
∴.
∴；
（2）解：由（1）得：∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵点D与点C关于直线对称，
∴，，
∴，
∴也是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，
在和中
∴，
∴，
而，
∴
（3）解：连接，

在中，，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
15．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)或或
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证；
（2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解；
（3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，当或或时，是等腰三角形．
16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知是等边三角形，点分别为边上的动点（点与线段，的端点不重合），运动过程中始终保持，连接相交于点．
(1)如图①，求证：；
(2)如图①，当点分别在边上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小；
(3)如图②，当点D，E分别在的延长线上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小．
【答案】(1)见解析；
(2)的大小不变，
(3)的大小不变，
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等边三角形的性质
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，，利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
∴；
（2）解：的大小不变，
理由如下：∵，
∴，
∴；
（3）解：的大小不变，
理由如下：在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形．
(1)如图1，点D、E分别为边上的点，且．
①求证：；
②求的度数．
(2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明．
(3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)猜想，证明见解析
(3)的最大值与最小值的差为
【知识点】三角形三边关系的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）①先由等边三角形的性质得到，，再根据“边角边”，证明三角形全等即可．②利用全等三角形的性质得到，再根据三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）在上取一点，使得，证明，得到，据此根据线段的和差关系可证明；
（3）以为边向外作等边，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三角形的三边关系，求出的取值范围，进而得出的取值范围，即可得出的最大值和最小值，然后相减即可得出答案．
【详解】（1）①证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴；
②解：∵，
∴，
∴；
（2）解：猜想，证明如下：
如图2中，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，最大值为，
∵，
∴的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系和三角形外角的性质等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，．
(1)如图1，点在的内部．
①当，求的度数；
②当平分，判断的形状，并说明理由；
(2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）．
【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析
(2)的度数为或．
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定
【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数；
②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状；
（2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数．
【详解】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
为等边三角形；
（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．