专题13.5 解题技巧专题：作辅助线及构造等腰三角形（6大考点）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25154" 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 PAGEREF _Tc25154 \h 1
\l "_Tc29696" 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 PAGEREF _Tc29696 \h 7
\l "_Tc30056" 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc30056 \h 16
\l "_Tc27836" 【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 PAGEREF _Tc27836 \h 19
\l "_Tc30154" 【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 PAGEREF _Tc30154 \h 24
\l "_Tc10353" 【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 PAGEREF _Tc10353 \h 28
【典型例题】
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，．
(1)求证：．
(2)若，求．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，E，F分别在三边上，且，，G为的中点．

(1)若，求的度数；
(2)试说明：垂直平分．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是边上的点，于，于．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的长．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）在中，，，，，的两边分别交直线、于点、．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，问线段、、之间有何数量关系，并证明；
(3)如图3，当时，问线段之间、、有何数量关系？并证明．
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】
例题：（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）
(2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
(3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
【变式训练】
1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

(1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）；
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①求证：；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
2．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．
【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
例题：（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)已知，，求的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且，
(1)若，求的长；
(2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长．
【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．

(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，求的长（用含m，n的式子表示）．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ；
（3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ．
【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】
例题：（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知在等边三角形中，点在AB上，点在CB的延长线上，．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图（1），当点为AB的中点时，确定线段与DB的大小关系：______DB（填“”“”或“=”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图（2），当点为AB边上任意一点时，确定线段与DB的大小关系，并说明理由（提示：过点作，交于点）．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点在线段AB的延长线上，点在线段CB的延长线上，且，若的边长为，，求CD的长（请根据题意画出相应图形，并直接写出结果）．
【变式训练】
1.（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足．
(1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长．
(2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．
【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】
例题：（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明．
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
如图1，在中，，怎样证明呢？

如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得．
感悟与应用：
（1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程；
（2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，AD平分，，探究，AB，BD之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如下图，在上截取，使得，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决此问题
方法2：如下图，延长AB到点，使得 ，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决此问题
(1)根据探究，直接写出，AB，BD之间的数量关系；
【迁移应用】
(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究CD，AB，BD之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】
(3)如下图，为等边三角形，点为AB延长线上一动点，连接CD．以CD为边在CD上方作等边，点是DE的中点，连接并延长，交CD的延长线于点．若，求证：；