重点 北京市顺义区第三中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷(1)（解析版）

这是一份重点 北京市顺义区第三中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷(1)（解析版），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A. 3cm、5cm、6cm、9cmB. 3cm、5cm、8cm、9cm
C. 3cm、9cm、10cm、30cmD. 3cm、6cm、7cm、9cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：A．，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B．，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C．，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D．，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键．
【详解】解：的顶点坐标为，
故选：．
3. 如图所示，点、分别在的、边上，且．如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，再结合求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：C
4. 把二次函数图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．根据二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，即可求得结果．
【详解】解：把二次函数的图象向左平移2个单位，得到，
再向上平移1个单位，得到，
故答案选：A．
5. 如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A. 0.4B. 0.8C. 1D. 1.6
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：A
6. 如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若，则，故选项A不合题意；
若，则，故选项B不合题意；
若，则，故选项C不合题意；
若，不能证明，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
7. 若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可．
【详解】解：函数的图象与轴有公共点，
方程有两个实数根，即，
解得：．
故选：C．
8. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可．
【详解】由图可知，或时二次函数图象在一次函数图象下方，
所以，满足的x的取值范围是或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由变形为，整理后取倒数即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．
10. 请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，与y轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．
【详解】∵抛物线开口向下，并且与y轴交于点（0,1）
∴二次函数的一般表达式中，a<0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：（答案不唯一）.
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键.
11. 若两个相似三角形的相似比为3∶4，则它们的面积比为_______．
【答案】9 ：16##
【解析】
【分析】根据形似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可
【详解】解：∵两个相似五边形的相似比为3：4，
∴它们的面积比为9：16
故答案为9：16
【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
12. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
【答案】##
【解析】
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
13. 如图，抛物线对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，即可求解．
【详解】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，
则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，
则：点Q的横坐标为-1+4=3，
故答案为（3，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，掌握抛物线的对称性是解题的关键．
14. 如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为______

【答案】4
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质可以得到的面积等于的一半，由此可以得到它们的关系．
【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得面积等于，
解得：，
∵反比例函数（k为常数，）的图象在第一和第三象限，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键．
15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定及性质可得（），进而可求解．
【详解】解：，且，
，
，即：，
解得：（），
（），
树高是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
16. 某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需，，，，，，七道工序．施工要求如下：
①先完成工序，，，再完成工序，，，最后完成工序；
②完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行；
③完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少_____天完成．
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是_____万元．
【答案】 ①. 85 ②. 29
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键．
（1）根据施工要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可；
（2）根据工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，分析缩短的各个工序天数情况解答即可．
【详解】解：（1）由题意得：先完成工序，，同时完成工序，则完成工序，，所需最少时间为：28天，
先完成工序，，同时完成工序，则完成工序，，所需最少时间为：天，
完成工序所需最少时间为：24天，
∴该施工任务最少完成时间为：（天），
即在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少85天完成；
故答案为：85；
（2）∵工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，
∴工序增加的投入最少，先缩短工序2天，使工序和工序，之和相同，增加的投入万元；之后只能工序，，一起缩短才行，此时工序增加的投入最少，工序最多缩短天，使工序，总时间与完成工序时间一致，增加的投入万元；最后一天同时缩短，一天，增加的投入万元；
∴所增加的投入最少是万元．
故答案为：29．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分；第23-26题每题6分；第27、28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 已知一条抛物线的顶点坐标为，且经过点，求抛物线的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟知顶点式的特征是解本题的关键；根据顶点坐标设抛物线解析式为，代入已知点坐标计算即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线表达式为，
∵抛物线经过点，
∴将代入，
得：，
∴，
∴．
18. 如图，在中，，是斜边上的高．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论．
小问1详解】
证明：，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵
，
即，
．
19. 已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
（2）直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次不等式间的关系．
（1）抛物线转换成顶点式即可得顶点坐标，再分别求时的x值和时的y值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）根据函数图象知，时的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围，据此可得．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，即，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为；
【小问2详解】
解：抛物线图象如图：
由图象可得，当时，的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围：．
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）则__________°，__________；
（2）判断与是否相似．若相似，请说明理由．
【答案】（1），
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定．
（1）根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到的度数，再根据邻补角定义即可得到的度数；利用勾股定理，即可求出的值，构造利用勾股定理，是解题关键；
（2）方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的倍，可求出对角线，的值，然后通过构造，利用勾股定理可求出的值，由此即可得到和三边的值，根据相似三角形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出，的值，由（1）可得到的值，同理可求出的值，已知，的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键．
【小问1详解】
解：如图，令的正方形顶点分别为，，，，
由题意得为边长为1的小正方形的对角线，
，
，
由图可知，是的斜边，，
．
【小问2详解】
解：判断：，
解法一：
证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线，
，，
由图可得是的斜边，，
，
又∵，，
，
，
．
解法二：
证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线，
，，
又，，
，
，
，都是正方形的对角线，
，
，
．
21. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，
（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；
（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；
（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长．
【详解】（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC，
∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，
∴△AFE∽△CFD，
（Ⅱ）由（1）知△AFE∽△CFD，
∴，
而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3，
∴AE＝2，AC＝5，
∴，
而AC＝5，
∴AF＝，CF＝，
故CF的长为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．
22. 已知二次函数在和时的函数值相等．
（1）求二次函数图像的对称轴；
（2）过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N．当时，求b的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可．
(2)设，，根据对称轴为直线，，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可；
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【小问1详解】
∵二次函数在和时函数值相等，
∴对称轴为直线．
【小问2详解】
∵过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，设，，
∵对称轴为直线，，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，点N的坐标为
∴，，
∴，．
23. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为．
（1）求绳子所对应的抛物线表达式；
（2）身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
【答案】（1）
（2）绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的最值．
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先将函数关系式化为顶点式，求出函数的最值，再与小明的身高作比较，即可作答．
【小问1详解】
根据题意，抛物线经过点，．
∴，
解得，
∴绳子所对应的抛物线表达式为：；
【小问2详解】
身高的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
∵，
∴当时，，
∵，
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
24. 如图，点E是矩形的边AB上一点，沿直线CE将翻折，使得点B落在AD边上，记作点F．

（1）求证：；
（2）若，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的证明与性质，折叠的性质等，熟练掌握相似三角形的证明及性质是解题关键．
（1）通过矩形以及折叠性质得到，，即可得证．
（2）通过第一问得到的相似三角形，通过对应边成比例算出的长度，再通过折叠性质，利用勾股定理及相似的性质可求得，进而得到．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
由折叠得：，
设，则，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
25. 电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标.高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
则设______为，______为，是的函数；
（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，下列说法正确的有______：
①随的增大面减小；
②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
（4）若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范围内．
【答案】（1）续航里程，速度
（2）见解析 （3）②③
（4）35，100
【解析】
【分析】本题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量的定义．
（1）根据表格，由函数定义求解即可；
（2）利用表格数据，描点法画函数图象即可；
（3）由函数图象即可得出结果；
（4）由函数图象即可得出结果．
【小问1详解】
解：由表格可设续航里程，速度为，
故答案为：续航里程，速度；
【小问2详解】
解：函数图象如图所示：
【小问3详解】
解：根据函数图象得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小；
正确的有：②③，
故答案为：②③；
【小问4详解】
解：根据函数图象得：想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在35至100千米/小时范围内，
故答案为：35，100．
26. 已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点，在该抛物线上，若，求a取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）把抛物线解析式转化成顶点式即可求解；
（2）分类讨论：当时，抛物线开口向上时，当时，抛物线开口向下时，根据点P、Q在对称轴异侧或同侧和二次函数的图象与性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：当时，抛物线开口向上，
①若点P、Q在对称轴异侧，
∵，
∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
∴，
∴，
又∵，
∴此情况不成立，
②若点P、Q对称轴同侧，
当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
当时，抛物线开口向下，
①若点P、Q在对称轴异侧
∵，
∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
∴，
∴，
∴，
②若点P、Q在对称轴同侧，
当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴与矛盾，
∵此情况不成立，
综上所述，或．
27. 如图，在中，，，过点的射线与斜边交于点，于点．
（1）求证：；
（2）连接，若满足，，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余角和互余的性质，即可证明结论；
（2）过点B作，交AD延长线与点F，先证明，得到，，再证明，得到，进而得出，最后利用勾股定理，即可求出的值．．
【小问1详解】
证明：
【小问2详解】
解：如图，过点B作，交AD延长线与点F，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的特征，垂线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
28. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”．
（1）如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ；
（2）点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ；
（3）已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ．
【答案】（1）
（2），
（3），或，
【解析】
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上；
（2）把代入求出解析式，再求于的交点即为；
（3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可．
【小问1详解】
解：矩形的顶点坐标分别是，，，，
当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或，
当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或，
点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，
把代入得，
∴，
“和谐点”的横坐标和纵坐标相等，
“和谐点”都在的图象上，联立得：，
解得或，
，
直线的解析式为，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：点，是抛物线上的“和谐点”，
，
即，
解得，，
当时，，当时，，
∴点，的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/天
11
15
28
17
16
31
24
速度（千米/小时）
10
20
30
40
60
80
100
120
140
160
续航里程（千米）
100
340
460
530
580
560
500
430
380
310