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数学-四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高二上学期期中考试
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这是一份数学-四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高二上学期期中考试，共8页。
本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.
注意事项：
1、答题前，请将本人的信息用毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；
2、选择题的答案，必须使用铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；
3、请用毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用铅笔或毫米黑色签字笔；
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.在中，则顶点的轨迹方程（ ）
A. B.
C. D.
3.已知为在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C.2 D.
4.直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
5.与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6.在平行六面体中，若
则=（ ）
A. B.
C. D.
7.已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C. D．
8.在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ）
A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B.若非零向量，满足则有
C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D.设为空间的一组基底，且则四点共
10.若方程所表示的曲线为，则（ ）
A．曲线可能是圆
B.当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为
C．若，则为椭圆
D．若为椭圆，且焦点在轴上，则
11.过点的直线与圆相切，切点分别为，则（ ）
A．当时，B．存在，使得
C．直线经过点D．直线与直线的交点在定圆上
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.
12.双曲线的左右焦点分别是，是双曲线左支上一点，且则 .
13.已知椭圆的左､右焦点分别为过作x轴垂线交椭圆于P，若，则该椭圆的离心率是 .
第14题图
14.如图所示，在四面体中，为等边三角形， ，则平面与平面夹角的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为点在AD边所在直线上．
(Ⅰ) 求AD边所在直线的方程；
(Ⅱ) 求对角线AC所在直线的方程．
(15分)
已知圆与轴相切，其圆心在轴的正半轴上，且圆被直线截得的弦长为.
(Ⅰ) 求圆的标准方程；
(Ⅱ) 若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
17.（15分）
如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，,平面，M、N分别为、的中点.
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(Ⅲ) 求面积的最大值.
(17分)
定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
(Ⅰ) 求点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
(ⅰ) 求直线的方程；
(ⅱ) 若圆H是以线段为直径的圆，直线与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
绵阳南山中学2024年秋季高2023级半期考试
数学试题参考答案
一、选择题
填空题
12. 9 13. 14.
四、解答题
15.解：(Ⅰ)法一：因为AB边所在直线的方程为，所以．又因为矩形ABCD中，，所以,所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：，即；
法二：因为，设AD边所在直线的方程为：
又因为直线AD过点，所以将点代入上式得:．所以AD边所在直线的方程为：；
(Ⅱ)由，得：，得AC所在直线的方程：，即．
16.解：（Ⅰ）由题可设圆C的方程为，则有，解得；所以圆C的标准方程为：；
（Ⅱ）因为，所以过的切线有两条，当斜率存在时，设切线方程为：即，所以有：，解得：；
所以的方程为：。
17.解：（Ⅰ）因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得A0,0,0，，，，，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
（Ⅱ）由（1）得直线的一个方向向量为
平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（Ⅰ）由已知,所以C的标准方程为：；
（Ⅱ）设，则有两式相减可得：
即，
即，为定值；
（Ⅲ）设的方程为：，，
由消去得： ，
令，，当且仅当时，取“=”，所以面积的最大值为1.
19.解:（Ⅰ）因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P轨迹方程为
（Ⅱ）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则所以，即点P在圆上，则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，
故直线的方程为。
( ii )设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为.
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，所以圆H的方程为.
假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，
由可得，所以，
代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选 项
A
A
B
C
C
D
C
D
ABC
AD
ACD
本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.
注意事项：
1、答题前，请将本人的信息用毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；
2、选择题的答案，必须使用铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；
3、请用毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用铅笔或毫米黑色签字笔；
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.在中，则顶点的轨迹方程（ ）
A. B.
C. D.
3.已知为在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C.2 D.
4.直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
5.与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6.在平行六面体中，若
则=（ ）
A. B.
C. D.
7.已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C. D．
8.在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ）
A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B.若非零向量，满足则有
C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D.设为空间的一组基底，且则四点共
10.若方程所表示的曲线为，则（ ）
A．曲线可能是圆
B.当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为
C．若，则为椭圆
D．若为椭圆，且焦点在轴上，则
11.过点的直线与圆相切，切点分别为，则（ ）
A．当时，B．存在，使得
C．直线经过点D．直线与直线的交点在定圆上
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.
12.双曲线的左右焦点分别是，是双曲线左支上一点，且则 .
13.已知椭圆的左､右焦点分别为过作x轴垂线交椭圆于P，若，则该椭圆的离心率是 .
第14题图
14.如图所示，在四面体中，为等边三角形， ，则平面与平面夹角的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为点在AD边所在直线上．
(Ⅰ) 求AD边所在直线的方程；
(Ⅱ) 求对角线AC所在直线的方程．
(15分)
已知圆与轴相切，其圆心在轴的正半轴上，且圆被直线截得的弦长为.
(Ⅰ) 求圆的标准方程；
(Ⅱ) 若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
17.（15分）
如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，,平面，M、N分别为、的中点.
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(Ⅲ) 求面积的最大值.
(17分)
定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
(Ⅰ) 求点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
(ⅰ) 求直线的方程；
(ⅱ) 若圆H是以线段为直径的圆，直线与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
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数学试题参考答案
一、选择题
填空题
12. 9 13. 14.
四、解答题
15.解：(Ⅰ)法一：因为AB边所在直线的方程为，所以．又因为矩形ABCD中，，所以,所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：，即；
法二：因为，设AD边所在直线的方程为：
又因为直线AD过点，所以将点代入上式得:．所以AD边所在直线的方程为：；
(Ⅱ)由，得：，得AC所在直线的方程：，即．
16.解：（Ⅰ）由题可设圆C的方程为，则有，解得；所以圆C的标准方程为：；
（Ⅱ）因为，所以过的切线有两条，当斜率存在时，设切线方程为：即，所以有：，解得：；
所以的方程为：。
17.解：（Ⅰ）因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得A0,0,0，，，，，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
（Ⅱ）由（1）得直线的一个方向向量为
平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（Ⅰ）由已知,所以C的标准方程为：；
（Ⅱ）设，则有两式相减可得：
即，
即，为定值；
（Ⅲ）设的方程为：，，
由消去得： ，
令，，当且仅当时，取“=”，所以面积的最大值为1.
19.解:（Ⅰ）因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P轨迹方程为
（Ⅱ）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则所以，即点P在圆上，则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，
故直线的方程为。
( ii )设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为.
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，所以圆H的方程为.
假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，
由可得，所以，
代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选 项
A
A
B
C
C
D
C
D
ABC
AD
ACD
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