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人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率课后练习题
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率课后练习题，共25页。
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
答案：解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
第2题. （2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
第3题. （2007海南、宁夏理）设函数．
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
答案：解：
（Ⅰ），
依题意有，故．
从而．
的定义域为．当时，；
当时，；
当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根
，．
当时，，从而在的定义域内没有零点，
故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，
由极值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
．
第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是 ．
答案：
第5题. (2007湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
答案：解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处穿过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即．又由，得．故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则．
所以．又由，得，故
第6题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．
答案：
第7题. (2007江西理)设在内单调递增，，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：B
第8题. （全国卷I理）设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围答案：解：
（Ⅰ）的导数．
由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则
，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
第9题. (2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：A
第10题. (2007全国I文)设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
答案：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为．
第11题. (2007全国II理)已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
答案：解：（1）求函数的导数：．
曲线在点处的切线方程为：
，
即．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记，
则．
当变化时，变化情况如下表：
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即．
第12题. (2007陕西理)设函数，其中为实数．
（I）若的定义域为，求的取值范围；
（II）当的定义域为时，求的单调减区间．
答案：解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
（Ⅱ），令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
第13题. (2007浙江理)设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
答案：（I）解：．
由，得
．
因为当时，，
当时，，
当时，，
故所求函数的单调递增区间是，，
单调递减区间是．
（II）证明：（i）方法一：
令，则
，
当时，由，得．
当时，，
当时，，
所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则
，
由，得．
当时，．
当时，，
所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，，时，
，，
由（i）得，，
再取，得，
所以，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即，①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，
第15题. (2007安徽文)设函数，，
其中，将的最小值记为．
（I）求的表达式；
（II）讨论在区间内的单调性并求极值．
答案：解：（I）我们有
．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
（II）我们有．
列表如下：
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
第16题. 设，．
（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当时，恒有
答案： （Ⅰ）解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
第17题. (2007天津理)已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
答案：（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
第18题. (2007天津理)已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
答案：（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．
答案： 解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
．
（Ⅱ）
．
令得或（不合题意，舍去）．
，．
在两侧的值由正变负．
所以（1）当即时，
．
（2）当即时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
第20题. (2007广东文)函数的单调递增区间是．
答案：
第21题. (2007广东文)已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．
（1）求的值；
（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．
答案：解：(1) 由 得
(2)
又
数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列；
第22题. (2007山东理)设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
答案：解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，
．
当时，，
即在上恒成立，
当时，，
当时，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，有两个相同的解，
时，，
时，，
时，函数在上无极值点．
③当时，有两个不同解，，，
时，，，
即，．
时，，随的变化情况如下表：
由此表可知：时，有惟一极小值点，
当时，，
，
此时，，随的变化情况如下表：
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：
时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点．
（Ⅲ）当时，函数，
令函数，
则．
当时，，所以函数在上单调递增，
又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
对任意正整数取，则有．
所以结论成立．
第23题. (2007四川理)设函数
（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数，证明（是的导函数）；
（Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：
因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立．
第24题. (2007重庆理)已知函数在处取得极值，其中为常数．
（Ⅰ）试确定的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
答案：解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得
．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．
导数的应用
第1题. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
第2题. 设函数．
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
答案：解：
每个点落入中的概率均为．
依题意知．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）依题意所求概率为，
．
第3题. （2007海南、宁夏文）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是 ．
答案：
第5题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．
答案：
第6题. (2007江西文)设在内单调递增，，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｃ
第7题. (2007江西文)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
答案：Ａ
第8题. (2007全国II文)已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）求的取值范围．
答案：解：求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于 即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
b
a
2
1
2
4
O
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
第9题. (2007山东文)设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
答案：证明：因为，所以的定义域为．
．
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，
令，
将（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为．
当时，随的变化情况如下表：
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
第10题. （2007山东文)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
答案：解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设．
联立
得，则
又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即．
．
．
．
解得：，且均满足．
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
第11题. 已知在区间上是增函数，在区间上是减函数，又．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在区间上恒有成立，求的取值范围．
答案：解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，．
第12题. (2007广东文)若函数，则函数在其定义域上是（ ）
A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数
答案：B
第13题. (2007湖北文)已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．
答案：3
第14题. (2007四川文)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
答案：Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
，列表如下：
所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是．
第15题. (2007天津文)设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．
答案：（Ⅰ）解：当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
第16题. (2007重庆文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
答案：解：设长方体的宽为，则长为，
高为．
故长方体的体积为．
从而．
令，解得（舍去）或，因此．
当时，；当时，．
故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值．
从而最大体积，此时长方体的长为，高为．
答：当长方体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为．0
0
0
极大值
极小值
极大值
极小值
2
0
极小值
0
0
极小值
极大值
0
0
极大值
极小值
0
0
极小值
极大值
0
0
极大值
极小值
极小值
极大值
极小值
0
极小值
0
极大值
极大
极小
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
答案：解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
第2题. （2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
第3题. （2007海南、宁夏理）设函数．
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
答案：解：
（Ⅰ），
依题意有，故．
从而．
的定义域为．当时，；
当时，；
当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根
，．
当时，，从而在的定义域内没有零点，
故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，
由极值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
．
第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是 ．
答案：
第5题. (2007湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
答案：解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处穿过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即．又由，得．故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则．
所以．又由，得，故
第6题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．
答案：
第7题. (2007江西理)设在内单调递增，，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：B
第8题. （全国卷I理）设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围答案：解：
（Ⅰ）的导数．
由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则
，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
第9题. (2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：A
第10题. (2007全国I文)设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
答案：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为．
第11题. (2007全国II理)已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
答案：解：（1）求函数的导数：．
曲线在点处的切线方程为：
，
即．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记，
则．
当变化时，变化情况如下表：
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即．
第12题. (2007陕西理)设函数，其中为实数．
（I）若的定义域为，求的取值范围；
（II）当的定义域为时，求的单调减区间．
答案：解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
（Ⅱ），令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
第13题. (2007浙江理)设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
答案：（I）解：．
由，得
．
因为当时，，
当时，，
当时，，
故所求函数的单调递增区间是，，
单调递减区间是．
（II）证明：（i）方法一：
令，则
，
当时，由，得．
当时，，
当时，，
所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则
，
由，得．
当时，．
当时，，
所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，，时，
，，
由（i）得，，
再取，得，
所以，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即，①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，
第15题. (2007安徽文)设函数，，
其中，将的最小值记为．
（I）求的表达式；
（II）讨论在区间内的单调性并求极值．
答案：解：（I）我们有
．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
（II）我们有．
列表如下：
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
第16题. 设，．
（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当时，恒有
答案： （Ⅰ）解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
第17题. (2007天津理)已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
答案：（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
第18题. (2007天津理)已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
答案：（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．
答案： 解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
．
（Ⅱ）
．
令得或（不合题意，舍去）．
，．
在两侧的值由正变负．
所以（1）当即时，
．
（2）当即时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
第20题. (2007广东文)函数的单调递增区间是．
答案：
第21题. (2007广东文)已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．
（1）求的值；
（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．
答案：解：(1) 由 得
(2)
又
数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列；
第22题. (2007山东理)设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
答案：解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，
．
当时，，
即在上恒成立，
当时，，
当时，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，有两个相同的解，
时，，
时，，
时，函数在上无极值点．
③当时，有两个不同解，，，
时，，，
即，．
时，，随的变化情况如下表：
由此表可知：时，有惟一极小值点，
当时，，
，
此时，，随的变化情况如下表：
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：
时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点．
（Ⅲ）当时，函数，
令函数，
则．
当时，，所以函数在上单调递增，
又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
对任意正整数取，则有．
所以结论成立．
第23题. (2007四川理)设函数
（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数，证明（是的导函数）；
（Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：
因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立．
第24题. (2007重庆理)已知函数在处取得极值，其中为常数．
（Ⅰ）试确定的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
答案：解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得
．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．
导数的应用
第1题. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
第2题. 设函数．
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
答案：解：
每个点落入中的概率均为．
依题意知．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）依题意所求概率为，
．
第3题. （2007海南、宁夏文）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是 ．
答案：
第5题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．
答案：
第6题. (2007江西文)设在内单调递增，，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｃ
第7题. (2007江西文)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
答案：Ａ
第8题. (2007全国II文)已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）求的取值范围．
答案：解：求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于 即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
b
a
2
1
2
4
O
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
第9题. (2007山东文)设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
答案：证明：因为，所以的定义域为．
．
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，
令，
将（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为．
当时，随的变化情况如下表：
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
第10题. （2007山东文)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
答案：解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设．
联立
得，则
又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即．
．
．
．
解得：，且均满足．
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
第11题. 已知在区间上是增函数，在区间上是减函数，又．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在区间上恒有成立，求的取值范围．
答案：解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，．
第12题. (2007广东文)若函数，则函数在其定义域上是（ ）
A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数
答案：B
第13题. (2007湖北文)已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．
答案：3
第14题. (2007四川文)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
答案：Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
，列表如下：
所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是．
第15题. (2007天津文)设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．
答案：（Ⅰ）解：当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
第16题. (2007重庆文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
答案：解：设长方体的宽为，则长为，
高为．
故长方体的体积为．
从而．
令，解得（舍去）或，因此．
当时，；当时，．
故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值．
从而最大体积，此时长方体的长为，高为．
答：当长方体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为．0
0
0
极大值
极小值
极大值
极小值
2
0
极小值
0
0
极小值
极大值
0
0
极大值
极小值
0
0
极小值
极大值
0
0
极大值
极小值
极小值
极大值
极小值
0
极小值
0
极大值
极大
极小
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