2025年中考数学一轮复习讲练测课件第21讲 相似三角形及其应用（含解析）

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相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”.相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似．④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
1. 判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等.
题型01 添加条件使两个三角形相似
题型02 证明两个三角形相似
题型03 确定相似三角形的对数
题型04 在网格中判断相似三角形
题型05 利用相似的性质求解
题型06 利用相似的性质求点的坐标
【例6】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A(1,0)，B(2,0)，C(0,1)，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．
题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形
题型08 证明三角形的对应线段成比例
【例8】（2020·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（    ）A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象
题型11 尺规作图与相似三角形综合应用
题型12 三角板与相似三角形综合应用
题型13 平移与相似三角形综合应用
题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值
【例15】（2019·广东·江门市第二中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)当△CPQ与△BDC相似时，求t值；(3) 设△CPQ的面积为y，求y与t的函数关系式，并判断△PCQ的面积是否有最大值还是最小值？若有，求出t为何值时y的最值，若没有，则说明理由．
【提示】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；（3）结论：△PCQ的面积是否有最大值；过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；即可解决问题；
题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
题型03 一线三垂直模型
题型04 三角形内接矩形模型
题型05 旋转相似模型
【提示】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
1.利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．2.利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【例1】（2022·陕西渭南·统考一模）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子．已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝∠AEB，积水水面大小忽略不计）
题型02 测量旗杆高度
题型03 测量楼高问题
题型04 测量河宽问题
【例4】（2021·陕西西安·校考一模）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
题型07 九章算经问题
题型08 三角形内接矩形问题
【例8】（2020·广东江门·统考二模）如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100m，高AH＝80m．某单位要沿着底边BC修一座底面积是矩形DEFG的大楼．（1）求地基的面积y（m2）和边EF的长x（m）的函数关系式；（2）当地基的边长EF为多少时地基的面积最大，最大面积是多少？