2025年中考数学一轮复习题型分类练习第一章 数与式（测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份2025年中考数学一轮复习题型分类练习第一章 数与式（测试）（2份，原卷版+解析版），文件包含2025年中考数学一轮复习题型分类练习第一章数与式测试原卷版docx、2025年中考数学一轮复习题型分类练习第一章数与式测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【原创题】《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．
2．不一定相等的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
【详解】解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理
3．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
4．与结果相同的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．
5．若取1.442，计算的结果是（ ）
A．-100B．-144．2
C．144.2D．-0.01442
【答案】B
【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．
【详解】

故选B．
【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键．
6．【原创题】要比较与中的大小（x是正数），知道的正负就可以判断，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将进行化简得到，利用x是正数，可得出，即可判断A和B的大小，进而可得答案．
【详解】解：由题意可知：
∵，
∴，，
∴，即，
故选：C．
【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简．
7．已知，则（ ）
A．yB．C．D．
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选D
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“”是解本题的关键．
8．已知：，，，则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出，，的值，然后根据实数大小比较的方法，判断出，，大小关系即可．
【详解】，，，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【新考法】 数学与规律探究——乘方类规律
9．我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64B．128C．256D．612
【答案】C
【分析】由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）8所有项的系数和为28，即可得出答案．
【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知，
展开式中所有项的系数和为1，
展开式中所有项的系数和为2，
展开式中所有项的系数和为4，
展开式中所有项的系数和为8，
……
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为．
故选：C．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律．
10．对于多项式，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（ ）
①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到；②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的代数式
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】①乙同学第一次对a和d，第二次对a和e进行加负运算，可得①正确；若乙同学对a和ｂ进行加负运算得：，可得其相反的代数式为，则甲同学对c、d、e进行加负运算，可得与之相反的代数式，同理乙同学可改变字母或或或或或或或或，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，可得②正确；若固定改变a，乙同学可改变字母或或或；若固定改变b，乙同学可改变字母或或；固定改变c，乙同学可改变字母或；固定改变d，乙同学可改变字母，可得③错误，即可．
【详解】解：①乙同学第一次对a和d进行加负运算得
；
第二次对a和e进行加负运算得
，故①正确；
②若乙同学对a和ｂ进行加负运算得：
，
则其相反的代数式为，
∵甲同学对c、d、e进行加负运算得：，
同理乙同学可改变字母或或或或或或或或，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，故②正确；
若固定改变a，乙同学可改变字母或或或；
若固定改变b，乙同学可改变字母或或；
固定改变c，乙同学可改变字母或；
固定改变d，乙同学可改变字母，
所以一共有4+3+2+1=10种，故③错误．
故选：C
【点睛】本题主要考察逻辑分析，注意甲乙同学可改变字母个数的不同是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 【原创题】 12024的倒数是_________.|-2024|的相反数是_________. - [+(-2024)]= _________.
【答案】2024,-2024,-2024
12．写出一个无理数x，使得，则x可以是 （只要写出一个满足条件的x即可）
【答案】答案不唯一（如等）
【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，
【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足即可；
所以可以写：
①开方开不尽的数：
②无限不循环小数，，
③含有π的数等．只要写出一个满足条件的x即可．
故答案为：答案不唯一（如等）
【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【新考法】 数学与实际生活——游戏中的数学
13．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 ．

【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一）
【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
（5-3+2）×6＝24，
故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．
14．如果单项式与的和是单项式，那么 ．
【答案】
【分析】由题意推出与是同类项，即可求解．
【详解】解：由题意得：与是同类项，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查同类项的定义：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．掌握相关定义即可求解．
15．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
【答案】 4
【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；
（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．
【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为；
故答案为：．
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．
【新考法】 信息题
16．当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）
【新考法】 数学与实际生活——游戏中的数学
17．如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的数（x为正整数）；现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数．

(1)若佳佳摸取到如下两个小球，请计算出结果；

(2)佳佳摸出全部的五个球，若计算结果为3，求出x的值．
【答案】(1)
(2)x的值为
【分析】（1）由题意得，，计算求解即可；
（2）由题意得，，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴结果为3；
（2）解：由题意得，，
∴，解得，
∴x的值为．
【点睛】本题考查了根据二次根式的性质化简，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，解一元一次方程．解题的关键在于根据题意列方程并正确的计算求解．
18．【原创题】根据这条性质，解答下列问题：
(1)当________时，有最小值，此时最小值为________；
(2)已知，互为相反数，且，，求的值．
【答案】(1)；
(2)/
【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可；
（2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，有最小值，
∴，
故答案为：；．
（2）解：∵，互为相反数，
∴，
又∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键．
19．发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：；论证见解析
【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
【详解】证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
20．（1）计算：．
（2）化简求值：，其中．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再计算实数的混合运算即可得；
（2）先计算分式的加法运算，再根据得出代入求值即可得．
【详解】解：（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数幂、分式的化简求值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
21．已知数轴上有两个点A：－3，B：1．
(1)求线段AB的长；
(2)若，且m<0；在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n．
①求m与n；
②计算2m+n+mn；
【答案】(1)4
(2)①m=－2，n=6；②－10
【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算方法求解；
（2）①先根据m的绝对值及m的取值范围求出m值，再根据n与1的距离为5，求出n值；
②将①中的m、n的值代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵A点表示的数为－3，B点表示的数为1，
∴AB=1－（－3）=4．
（2）解：①∵，且m<0，
∴m=－2，
∵在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n，
∴n=1+5=6．
②当m=－2，n=6时，
原式=2×（－2）+6+（－2）×6
=－4+6－12
=－10．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义及有理数混合运算等知识，掌握数轴上两点间距离计算方法（较大数减去较小数）是解题关键．
22．仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
∴
∴
∴
∴
根据以上解题过程，试探究下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值；
（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b；
（3）先把代入，得到关于n和t的式子，再仿照（1）（2）题求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，，
，；
（3）解：，
，
，
，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质、零指数幂等，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
【新考法】与实数有关的新定义问题
23．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
(2)数A可能为732或372或516或156
【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴357不是15“和倍数”；
∵，
∴441是9的“和倍数”．
（2）∵三位数A是12的“和倍数”，
∴，
∵，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，
∴，
∵为整数，
设（k为整数），
则，
整理得：，
根据得：，
∵，
∴，解得，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
整理得：，
∵，k为整数，
∴或，
当时，，
∵，
∴，，
，，，或，，，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴不是12的“和倍数”，
∵，
∴不是12的“和倍数”；
当时，，
∵，
∴，
，，，组成的三位数为516或156，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
24．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有．
(1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．
(2)推导该结论的其他思路还有：
①利用，，，再配方，……
②利用，使用平方差公式，……．
③利用，……
上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路．
【答案】(1)①，②，③，④，⑤
(2)见解析
【分析】（1）根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤；
（2）根据题目所给思路，进行推理论证即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
根据三角形三边之间的关系可得：，
∴，
∴，即；
（2）解：①∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，则；
②∵，
∴，
则，
，
∵，
∴，则，
∴将左边除以，右边除以得：，
即；
③∵，
∴，则，
∴，
∴，
∴，即；
【点睛】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中．
【新考法】 利用数形结合解决计算问题
25．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+的值（其中是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．
【问题提出】求的值（其中是正整数）．
【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．
探究1：如图2，可以看成1个的正方形的面积，即
探究2：如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；分别表示1个的长方形，其面积的和为：；的面积和为，而恰好可以拼成一个的大正方形．由此可得：．
(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：______=______．（要求自己构造图形并写出推证过程）
(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：______=______（要求直接写出结论，不必写出推证过程）
(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有：个，
棱长是2的正方体有：个，
……
棱长是6的正方体有：个；
然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为______．
(4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为_________．
(5)【拓展探究】
观察下列各式：
若（为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则的值______．
【答案】(1)；62；推导过程见解析
(2)；
(3)441
(4)6859
(5)45
【分析】（1）根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究13+23+33=？肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证．
（2）利用（1）的结论计算即可；
（3）根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2来求得．
（4）逆向应用：可将总个数看成m2，然后再写成=（1+2+3+…+n）2得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数．
（5）首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再看出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数-1）+1，问题得以解决．．
【详解】（1）解：（或36）
如图，表示一个1×1的正方形，即，
表示2个2×2的正方形，即：，
表示3个3×3的正方形，即：，
而恰好可以拼成一个大正方形，边长为：，
∵，
∴，
故答案是：（1+2+3）2，62；
（2）解：由（1）探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：
；
（3）解：图4中大小正方体的个数为
故答案为：441；
（4）解：由（2）得（1+2+3+…+n）2=36100，
∴1+2+3+…+n=190，
∴，
解得：n1=19，n2=-20(舍去)，
∴棱长为1的小正方体的个数为193=6859．
故答案为：6895；
（5）解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，
33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，
43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，
53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，
…
发现奇数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是底数×（底数-1）+1，
∴453，分裂中的第一个数是：45×44+1=1981，
463，分裂中的第一个数是：46×45+1=2071，
∵1981<2021<2071，
∴2021在第45组里．
∵（为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，
∴m=45,
故答案为：45．
【点睛】本题考查数字规律探究，利用数形结合，探究出规律是解题的关键．