2025年中考数学二轮培优重难点题型分类练习专题02 新知识学习型&新定义问题之求函数的特殊点（2份，原卷版+解析版）

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通用的解题思路：
先把新定义中的等量关系翻译成一个函数解析式、再把翻译出的函数与每一问中的函数联立，总结成六个字，就是：先翻译、再联立。
①联立之后若得到含参数的一元一次方程ax=b
②联立之后若得到含参数的一元二次方程，首选十字相乘，其次韦达定理，最次公式法。
1. （中考真题）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m＝2，∵点P（2，2）在反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上，∴n＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵“梦之点”满足的解析式为y＝x，如果函数y＝3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”，
联立得：x＝3kx+s﹣1，整理，得（3k﹣1）x＝1﹣s，当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x＝；
当3k﹣1＝0，1﹣s＝0，即k＝，s＝1时，x有无穷多解；当3k﹣1＝0，1﹣s≠0，即k＝，s≠1时，x无解；综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k＝，s＝1时，“梦之点”有无数个；当k＝，s≠1时，不存在“梦之点”；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1＝ax12+bx1+1，x2＝ax22+bx2+1，∴ax12+（b﹣1）x1+1＝0，ax22+（b﹣1）x2+1＝0，
∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1＝0的两个不等实根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（）2﹣4•＝＝4，
∴b2﹣2b＝4a2+4a﹣1＝（2a+1）2﹣2，∴t＝b2﹣2b+＝（2a+1）2﹣2+＝（2a+1）2+．
∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，∴﹣4＜x2＜4，∴﹣8＜x1•x2＜8，∴﹣8＜＜8，
∵a＞0，∴a＞，∴（2a+1）2+＞+＝，∴t＞．
2．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（ ）；②y＝（m≠0）（ ）；③y＝3x﹣1（ ）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．
故答案为：√，√，×．
（2）∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0），得，∴，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴﹣＞2，∴﹣＞2，∴﹣1＜a＜0，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，
综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．
（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），代入得到，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c异号，∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，
∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，
∴c2＜4a2，∴＜4，∴﹣2＜＜2，设t＝，则﹣2＜t＜0，设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，∴|x1﹣x2|＝
＝＝＝＝2＝2，∵﹣2＜t＜0，∴2＜|x1﹣x2|＜2．
3.（中考真题）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）当m＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【解答】解：（1）当m＝0时，该函数的零点为和；
（2）令y＝0，得△＝（﹣2m）2﹣4[﹣2（m+3）]＝4（m+1）2+20＞0
∴无论m取何值，方程x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0总有两个不相等的实数根．即无论m取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有x1+x2＝2m，x1x2＝﹣2（m+3），由，解得m＝1．
∴函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8．令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），
作点B关于直线y＝x﹣10的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线y＝x﹣10的交点就是满足条件的M点．易求得直线y＝x﹣10与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，﹣10）．连接CB′，则∠BCD＝45°∴BC＝CB’＝6，∠B′CD＝∠BCD＝45°，∴∠BCB′＝90°，即B′（10，﹣6），
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，b＝﹣1；∴直线AB′的解析式为，即AM的解析式为．
4.（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，“和谐点”满足的解析式为y＝x与原函数联立得2x+1＝x，
解得x＝﹣1，∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（52，52）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，∴52=254a+15+c，
∴c=−254a−252，∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c=−254；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
5．（青竹湖）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其“青一点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图象上的青一点是 ；
（2）若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【解答】解：（1）①令2x+3＝2x，方程无解，∴函数y＝2x+3不是“青一函数”；
②令＝2x，解得x＝2或x＝﹣2，∴函数的图象上的青一点是（2，4）或（﹣2，﹣4）；
故答案为：①不是；②（2，4）或（﹣2，﹣4）；
（2）∵“青一函数”满足的解析式为y＝2x，联立得，＝2x，整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m＝0，
∵抛物线上有两个“青一点”，∴Δ＝（m﹣2）2﹣4×（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m＜且m≠1．
（3）∵“青一函数”满足的解析式为y＝2x，联立得，，＝2x，整理得，x2+（m﹣k）x+﹣＝0，∴Δ＝（m﹣k）2﹣4（﹣）＝0，整理得，n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3），对称轴为直线m＝k，此时n的最小值为2k；根据题意需要分类讨论：
①，∴k＝0；②，无解；③，
∴k＝或k＝（舍去）．综上，k的值为0或．
6．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．
（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为 ；
②函数y＝x2+2x﹣2图象上的“立信点”坐标为 ．
（2）若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和+＝﹣1且求k的值；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s＝b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．
【解答】解：（1）①当x＝y时，x＝﹣2x+1，此时坐标为（）；
②当x＝y时，x＝x2+2x﹣2，此时坐标为（﹣2，﹣2）或（1，1）．
故答案为：①（）；②（﹣2，﹣2）或（1，1）．
（2）由题意可知，x1＝，，
∴x1，x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两个根，由根与系数关系可得，
x1+x2＝﹣（2k+3），x1•x2＝k2，∵+＝﹣1，＝﹣1，∴，解得k＝3或﹣1．
（3）由题意可知，ax2+（b﹣1）x+1＝0，有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4a＝0，∴（b﹣1）2＝4a，
∴s＝b2+4a＝b2+（b﹣1）2＝2b2﹣2b+1＝2（b2﹣b+）+＝2（b﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为b＝，当t+1＜时，当b＝t+1时，s有最小值，
∴s＝（t+1）2+t2＝t，方程无解，当t≤≤t+1时，当b＝时，s有最小值，∴t＝；
当t＞时，当b＝t时，s有最小值，∴s＝t2+（t﹣1）2＝t，解得t＝（舍去）或t＝1，
综上，t的值为或1．
7．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（−1，−3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 ；②y＝x2−1 ；③y＝x2+4 ．
（2）若抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【解答】解：（1）①当3x＝2x﹣1，解得x＝﹣1，∴点（﹣1，﹣3）在y＝2x﹣1上，∴y＝2x﹣1存在一中点”（﹣1，﹣3），故答案为：√；
②∵“一中函数”满足的解析式为y＝3x，联立得，当3x＝x2−1，解得x＝或x＝，∴点（，）或（，）在y＝x2−1 上，∴y＝x2−1 上存在两个“一中点”（，）或（，），
故答案为：√；
③∵“一中函数”满足的解析式为y＝3x，3x＝x2+4时，∵Δ＝9﹣16＜0，∴y＝x2+4上不存在“一中点”，故答案为：×；
∵抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，与“一中函数”满足的解析式为y＝3x联立得，∴3x＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1，整理得−x2+mx−m2﹣m+1＝0，
∴Δ＝﹣2m+2≥0，∴m≤1，∵x1+x2＝，x1•x2＝，∴t＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（m﹣）2﹣，∴当m＝1时，t有最小值；
∵函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上有“一中点”，与“一中函数”满足的解析式为y＝3x联立得x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，整理得x2+（b﹣c）x+a+c﹣2＝0，
∵函数的“一中点”是唯一的，∴Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，
∴a＝（b﹣c）2﹣c+2，当﹣1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值2﹣c＝c，∴c＝1；
当c≥2时，（2﹣c）2﹣c+2＝c，解得c＝3+或c＝3﹣（舍去）；
当c≤﹣1时，（﹣1﹣c）2﹣c+2＝c，整理得c2＝﹣3，∴方程无解；综上所述：c的值为1或3+．
8．（麓山国际）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓点”，例如：y＝3x﹣2上存在“麓点”P（1，1）．
（1）直线 （填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y＝上的“麓点”是 ；
（2）若抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a2﹣a+1上有“麓点”，且“麓点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W＝x12+x22的最小值；
（3）若函数y＝x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝x时，图象经过点P（t，t），y＝＝x，解得：x＝±1，
故答案为：y＝x，（1，1）或（﹣1，﹣1）．
由题意得：y＝x，即：y＝﹣x2+（a+1）x﹣a2﹣a+1＝x，
整理得：﹣x2+ax﹣a2﹣a+1＝0，∵△＝（a）2﹣4×（﹣）（﹣a2﹣a+1）＝﹣2a+2≥0，
解得：a≤1，由根与系数关系得：x1+x2＝，x1x2＝a2+2a﹣2，
∴W＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（a﹣）2﹣，∵＞0，故函数W有最小值，
当a＝1时，函数取得最小值为y＝（a﹣）2﹣＝．
（3）∵函数y＝x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在“麓点”，则x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1＝x，
整理得：x2+（n﹣k）x+m+k﹣1＝0，由函数图象上存在唯一的一个“麓点”可知：
△＝（n﹣k）2﹣（m+k﹣1）＝0，∴m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1），
①当﹣2≤n＝k≤1时，n＝k时，m取得最小值，即：﹣（k﹣1）＝k，解得：k＝．
②当n＝k≤﹣2时，n＝﹣2，m取得最小值，即：（﹣2﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，解得：无解．
③当n＝k≥1时，n＝1，m取得最小值，即：（1﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，解得：k＝2±（舍去负值）
故：k的值为：或2+．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/11 11:05:57；用户：唐老师；邮箱：15874805147；学号：37181
9．（中雅）已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2，则称点P为函数图象上“梦幻点”．
例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）．
（1）求直线上的“梦幻点”的坐标；
（2）已知在双曲线（k≠0）上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离为，求k的值．
（3）若二次函数的图象上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．
【解答】解：（1）设梦幻点P（a，a+2），∵点P是直线上的“梦幻点”，∴a+2＝a+3，
∴a＝2，∴点P（2，4）；
（2）若点P（a，a+2）在双曲线y＝（k≥﹣1且k≠0）上，∴k＝a（a+2），
∴a＝﹣1±，∴P1（﹣1+，1+），P2（﹣1﹣，1﹣），
∵两个“梦幻点”之间的距离为，∴[（﹣1+）﹣（﹣1﹣）]2+[（1+）﹣（1﹣）]2＝（）2，解得：k＝﹣；
（3）∵点P是二次函数的图象上的梦幻点，∴a+2＝a2+（m﹣t+1）a+n+t，
∴a2+（m﹣t）a+n+t﹣2＝0，∵图象上存在唯一的梦幻点，∴Δ＝0，∴（m﹣t）2﹣4××（n+t﹣2）＝0，∴n＝m2﹣2mt+t2﹣t+2，该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，
①当对称轴是m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值，即：n＝9﹣6t+（t2﹣t+2）＝t，
解得：t＝4+，t＝4﹣（舍去）；
②当对称轴是m＝t≤﹣2时，函数在m＝﹣2时，取得最小值，即：n＝4+4t+（t2﹣t+2）＝t，
∴（t+1）2＝﹣5，此方程无解；
③当对称轴是﹣2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值，即：n＝t2﹣2t2+（t2﹣t+2）＝t，
解得：t＝1，综上所述，t的值为4+或1．
10.（2022•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）①（﹣2，−12）到两坐标轴的距离分别是2＞1，12＜1，∴（﹣2，−12）不是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a＝﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，
二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n=14；当抛物线经过点B时，n＝1；
∴14≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：14≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．