2024-2025学年吉林省高二上学期第一次月考四校联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省高二上学期第一次月考四校联考数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知直线的一个方向向量，且直线经过和两点，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
4．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
C．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
6．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若空间向量，满足，则
B．空间任意两个单位向量必相等
C．在正方体中，必有
D．向量的模为
10．已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．－1
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与所成角的余弦值为
C．平面AEF的一个法向量是
D．点D到平面AEF的距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数 ．
13．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为.现移动边，使得点分别在轴､轴的正半轴上运动，则（点为坐标原点）的最大值为 .
14．已知，，则最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线，，．
(1)若这三条直线交于一点，求实数的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求满足的条件．
16．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知直线．
(1)为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值；
(2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．
18．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
19．如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的大小.
答案
1．【正确答案】D
【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.
【详解】设斜率为，倾斜角为，
∵，∴，．
故选：D．
2．【正确答案】C
【分析】利用两直线平行解出的值即可.
【详解】由题意，若，所以，解得或，
经检验，或时，，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选：C．
3．【正确答案】A
【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可.
【详解】因为，
直线的一个方向向量为，
所以有向量与向量为共线，
所以，
解得，，
所以，
故选：A.
4．【正确答案】D
【详解】，
故在上的投影向量为.
故选：D
5．【正确答案】B
【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项.
【详解】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确；
B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；
C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确；
D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确.
故选：B
6．【正确答案】C
【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可.
【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且，
所以
．
故选C．
7．【正确答案】A
【分析】过O作于C，过N作于D，根据等面积求出，运用在直角三角形等知识求出结果.
【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D，
因为N在直线上且在第二象限内，设，
则，又，即，
所以，在中，由三角形的面积公式得：，
所以，
在中，，所以，
即，
在中，，即，
解得：，因为N在第二象限内，所以，
所，所以，
故选：A.
8．【正确答案】A
【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围.
【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为，
则，可得，所以，，
，
当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即，
当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即，
所以，，所以，.
故选：A.
关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解.
9．【正确答案】CD
【分析】根据空间向量的定义以及模长即可结合选项逐一判断.
【详解】对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到.A错误，
对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误，
对于C，在正方体中，的方向相同，长度相等，故，故C正确
对于D，向量的模为，故D正确，
故选：CD
10．【正确答案】AC
【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案.
【详解】直线：和：平行，则，
两条平行直线间距离，解得且，
故0和2符合要求.
故选:AC．
11．【正确答案】BCD
【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.
【详解】对于A，正方体中，，，
，所以，故A错误；
对于B，，，
，故B正确；
对于C，设，则，，而，
所以平面的一个法向量是，故C正确；
对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确．
故选：BCD
12．【正确答案】
【详解】因为，而且斜率存在，
所以，
又，是关于的方程的两根，
所以，解得．
故
13．【正确答案】/
【分析】取的中点，解三角形求，结合两点之间线段最短的结论求的最大值.
【详解】由已知，
如图，取的中点，因为为直角三角形，故.
由于为直角三角形，故，
显然，当且仅当三点共线时等号成立，
故的最大值为.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值.
【详解】由题意可得：，
当时，则，
因为，则，当且仅当，即时等号成立，
所以；
当时，；
综上所述：的最大值为，
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)且且
【分析】（1）先由直线方程联立求出交点坐标，再代入直线的方程可求出，
（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形，求出的取值范围，再求出其补集即可.
（1）
由
解得代入的方程，得．
（2）
当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．
①联立解得代入，得；
②当与平行时，，
当与平行时，．
综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间中直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明即可；
（2）利用计算可得.
【详解】（1）直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系，
则，A1,0,0，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
所以，即，
又平面，所以平面.
（2）因为，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【正确答案】(1)，距离最大值；
(2)面积的最小值为12，直线l的方程为3x+2y+12=0.
【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m；
（2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程.
【详解】（1）已知直线，整理得，
由，故直线过定点，
点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值，
所以为最大值．
∵，
∴的斜率为，得，解得；
（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，
则设直线为，，则，，
．
（当且仅当时，取“=”），
故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）连接，显然，因为， ．
所以，于是，
因为平面，平面，
所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，
设平面的法向量为，
，
则有，
，
点到平面的距离为：
.
19．【正确答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而可证明.
（2）分别求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

所以，设，
则，解得，即.
则，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，解得，所以平面的一个法向量为.
因为，设平面的一个法向量为，
所以即，令，解得，
所以平面的一个法向量为，
又，所以平面平面；
（2），
所以.
设平面的一个法向量为，
所以，即
令，解得，
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则，即
令，解得，所以平面的一个法向量为.
，
所以平面和平面夹角的大小为.