2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市高一上学期第一次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市高一上学期第一次月考数学检测试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则下列不等式正确是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A. 每一个命题都能判断真假
B. 存在一条直线与两条相交直线都平行
C. 对任意实数，若，则
D. 存在，使
5. 若集合，，则的子集有（ ）
A. 15个B. 16个C. 7个D. 8个
6. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 63%B. 47%C. 55%D. 42%
7. 对于任意的，定义运算.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A B.
C. D.
8. 若正数满足，则的最小值是（ ）
A. 2B. C. 4D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知全集，集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 的最小值为2
D. 的最小值为2
11. 二次函数的图象如图所示，则（ ）

A. B. C. D.
12. 已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素
B. 若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素
C. 若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个
D. 若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样集合A共有6个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题否定为__________.
14. 如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为__________.

15. 若，则__________.
16. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）求
（2）若，，求实数的取值范围.
18. 已知，求证：的充要条件是．
19. 已知.
（1）若成立，求实数的取值范围，
（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.
20. （1）设为正数，求证：；
（2）解关于的不等式.
21. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
22 若实数满足，则称比远离．
（1）若比1远离，求实数的取值范围；
（2）若，试问：与哪一个更远离2？并说明理由．
2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市高一上学期第一次月考数学
检测试卷
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断.
【详解】解：选项A：因为是集合中的元素，所以，所以选项A错误；
选项B：因为是任何集合的子集，所以，所以选项B错误；
选项C：因为中含有元素0，1，而且还有其他元素，所以，所以选项C正确；
选项D：因为是无理数，而是有理数集，所以，所以选项D错误；
故选：C
2. 的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据必要不充分条件的定义转化为对应集合的关系进行求解即可．
【详解】的一个必要不充分条件对应集合设为,则，
则满足条件，
故选：C．
3. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】结合得，即可逐个判断.
【详解】由知单调递减，又，则，B错误；
则，A错误；
，C错误；
由二次函数知，单调递减，则，D正确.
故选：D
4. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A. 每一个命题都能判断真假
B. 存在一条直线与两条相交直线都平行
C. 对任意实数，若，则
D. 存在，使
【正确答案】A
【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案.
【详解】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假，
A是真命题，符合题意；
对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意；
对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意；
对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意，
故选：A.
5. 若集合，，则的子集有（ ）
A. 15个B. 16个C. 7个D. 8个
【正确答案】B
【分析】利用交集的运算法则以及集合子集的计算公式求解.
【详解】因为，或，
所以或，
它有个子集.
故选：B.
6. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 63%B. 47%C. 55%D. 42%
【正确答案】B
【分析】设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，画出图形，列出方程求解即可．
【详解】解：设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，
由题意，可得，，，解得．
该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是．
故选：B．
7. 对于任意的，定义运算.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据运算法则得到恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由已知得对任意实数恒成立，
所以，解得.
故选：C.
8. 若正数满足，则最小值是（ ）
A 2B. C. 4D.
【正确答案】C
【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正数满足，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知全集，集合M、N关系如图所示，则下列结论中正确的（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BD
【分析】根据集合的的运算与韦恩图即可求解.
【详解】由图可知，,A错误；
，B正确；
，C错误；
,D正确，
故选:BD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 的最小值为2
D. 的最小值为2
【正确答案】AB
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：当时，，当且仅当时，即时等号成立，故本选项正确；
B：当时，，当且仅当时，即时等号成立，故本选项正确；
C：当时，显然不成立，因此本选项不正确；
D：因为，当且仅当时，此时无实数解，故取不到等号，所以本选项不正确，
故选：AB
11. 二次函数的图象如图所示，则（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】BCD
【分析】由二次函数的图象与性质对选项逐一判断．
【详解】由题意得，对称轴，则，
当时，，故A错误；
当时，，则，故B正确；
当时，，则，故C正确；
设一元二次方程的两根分别为，由图象可知，整理可得，故D正确．
故选：BCD
12. 已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素
B. 若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素
C. 若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个
D. 若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个
【正确答案】ABD
【分析】由定义可得“孤立元素不相邻”可判断A项，结合逆否命题可判断B项，对于C项、D项分别依次列举即可.
【详解】对于A项，由题意，孤立元素不相邻，集合中最多同时找出3个孤立元素，故A项正确；
对于B项，若A中只有1个元素，则必为孤立元素，故B项正确；
对于C项，易知这样的集合A有，，，， ，，，，，共10个，故C项错误；
对于D项，不含“孤立元素”且包含有4个元素的集合有，共6个，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题的否定为__________.
【正确答案】
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词求解即可.
【详解】命题的否定为.
故答案为.
14. 如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为__________.

【正确答案】
【分析】根据阴影部分点构成的集合求解即可.
【详解】易知阴影部分的点构成的集合为.
故答案为.
15. 若，则__________.
【正确答案】
【分析】依题意可得①或②，再求出参数的值，从而得解，需代入检验是否满足集合元素的互异性.
【详解】因为，所以①或②，
由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，故符合题意，此时；
由②得符合题意，此时；
综上，的值为.
故
16. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______．
【正确答案】
【分析】由关于的一元二次不等式恒成立得，参变分离后再由基本不等式求解最值．
【详解】由，得．
由题意可得，使得成立，
即，使得成立．
，当且仅当时等号成立，故．
故答案为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）求
（2）若，，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先化简集合A，然后根据补集运算求出，最后再求.
（2）由题意可知或，解不等式即可.
【小问1详解】
解：，，
则.
【小问2详解】
集合，，
.
若，则，即；
若则解得.
综上，实数的取值范围为.
18. 已知，求证：的充要条件是．
【正确答案】证明见解析
【分析】由不等式的性质及充要条件的含义证明．
【详解】证明：充分性（条件结论）
因为，所以，
又，所以，
所以充分性成立；
必要性（结论条件）
因为，
而，所以，
所以，所以必要性成立．
综上，的充要条件是．
19. 已知.
（1）若成立，求实数的取值范围，
（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）根据题意可得，根据存在性问题分析求解；
（2）取反面：当和均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果.
【小问1详解】
若成立，
因为时，，可得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立，
若成立，
因为时，，可得；
若成立时，，解得或；
若均成立时，可得，
所以至多有一个成立时，则.
综上上述：实数的取值范围为.
20. （1）设为正数，求证：；
（2）解关于的不等式.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）由基本不等式得，，，三式相加即可得证；
（2），即，再从分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】（1）因为正数，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，
以上三式相加有，
即，当且仅当时取等号；
（2）解：，
即，
即，
①当时，的解集为，
②当时，，
等价于，即；
③当时，等价于，
即或，
综上可得：时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
21. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【正确答案】（1）900cm
（2）选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【小问1详解】
设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
【小问2详解】
由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
22. 若实数满足，则称比远离．
（1）若比1远离，求实数的取值范围；
（2）若，试问：与哪一个更远离2？并说明理由．
【正确答案】（1）
（2）比远离2，理由见解析
【分析】（1）由题意平方后解不等式，
（2）由基本不等式求取值范围后判断．
【小问1详解】
由题意，，
即，
两边平方，得，解得．
【小问2详解】
因为，所以．
，
当时，，
当且仅当，即，或时等号成立，所以．
此时比远离2；
当时，，
当且仅当，即，或时等号成立，所以．
此时比远离2．
综上，比远离2.