2024-2025学年四川省隆昌市高二上学期开学摸底数学（文）检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省隆昌市高二上学期开学摸底数学（文）检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位数为（ ）
A．B．9C．D．10
3．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5． 甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为、、，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（ ）
A. B. C. D.
6．圆心角为，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（ ）

A．B．
C．D．
8．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）

A．B．是函数的一个对称中心
C．D．函数在区间上是减函数
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则
B．
C．已知，为单位向量，且，则在上的投影向量为
D．一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”则
11．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，则周长的最大值为18
B．若，，则面积的最大值为
C．若，，M为的中点，且，则
D．若角A的内角平分线交于点D，且，，则面积的最大值为3
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是 ．
13．如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，则取得最小值 ．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ．

14．已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，且．
(1)求向量与的夹角．
(2)若向量与互相垂直，求k的值．
(3)若向量与互相平行，求k的值
16．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求B；
(2)若，且，求．
17．一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?
(3)在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
18．已知函数．
(1)若，且，求的值；
(2)在锐角三角形中，若，求的取值范围；
(3)设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围．
19．对于平面向量，定义“变换”：，
(1)若向量，，求；
(2)求证：；
(3)已知，，且与不平行，，，求证：．
答案
1．【正确答案】C
【分析】先根据复数的除法计算复数，再结合共轭复数定义即可.
【详解】因为,
所以.
故选C.
2．【正确答案】C
【分析】计算，结合百分位数的定义求解即可.
【详解】因为，所以该组数据的第三四分位数为.
故选C.
3．【正确答案】B
【详解】由题当时，，
或，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．【正确答案】B
【详解】将函数的图象上所有的点
向左平移个单位长度得到.
故选B.
5．【正确答案】D
【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率，
再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率，
故选：D．
6．【正确答案】A
【分析】先根据扇形面积列出圆锥半径和母线的关系式，然后利用圆锥的表面积公式求比例即可求解.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意，即，
则，又，故.
故选：A
7．【正确答案】A
【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.
【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示：

半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米.
则，，
，
所以.
故选A.
8．【正确答案】C
【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】因为，，所以，
，
设外接圆的半径为，圆心为，则，即，
设三棱锥外接球的半径为，球心为，则，解得（负值已舍去）；
因为平面，所以，
即，即，解得（负值已舍去）；
所以.
故选：C
关键点点睛：本题的关键点是找到球心位置，求出底面外接圆半径和外接球半径，再根据勾股定理求出棱锥的高.
9．【正确答案】ACD
【分析】根据图象求周期，结合周期公式可判断A；将点代入解析式求解可判断C；利用代入法验证可判断B；利用整体代入法求单调递减区间可判断D.
【详解】对A，由图可知，，所以，A正确；
对C，又图象过点，所以，
所以，即，
因为，所以，，C正确；
对B，因为，
所以不是的对称中心，B错误；
对D，由解得，
所以函数在区间上是减函数，
所以函数在区间上是减函数，D正确.
故选：ACD
10．【正确答案】ABD
【分析】根据二倍角余弦公式结合齐次式弦化切即可判断A,应用两角和差公式及辅助角公式计算判断B,结合向量的数量积及投影向量得出C,写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式即可求解D.
【详解】已知，
则,A选项正确；
,B选项正确；
已知，为单位向量，且，则在上的投影向量为，所以C选项错误；
由题意，摸球两次的样本空间
，
事件，
事件，
所以，
利用古典概型计算公式，D选项正确；
故选：ABD.
11．【正确答案】ACD
【分析】对于A，由正弦定理得，从而由结合三角恒等变换公式得，进而得解.
对于B，由基本不等式结合得，由余弦定理得，故由面积公式即可求解；
对于C，由即结合余弦定理即可求解；
对于D，设，先由正弦定理和得，接着由余弦定理得，从而由一元二次函数性质结合即可得解.
【详解】对于A，由题以及正弦定理得，
所以，
所以
，
所以，
因为，所以，所以，
所以，故周长的最大值为18，故A正确；
对于B，因为，所以，当且仅当时等号成立，
由余弦定理得，
所以
，
所以面积的最大值为，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以即，
所以，故C正确；
对于D，设，则，
所以由正弦定理得，
所以，又由题可知，所以，
所以由余弦定理得，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以面积的最大值为3，故D正确.
故选：ACD.
关键点睛：在求解面积的最大值问题时，关键是利用已知条件结合正弦定理或基本不等式求出边和的关系或求出其积的最值，再利用余弦定理将角转化成边，从而建立三角形的面积函数，进而再借助基本不等式或一元二次函数性质即可探求最大值.
12．【正确答案】
【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得.
【详解】把直观图还原为原图形，如图所示，
则，
所以.
故答案为.
13．【正确答案】 ； .
【分析】将侧面展开即求得第一空；记的中点为，先判断所求截面为四边形，然后根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得第二空.
【详解】将侧面绕着旋转，使得侧面和侧面在同一平面内，如图，
易知，当三点共线时，取得最小值.

当M为线段中点时，记的中点为，的中点为，
由正方体性质可知，，
所以为平行四边形，所以，
易知，所以为平行四边形，所以，
所以四点共面，即平面截正方体所得的截面为四边形，
因为，所以四边形为菱形，
所以.
故；.

14．【正确答案】
【分析】设，分析可知点C在以为直径的圆上，根据数量积的几何意义结合圆的性质分析求解.
【详解】由题意可设：，
则，
若，即，则，
可知点C在以为直径的圆上，即圆心为，半径，
则在方向上的投影数量的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为.
方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解.
15．【正确答案】(1)
(2)k=1或
(3)
【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；
（2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．
（3）由向量平行的判定定理即可求解.
【详解】（1）由，得，设向量与的夹角为，
由，，又，所以，
所以，解得，
所以向量与的夹角为．
（2）由向量向量与互相垂直，得，
所以，即，
解得或．
（3）因为向量与互相平行，
所以存在，使得=
所以解得：
16．【正确答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用余弦定理化简等式，再根据余弦定理的推论和角的范围解出答案；
（2）利用正弦定理公式结合已知条件求出，再由余弦定理求出答案.
【详解】（1）由余弦定理可得，
所以，
因为，
所以.
（2）由正弦定理得，
所以
又，所以，即，
由余弦定理得，即，
因为，所以.
17．【正确答案】(1)kg
(2)
(3)
【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值.
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在90,100，再利用公式计算即可．
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解.
【详解】（1）由直方图可得，样本落在50,60，60,70，…，90,100的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在50,60，60,70，…，90,100频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为:
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在90,100，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
（3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
由题意知，，
又，，，
则，
故；
（2）由得，
，，，，
故，
由是锐角三角形，得，
则，得，
即的取值范围为；
（3）
，
当时，，
令，则，
在区间上恒成立，等价于关于的不等式在区间上恒成立，
即有在区间上恒成立，
又在区间上单调递减，
当时，有最大值，
故有，即的取值范围为．
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；
（2）计算得，从而，再展开计算即可证明；
（3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可.
【详解】（1）因为向量
所以
所以.
（2）因为.
所以
.
.
，所以.
（3）方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以.
所以
方法二:设，
，
因为，
，
所以
，
所以.
关键点点睛：本题第三问的关键是证明出，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可.