2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期9月第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期9月第一次月考数学检测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则（ ）
A．B．[0，1]
C．D．
2．已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．C．-2D．2
3．函数的图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
4．若，且．则（ ）
A．B．2C．3D．
5．已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知随机事件，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为
A．B．
C．D．
8．是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．若随机变量，且，则
C．若随机变量，且，则
D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
10．已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
11．1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（ ）
A．原点在曲线的内部
B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．若，则的最大值为
D．若，则存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设，则 ．
13．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
14．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，内角所对的边分别为．
(1)求；
(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．
16．某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.
(1)填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
(2)规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望.
附：
17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点.
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
18．已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为．
(1)求C的方程；
(2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围．
19．已知函数.
(1)若，求证：当时，
(2)若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证.
成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
女
合计
0.10
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
1．D
【分析】先求得集合，，再求其并集即可．
【详解】由，得，故，
由，得，故，
故．
故选：D．
2．A
【分析】求出，再根据纯虚数概念得解.
【详解】由已知，复数为纯虚数，
所以得.
故选：A.
3．A
【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据时的函数值可排除B.
【详解】因为，定义域为R，
又，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除CD，
又当时，，，故排除B.
故选：A.
4．C
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得，进而根据齐次式以及弦切互化即可求解.
【详解】由 得 ，
进而得，化简得： ，所以或，
由于，所以，故，
故选：C
5．D
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设Ax1,y1，Bx2,y2，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围.
【详解】即，则圆心为，半径，
直线，令，解得，即直线恒过定点1,0，
又，所以点1,0在圆内，
设Ax1,y1，Bx2,y2，，由，
消去整理得，显然，则，
则，
所以，，
则，
则，
又直线的斜率不为，所以不过点1,0，
所以动点的轨迹方程为（除点1,0外），
圆的圆心为，半径，
又，所以，
即，即的取值范围为.
故选：D

关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得.
6．A
【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出，进而推得.即可根据条件概率公式，得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，
所以，.
又,
所以，.
又，
所以，.
故选：A.
7．C
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.
【详解】因为，所以，
联立可解得，所以，所以.
所以曲线y=fx在点处的切线方程为，
故所求的切线方程为.
故选：C.
8．D
【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以为邻边的平行四边形为菱形，得到，结合双曲线定义可求得，利用余弦定理可构造的齐次方程，从而求得离心率.
【详解】
设，则，
是以为邻边的平行四边形的一条对角线，
又，为的角平分线，
以为邻边的平行四边形为菱形，，
由双曲线定义知：，，，
在中，由余弦定理得：，
双曲线的离心率.
故选：D.
9．BC
【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据二项分布的均值和方差求解即可判断；对于C，根据正态分布的性质求解即可判断；对于D，结合线性回归方程的定义即可判断.
【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.
因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误；
对于B，由，
则，即，
则，故B正确；
对于C，因为，
则，
所以，故C正确；
对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】对于A，将原点坐标代入方程判断，对于B，对曲线方程以代，代进行判断，对于C，利用曲线方程求出的取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D，若存在点，使得，然后由化简计算即可判断.
【详解】对于A，将代入方程，得，所以当时，原点在曲线上，所以A错误，
对于B，以代，得，得，所以曲线关于轴对称，
代，得，得，所以曲线关于轴对称，
以代，代，得，得，所以曲线关于原点对称，所以曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确，
对于C，当时，由，得，解得，
所以，
所以，所以的最大值为，所以C正确，
对于D，若存在点，使得，则，因为，所以，所以，
所以由，得，所以，所以，反之也成立，所以当，则存在点，使得，所以D正确，
故选：BCD
12．
【分析】令,即可求的值.
【详解】，
令，可得，①
令，可得，②
①+②可得.
故答案为.
13．
【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【详解】因为，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当，
所以，，
故实数a的取值范围是.
故
关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
14．
【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令gx=0可得，或，由条件结合图象可得的取值范围.
【详解】当时，，所以，
当时，f′x0，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数增长速度更快，
从而，
当时，，所以，
当时，f′x>0，函数在上单调递增，
当时，f′x