2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题04 二次根式【八大题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc29856" 【题型1 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc29856 \h 1
\l "_Tc32224" 【题型2 二次根式的乘除及化简】 PAGEREF _Tc32224 \h 2
\l "_Tc29945" 【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】 PAGEREF _Tc29945 \h 2
\l "_Tc30221" 【题型4 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc30221 \h 3
\l "_Tc8933" 【题型5 二次根式的估值】 PAGEREF _Tc8933 \h 4
\l "_Tc8854" 【题型6 二次根式中的开放性试题】 PAGEREF _Tc8854 \h 4
\l "_Tc3468" 【题型7 二次根式中的规律探究】 PAGEREF _Tc3468 \h 4
\l "_Tc22652" 【题型8 与二次根式有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc22652 \h 5
【知识点 二次根式】
1.二次根式的定义
一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
2.二次根式的基本性质
① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。
3.二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法：①； ② (a≥0， b≥0)。
(2)二次根式的除法：①； ② (a≥0， b＞0)。
4.最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5.二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
【题型1 二次根式有意义的条件】
【规律方法】
此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。
【例1】（2023·湖南·统考中考真题）使代数式-x2+2x-1有意义的x的取值范围是 ．
【变式1-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若1x-3有意义，则实数x的取值范围是
【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数y=1x+3+x-30中，自变量x的取值范围是( )
A．x≥-3B．x>-3C．x≠3D．x>-3且x≠3
【变式1-3】（2023·广东茂名·校考一模）式子2x+tan45°x-tan45°有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥-12且x≠1B．x≠1C．x≥-12D．x>-12且x≠1
【题型2 二次根式的乘除及化简】
【例2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）计算18÷34×43结果为（ ）．
A．32B．43C．42D．62
【变式2-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若a=2，b=7，则14a2b2= ．
【变式2-2】（2023下·江苏·八年级专题练习）计算ab÷ab⋅1ab（a＞0，b＞0）的结果是（ ）
A．1ab2abB．1ababC．1babD．bab
【变式2-3】（2023·山东潍坊·统考中考真题）从-2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】
【例3】（2023·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
【变式3-1】（2023·天津·统考中考真题）计算7+67-6的结果为 ．
【变式3-2】（2023·天津河北·统考一模）计算2+322-32的结果等于 ．
【变式3-3】（2023·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式：a2+2ab+b2=a±b2，则有a2±2ab+b2=a±b，那么我们如何把双重二次根式a±2ba>0，b>0，a±2b>0化简呢？如果能找到两个数m，nm>0，n>0使得m2+n2=a即m+n=a，m⋅n=b即mn=b，那么a±2b=|m±n|，从而使双重二次根式得以化简．
例如：化简3+22．
∵3=1+2，2=1×2，
∴3+22=12+21×2+22=1+22，
∴3+22=|1+2|=1+2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成a±2b的形式且能找到两个数m，nm>0，n>0使得m2+n2=a即m+n=a，m⋅n=b即mn=b，那么这个双重二次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题：
(1)填空：5+26=________；12-235= ________；
(2)化简：16-415；
(3)计算：3-5+1214+410．
【题型4 二次根式的混合运算】
【例4】（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：27÷32×22-62．
【变式4-1】（2023·山东聊城·统考中考真题）计算：48-313÷3= ．
【变式4-2】（2023·上海·统考中考真题）计算：38+12+5-13-2+5-3
【变式4-3】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：
(1)6+215×3-92×38
(2)|-3-23|-214-3-12000
(3)218+62-1-30
(4)24-1218+6+212×34÷52
【题型5 二次根式的估值】
【例5】（2023·山东临沂·统考中考真题）设m=515-45，则实数m所在的范围是（ ）
A．m<-5B．-5-3
【变式5-1】（2023·山东济南·校考三模）估计43+32×13的值应在 和 之间（填写整数）．
【变式5-2】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知k=25+3⋅5-3，则与k最接近的整数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式5-3】（2023·河北邯郸·统考三模）如图，数轴上有O，A，B，C，D四点，根据图中各点表示的数，表示数2×12-2的点会落在（ ）

A．点O和A之间B．点A和B之间C．点B和C之间D．点C和D之间
【题型6 二次根式中的开放性试题】
【例6】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m= ．
【变式6-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）已知x为正整数，写出一个使x-3在实数的范围内没有意义的x值是 ．
【变式6-2】（2023·河南南阳·统考二模）写出一个实数x，使x-3是最简二次根式，则x可以是 ．
【变式6-3】（2023·山东·统考中考真题）如果一个无理数a与8的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
【题型7 二次根式中的规律探究】
【例7】（2023下·安徽·九年级模拟预测）观察下列各式：
①1×2×3×4+1=5；
②2×3×4×5+1=11；
③3×4×5×6+1=19；
…
(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
(2)根据上述规律，猜测写出n×n+1n+2n+3+1＝ ，并加以证明．
【变式7-1】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：a1=11+2=2-1；
第2个等式：a2=12+3=3-2；
第3个等式：a3=13+2=2-3；
…
根据以上等式给出的规律，计算：a1+a2+a3+…+a19= ．
【变式7-2】（2023·四川·统考中考真题）观察下列各式及其验证过程：2+23=223，验证：2+23=83=22×23=223,3+38=338，验证：3+38=278=32×38=338．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想4+415的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用a（a≥2的整数）表示的等式．
【变式7-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
S1=1+112+122=1+11×2，S2=1+122+132=1+12×3，S3=1+132+142=1+13×4，…
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+⋯+S50= ．
【题型8 与二次根式有关的新定义问题】
【例8】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：csα+β=csαcsβ-sinαsinβ，csa-β=csαcsβ+sinαsinβ.例如：当α=60°，β=45°时，cs60°-45°=12×22+32×22=2+64，则cs75°的值为( )
A．6+24B．6-24C．6-22D．6+22
【变式8-1】（2023·广西·中考真题）对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝m-n(m≥n)m+n(mA．2－46B．2C．25D．20
【变式8-2】（2023·河南洛阳·校联考一模）定义新运算：a⊗b=ab+a+b+1，则32×（2⊗3）的值为 ．
【变式8-3】（2023·江苏·统考中考真题）观察下列等式
3+22=1+22=1+2；
5+26=2+32=2+3；
7+212=3+42=3+4；
……
请你直接写出以下计算结果：
(1)请你猜测13+242=_________，21+2110=_________；
(2)针对上述各式显示的规律，请你猜测
2n-1+2n2-n=___________（n≥2，n为整数）；
(3)利用上述规律计算：
13+22+15+26+17+212+⋅⋅⋅+12n-1+2n2-n=______（n≥2，n为整数）．解：3-22×5+26
=3-26+2×5+26 …第1步
=5-26×5+26 …第2步
=25-12 …第3步
=13. …第4步