2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题20 全等三角形【十六大题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc16461" 【题型1 利用全等三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc16461 \h 2
\l "_Tc20597" 【题型2 添加一个条件使两个三角形全等】 PAGEREF _Tc20597 \h 3
\l "_Tc15543" 【题型3 结合尺规作图的全等问题】 PAGEREF _Tc15543 \h 4
\l "_Tc32624" 【题型4 全等三角形模型-平移模型】 PAGEREF _Tc32624 \h 6
\l "_Tc18366" 【题型5 全等三角形模型-对称模型】 PAGEREF _Tc18366 \h 7
\l "_Tc2199" 【题型6 全等三角形模型-旋转模型】 PAGEREF _Tc2199 \h 8
\l "_Tc22317" 【题型7 全等三角形模型-一线三等角模型】 PAGEREF _Tc22317 \h 10
\l "_Tc23735" 【题型8 全等三角形模型-手拉手模型】 PAGEREF _Tc23735 \h 11
\l "_Tc18983" 【题型9 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】 PAGEREF _Tc18983 \h 13
\l "_Tc20961" 【题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】 PAGEREF _Tc20961 \h 14
\l "_Tc11270" 【题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线】 PAGEREF _Tc11270 \h 16
\l "_Tc25933" 【题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线】 PAGEREF _Tc25933 \h 17
\l "_Tc20292" 【题型13 利用角平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc20292 \h 18
\l "_Tc18729" 【题型14 角平分线的判定定理】 PAGEREF _Tc18729 \h 19
\l "_Tc2189" 【题型15 利用全等三角形的性质与判定解决测量问题】 PAGEREF _Tc2189 \h 21
\l "_Tc1502" 【题型16 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题】 PAGEREF _Tc1502 \h 22
【知识点 全等三角形】
1.全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3.三角形全等的判定
(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边.直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
4.全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
【题型1 利用全等三角形的性质求解】
【例1】（2023·四川德阳·统考二模）如图△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当AO∥BC时，α与β之间的数量关系为（ ）．
A．α+β=90°B．α+2β=180°C．α=βD．α=2β
【变式1-1】（2023·河南·模拟预测）已知下图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．58°C．60°D．50°
【变式1-2】（2023·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的 ．

【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为 ．

【题型2 添加一个条件使两个三角形全等】
【例2】（2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
B'C'=BC,A'B'=_____,A'C'=_____,
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【变式2-1】（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点．请从以下三个条件：①BD=CE；②∠B=∠C；③∠BAD=∠CAE中，选择一个合适的作为已知条件，使得AD=AE．

(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明AD=AE．
【变式2-2】（2023·河南·模拟预测）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE， ∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）

A．1组B．2组C．3组D．4组
【变式2-3】（2023·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【题型3 结合尺规作图的全等问题】
【例3】（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（ ）

A．AB=ACB．AG⊥BCC．∠DGB=∠EGCD．AG=AC
【变式3-1】（2023·河南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．22B．4C．3D．10
【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径的半圆，交BC于点M．

(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），证明：BE⊥CE；
(3)在（2）的条件下，延长线段CE交AD于点F，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求cs∠EBC的值．
条件①：AF:DF=1:3；
条件②：S△CDF=3S△ABF；
注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．
【变式3-3】（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=12BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57，求EFCF的值．
【题型4 全等三角形模型-平移模型】
【例4】（2023·江苏常州·统考一模）如图，将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF．
(1)如图①，当点E移动到点C处时，连接AD，求证：△CDA≌△ABC；
(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．
【变式4-1】（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠ABC=∠DEF．给出下列三个条件：①AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件序号为______，你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)请用（1）中所选条件证明△ABC≌△DEF；
(3)△DEF可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B作BM⊥AC于M，当AB=10，BM=8，△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD的长．
【变式4-2】（2023·云南德宏·统考模拟预测）如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC．
(1)求证：四边形CBDE为矩形；
(2)若S△BOC＝433cm2，求∠ACD的度数．
【变式4-3】（2023·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，且DC=AC，将△ABC延BC方向平移，使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F，得到△EFD，连接CE，过点F作FG⊥CE于G．

(1)依题意补全图形；
(2)求证：CG=FG；
(3)连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明．
【题型5 全等三角形模型-对称模型】
【例5】（2023·云南昆明·统考三模）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B、D．

(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求BD的长．
【变式5-1】（2023·重庆渝中·统考二模）如图，已知∠C=∠F=90°，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A=50°，求∠BOF的度数．
【变式5-2】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，点A、E、B、D在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，AE=DB．求证：∠C=∠F．
【变式5-3】（2023·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．
【题型6 全等三角形模型-旋转模型】
【例6】（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA'，线段DA'交AB于点E，作A'F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC,GB．

(1)求证：△ADE≌△A'DG；
(2)求证：AF⋅GB=AG⋅FC；
(3)若AC=8，tanA=12，当A'G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．
【变式6-1】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
【变式6-2】（2023·广西·统考中考真题）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【变式6-3】（2023·湖南·统考中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)特例体验：
如图①，若直线l∥BC，AB=AC=2，分别求出线段BD、CE和DE的长；
(2)规律探究：
①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α0<α<45°，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α45°<α<90°，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：
在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC．
【题型7 全等三角形模型-一线三等角模型】
【例7】（2023·四川成都·统考二模）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）
（1）如图1，∠BAD=90°,AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=_____________，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

（模型应用）
（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2，则有S1_____________S2（填“>、=、<”）
【变式7-1】（2023·重庆·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【变式7-2】（2023·山西晋中·统考一模）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC=AE．
[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________．
【变式7-3】（2023下·山东威海·一模）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．
①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系： ．
②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 ．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
【题型8 全等三角形模型-手拉手模型】
【例8】（2023·江苏扬州·统考二模）点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；
(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；
(3)如图3，若∠ADC=15°，CD=2，BD=n，请直接用含n的式子表示AD的长．
【变式8-1】（2023·山东淄博·模拟预测）如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE≌△ADC；
(2)求∠EFC的度数；
(3)求证：AF平分∠DFE．
【变式8-2】（2023下·陕西咸阳·模拟预测）△ABC和△ADE如图所示，其中∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,∠BAC=∠DAE．
(1)如图①，连接BE、CD，求证：BE=CD；
(2)如图②，连接BE、CD、BD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，CD=5，求BD的长．
【变式8-3】（2023上·山东临沂·二模）已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点
【问题解决】
(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．
①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数
②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数；
【题型9 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】
【例9】（2023上·北京通州·二模）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝22，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
【变式9-1】（2023·湖北十堰·统考一模）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，则CF的长为 ．
【变式9-2】（2023上·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，△ABC中，点D在AC上，AD=3,AB+AC=10，点E是BD的中点，连接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，则CD= ．
【变式9-3】（2023上·湖北武汉·一模）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；
（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；
（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．
【题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】
【例10】（2023上·四川南充·二模）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系并说明理由．
【变式10-1】（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．

(1)求证：CD=BC+DE；
(2)若∠B=75°，求∠E的度数．
【变式10-2】（2023上·辽宁抚顺·三模）如图，在平面直角坐标系中，A-2,0，C6,0，B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC=180°．
(1)直接写出B点坐标；
(2)求证：AB=AD；
(3)求四边形ABCD的面积．
【变式10-3】（2023下·辽宁阜新·一模）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
【题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线】
【例11】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点E在BC上，点H在AC上，连接AE和BH交于点F，∠ABH=∠CAE．

(1)如图1，求证：∠AFB=2∠ACB；
(2)如图2，连接FC，若FC平分∠EFH，求证：AH=CH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点D在BH的延长线上，连接CD，∠ACD+3∠EFC=180°时，若AE+DF=14，BH+AF=16，求HF的长．
【变式11-1】（2023上·福建龙岩·一模）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
【变式11-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．

(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；
(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
【变式11-3】（2023·山东·统考二模）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
【题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线】
【例12】（2023·山西晋中·三模）如图，直线l1:y=12x+2和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D(0,-4)，OA=2OB．
(1)求点A的坐标及直线l2的函数表达式；
(2)求△ABC的面积；
(3)试探究在x轴上是否存在点P，使得∠BDP=45°，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-1】（2023上·陕西西安·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，点D为AC中点，点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q，连接CQ，当线段CQ的最小时，则DP= ．
【变式12-2】（2023·湖北鄂州·一模）如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC．
【变式12-3】（2023·湖北·一模）定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

(1)如图1所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，直接写出∠E与∠A的数量关系__________；
(2)如图1所示，连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若己知DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【题型13 利用角平分线的性质求解】
【例13】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE=AF．分别以点E和点F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线AG交CD于点H，则线段DH的长是 ．

【变式13-1】（2023·广东广州·统考中考真题）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E到直线AD的距离为 ．

【变式13-2】（2023·四川·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,-3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC=13，则点C的坐标为 ．

【变式13-3】（2023·山东·统考中考真题）已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B,C，交射线ON于点D,E，连接AB,AC,AD．

(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG=AF．
【题型14 角平分线的判定定理】
【例14】（2023·安徽亳州·校考模拟预测）在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，BC=6，P为AB上一点，Q为△ABC内部一点，且S△ABQ:S△QBC=2:3，当AQ+PQ的值最小时，则BP的长是（ ）
A．4B．33C．2D．23
【变式14-1】（2023·福建泉州·校考模拟预测）（1）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D为BC边上一点，CD=32．求证：AD平分∠CAB．

（2）如图2，矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是CD边上一点，DE=2，连接AE，请用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点F，使得∠AFD=2∠DAE．（保留作图痕迹，不要求写出作法）

【变式14-2】（2023·江西·中考真题）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=________°；
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD_________∠EAB（填“>”，“<”，“=”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值．
【变式14-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M(m,n)是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m>0，n>0，且n=3m时，
①求点M的坐标：
②若点B154,y在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD//MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点Ex,73在对称轴上，当m>2，n>0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为0,185，连接GF．若EF+NF=2MF，求证：射线FE平分∠AFG．
【题型15 利用全等三角形的性质与判定解决测量问题】
【例15】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、B之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．

(1)画出测量示意图；
(2)写出测量的数据，线段长度用a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示；(不要求写出测量过程)
(3)根据你测量的数据，计算A、B之间的距离．(用含a、b、c…或α、β、γ…的式子表示)
【变式15-1】（2023·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°
(1)求证：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面积．
【变式15-2】（2023·山东临沂·校考二模）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF=1米，BE=CD=20米，BD=58米，试求单元楼AB的高．
【变式15-3】（2023·山东德州·中考真题）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹），并写出：BE与CD的数量关系 ；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE与CD有什么数量关系？说明理由；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°、∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
【题型16 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题】
【例16】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 s．

【变式16-1】（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．

(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．
【变式16-2】（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，tanB=34，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE
【变式16-3】（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．

【初步感知】
(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
已知：△ABC．
求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．