2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题35 尺规作图【十五大题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc23808" 【题型1 尺规作图-作线段】 PAGEREF _Tc23808 \h 4
\l "_Tc27314" 【题型2 尺规作图-作一个角等于已知角】 PAGEREF _Tc27314 \h 6
\l "_Tc21289" 【题型3 尺规作图-作角的和、差】 PAGEREF _Tc21289 \h 11
\l "_Tc10765" 【题型4 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行】 PAGEREF _Tc10765 \h 16
\l "_Tc26034" 【题型5 尺规作图-作角平分线】 PAGEREF _Tc26034 \h 21
\l "_Tc24130" 【题型6 尺规作图-作三角形】 PAGEREF _Tc24130 \h 25
\l "_Tc27846" 【题型7 尺规作图-作三角形的中线与高】 PAGEREF _Tc27846 \h 31
\l "_Tc10383" 【题型8 尺规作图-作垂直平分线】 PAGEREF _Tc10383 \h 36
\l "_Tc3937" 【题型9 尺规作图- 画圆】 PAGEREF _Tc3937 \h 40
\l "_Tc23508" 【题型10 尺规作图- 找圆心】 PAGEREF _Tc23508 \h 44
\l "_Tc17777" 【题型11 尺规作图-过圆外一点作圆的切线】 PAGEREF _Tc17777 \h 49
\l "_Tc26280" 【题型12 尺规作图-作外接圆】 PAGEREF _Tc26280 \h 55
\l "_Tc18442" 【题型13 尺规作图-作内切圆】 PAGEREF _Tc18442 \h 60
\l "_Tc30529" 【题型14 尺规作图-作圆内接正多边形】 PAGEREF _Tc30529 \h 65
\l "_Tc18482" 【题型15 尺规作图-格点作图】 PAGEREF _Tc18482 \h 68
【知识点 尺规作图】
1.尺规作图的要求
只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹.
2.五种基本尺规作图
【题型1 尺规作图-作线段】
【例1】（2023·山西太原·校联考一模）如图，已知线段a，b．
（1）请用尺规作图法，在射线OA上作OB=a，OC=b；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，延长BC到点D，使BC=CD．如果线段a，b的长度分别是3cm和4cm，求线段OD的长度．
【答案】（1）见详解；（2）5cm
【分析】(1)用圆规在射线OA上截取线段OB=a，OC=b即可;
(2)先求出BC的长，再由BC=CD即可求出线段OD的长．
【详解】解：（1）所作图形如图所示.
（2）如图所示，∵OB=a=3，OC=b=4，
∴BC=OC-OB=4-3=1
∴CD=BC=1
∴OD=OC+CD=4+1=5（cm）
【点睛】本题考查了复杂作图，求线段的长度，解决本题的关键是用尺规画线段．
【变式1-1】（2023·河北邯郸·校考二模）用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段D．作角的平分线
【答案】C
【分析】根据作一条线段等于已知线段即可解决问题．
【详解】解：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．
故选：C．
【点睛】本题考查基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
【变式1-2】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，∠MON＝35°，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，则∠QPN＝ ．
【答案】70°/70度
【分析】由作图可知，PO＝PQ，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，PO＝PQ，
∴∠PQO＝∠O＝35°，
∴∠QPN＝∠O+∠PQO＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了作图－基本作图，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式1-3】（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)在BC上求作点E，使AD=AE，点D与点E不重合（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：BD=CE．
【答案】(1)画图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）以A为圆心，以AD的长为半径画弧交BC于E（不与D重合），点E即为所求；
（2）过点A作AH⊥BC于H，根据三线合一定理得到BH=CH，DH=EH，由此即可证明BD=CE．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；
（2）证明：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
∵AD=AE，AB=AC，
∴BH=CH，DH=EH，
∴BH-DH=CH-EH，
∴BD=CE．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作线段，三线合一定理，熟知三线合一定理是解题的关键．
【题型2 尺规作图-作一个角等于已知角】
【例2】（2023·四川成都·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=4．根据尺规作图痕迹，作射线CE，与AB相交于点F．当AF=3时，AB的长是 ．

【答案】8
【分析】本题考查了基本作图，勾股定理．先根据勾股定理求出CF，再根据等角对等边及线段的和差求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=4，AF=3，
∴CF=AC2+AF2=5，
由作图得：∠B=∠BCF，
∴BF=CF=5，
∴AB=AF+BF=8，
故答案为：8．
【变式2-1】（2023·福建泉州·校考模拟预测）（1）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D为BC边上一点，CD=32．求证：AD平分∠CAB．

（2）如图2，矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是CD边上一点，DE=2，连接AE，请用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点F，使得∠AFD=2∠DAE．（保留作图痕迹，不要求写出作法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，根据勾股定理先求出AB=5，用面积法求出DE的长即可求解；
（2）作∠GAE=∠DAE，交DC于点G，②作∠ADF=∠AGD，交AB于点F．根据直角三角形两个锐角互余即可证明∠AFD=∠GAD=2∠DAE．
【详解】（1）证明：如图1，过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△ACB中，∠C=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵12AC⋅CD+12AB⋅DE=12AC⋅BC，
∴3×32+5DE=3×4，
∴DE=32，
∴CD=DE，
∴AD平分∠CAB．

（2）如图2，点F即为所求．
作法：①作∠GAE=∠DAE，交DC于点G，
②作∠ADF=∠AGD，交AB于点F．
理由：∵∠ADF+∠AFD=90°,∠AGD+∠GAD=90°，
∴∠AFD=∠GAD=2∠DAE．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，角平分线的判定，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【变式2-2】（2023·广东佛山·西南中学校考三模）如图，在△ABC中，P为AC边上任意一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AP、AB于点M，N；②以点P为圆心，以AM长为半径作弧，交PC于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作射线PF交BC于点Q．若∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=（ ）

A．100°B．80°C．60°D．40°
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理得到∠B=80°，再根据作图方法可知∠CPQ=∠A，则PQ∥AB，由此即可得到∠PQC=∠B=80°．
【详解】解：∵∠A=60°，∠C=40°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=80°，
由作图方法可知∠CPQ=∠A，
∴PQ∥AB，
∴∠PQC=∠B=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，证明PQ∥AB是解题的关键．
【变式2-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为CB延长线上一点，CD=AB，连接AD．

(1)用尺规完成以下基本作图：在AD的右侧作∠ADE=∠ACB，射线DE与AC延长线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)孟孟判断CE=BD．她的证明思路是：利用等腰三角形的性质及外角定理，通过全等从而得到CE与BD相等．请根据孟孟的思路完成下面的填空：
证明：∵①_____________，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADE=∠ACB
∴②_______________，∵∠ABC=∠ADC+∠BAD
又∠ADE=∠ADC+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD
∵D、B、C三点共线，∴∠ABD+∠ABC=180°
∵A、C、E三点共线，∴③______________
∴∠ABD=∠DCE，∵CD=AB
∴④_____________ASA，∴CE=BD
【答案】(1)见解析
(2)AB=AC；∠ABC=∠ADE；∠ACB+∠DCE=180°；△ABD≌△DCE
【分析】（1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可；
（2）先根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，则∠ABC=∠ADE，再利用三角形外角的性质证明∠CDE=∠BAD，再根据邻补角的定义证明∠ABD=∠DCE，由此即可证明△ABD≌△DCE，则CE=BD．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADE=∠ACB
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC=∠ADC+∠BAD，
又∵∠ADE=∠ADC+∠CDE，
∴∠CDE=∠BAD，
∵D、B、C三点共线，
∴∠ABD+∠ABC=180°
∵A、C、E三点共线，
∴∠ACB+∠DCE=180°
∴∠ABD=∠DCE，
∵CD=AB
∴△ABD≌△DCEASA，
∴CE=BD．
故答案为：AB=AC；∠ABC=∠ADE；∠ACB+∠DCE=180°；△ABD≌△DCE．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，作与已知角相等的角，灵活运用所学知识是解题的关键．
【题型3 尺规作图-作角的和、差】
【例3】（2023·江苏南京·模拟预测）如图为一副三角尺，其中∠α=60°,∠β=45°，作∠ABC=120°,∠DEF=15°．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键．
【详解】解：如图，∠ABC,∠DEF即为所求；
【变式3-1】（2023·江西吉安·模拟预测）已知∠α和∠β，作一个角等于∠α+2∠β．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】见解析
【分析】先作∠AOB=α，再作∠BOC=2β，则∠AOC即为所求．
【详解】如图所示，∠AOB=α，∠BOC=2β，则∠AOC即为所求．
作法：①作射线OA，
②以任意长度为半径，∠α的顶点为圆心作弧MN，∠β的定点为圆心作弧PQ，以同样长度为半径，以O为圆心，作弧GD，交射线OA于点D，
③以MN的长为半径，D为圆心，作弧交GD弧于点E，过点E，作射线OB，则∠AOB=α，
③以PQ的长为半径，E为圆心，作弧交GD弧于点F，
④以PQ的长为半径，F为圆心，作弧交GD弧于点G，
⑤过点G作射线OC，则∠BOC=2β
∴∠AOB+∠BOC=α+2β =∠AOC
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，角度的计算，掌握基本作图是解题的关键．
【变式3-2】（2023·合肥二模）如图所示，已知∠α和∠β，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠α-∠β）．
【答案】见解析．
【分析】根据尺规作图的基本步骤作图即可．
【详解】作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠α；
（2）以射线OD为一边，在∠COD的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠α；
（3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠β；
（4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．
【点睛】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
【变式3-3】（2023·北京海淀·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，令∠B=α<30°，线段BC的垂直平分线分别交线段AB、BC于点D，E．
(1)如图1，用等式表示DE和AC之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，将射线AC绕点A逆时针旋转2α交线段DE于点F，
①依题意补全图形；
②用等式表示AF，EF，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)DE=12AC，证明见解析
(2)①图见解析；②AF=3DE-EF，证明见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出DE⊥BC，点E是线段BC的中点，再根据平行公理，得出AC∥DE，进而得出DE是△ABC的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；
（2）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交线段BC于点M，交线段BA于点N，再以点A为圆心，以相等长为半径画弧，交线段AC于点P，再以点P为圆心，以MN的长度为半径画弧，两弧交于一点Q，再以点Q为圆心，以MN的长度为半径画弧，两弧交于一点K，连接AK，并延长交DE于点F；
②设AC旋转后点C的对应点在AF上为点C'，连接CC'，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出∠ACC'=∠AC'C=90°-α，再根据角之间的数量关系，得出∠C'CB=α，连接CD，根据线段垂直平分线的性质，得出DC=DB，再根据等边对等角，得出∠DCB=∠B=α，再根据角相等，得出∠DCB=∠C'CB，进而得出点C、C'、D三点共线，再根据题意，得出DE是△ABC的中位线，再根据中位线的性质，得出DE=12AC=12AC'，进而得出AC'=2DE，再根据两直线平行，内错角相等，得出∠ACC'=∠C'DF，进而得出∠AC'C=∠C'DF，再根据对顶角相等，得出∠AC'C=∠DC'F，再根据等量代换，得出∠DC'F=∠C'DF，再根据等角对等边，得出FC'=FD，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出AF=3DE-EF．
【详解】（1）解：DE=12AC，证明如下：
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，点E是线段BC的中点，
又∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC∥DE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC；
（2）解：①如图，即为所求；
②AF=3DE-EF，证明如下：
设AC旋转后点C的对应点在AF上为点C'，连接CC'，
∵∠CAC'=2α，AC=AC'，
∴∠ACC'=∠AC'C=180°-2α2=90°-α，
又∵∠ACB=90°，
∴∠C'CB=90°-90°-α=α，
连接CD，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B=α，
∴∠DCB=∠C'CB，
∴点C、C'、D三点共线，
又∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，点E是线段BC的中点，
又∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC∥DE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC=12AC'，
∴AC'=2DE，
∵AC∥DE，
∴∠ACC'=∠C'DF，
又∵∠ACC'=∠AC'C，
∴∠AC'C=∠C'DF，
∴∠AC'C=∠DC'F，
∴∠DC'F=∠C'DF，
∴FC'=FD，
∴AF=AC'+C'F
=2DE+DF
=2DE+DE-EF
=3DE-EF，
∴AF=3DE-EF．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图—等角、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．
【题型4 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行】
【例4】（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，在△ABC中，AC＝3，AB=5，请用尺规作图法，在BC上求作一点O，使得S△AOC：S△AOB＝3：5．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】由题意作BM∥AC，在射线BM上截取BD，使得BD＝BA，连接AD交BC于点O，点O即为所求作．
【详解】解：如图，点O即为所求作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的性质与判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式4-1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC．

(1)尺规作图：过点D作DE∥AB，DE交BC于E；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形ABED是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作∠BDE=∠ABD，BE交BC于点E；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：

（2）证明：∵AD∥BE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD
∴AB=AD，
∴四边形ABED是菱形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握菱形的判定定理．
【变式4-2】（2023·福建·统考中考真题）如图，已知线段MN=a,AR⊥AK，垂足为a．
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线AD,BC,PQ相交于同一点．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据AB=a，点B在射线AK上，过点A作AB=a；根据等边三角形性质，得AB=BC=AC，分别过点A、B，a为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案；
（2）设直线BC与AD相交于点S、直线PQ与AD相交于点S'，根据平行线和相似三角形的性质，得ADS'D=ADSD，从而得S'D=SD，即可完成证明．
【详解】（1）作图如下：
四边形ABCD是所求作的四边形；
（2）设直线BC与AD相交于点S，
∵DC//AB，
∴△SBA∽△SCD，
∴SASD=ABDC
设直线PQ与AD相交于点S'，
同理S'AS'D=PAQD．
∵P，Q分别为AB,CD的中点，
∴PA=12AB，QD=12DC
∴PAQD=ABDC
∴S'AS'D=SASD，
∴S'D+ADS'D=SD+ADSD，
∴ADS'D=ADSD，
∴S'D=SD，
∴点S与S'重合，即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点．
【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．
【变式4-3】（2023·江苏无锡·模拟预测）如图1，点C为圆内一点，AB为该圆的一条弦．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作直线l与AB平行，分别交该圆于点D、E（点D在点E的左侧）；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）中，若AB与DE位于圆心异侧，且AB=2,DE=42，若该圆的半径为3，则该圆位于AB和DE之间的图形的面积为______．（如需画草图，请使用试题中的图2）
【答案】(1)作图见解析；
(2)9π2+42．
【分析】（1）连接AC，再根据作一个角等于已知角即可；
（2）过圆心O作OP⊥DE于点P，延长PO交AB于点Q，由AB∥DE则可知OQ⊥AB，由勾股定理和SSS，证明△DPO≌△OQA即可，最后利用面积求法即可；
此题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，全等三角形的性质与判定，扇形面积求法和勾股定理，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，
①延长AC，
②分别以A，C为半径，任意长度为半径画弧，分别交于点M，N，G，
③以G为圆心，MN长度为半径画弧，交弧于点H，
④连接CH，
∴直线l即为所求；
（2）过圆心O作OP⊥DE于点P，延长PO交AB于点Q，
∵AB∥DE，
∴OQ⊥AB，
∴DP=PE=12DE=22，AQ=BQ=12AB=1，
在Rt△DPO中，由勾股定理得：OP=OD2-PD2=32-222=1，
同理：OQ=22，
在△DPO和△OQA中，
DP=OQPO=QADO=OA，
∴△DPO≌△OQASSS，
∴∠PDO=∠QOA，
∵∠PDO+∠DOP=90°，
∴∠AOQ+∠DOP=90°，
∴∠AOD=90°，同理∠BOE=90°，
∴该圆位于AB和DE之间的图形的面积为：
S扇形DOA+S扇形BOE+S△DOE+S△AOB，
=90π×32360+90π×32360+12×42×1+12×22×2，
=9π2+22+22，
=9π2+42
故答案为：9π2+42．
【题型5 尺规作图-作角平分线】
【例5】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE:S△CDE的值是（ ）
A．1:2B．1:3C．2:5D．3:8
【答案】A
【分析】根据尺规作图可得，AE是∠BAC的平分线，可得∠BAE=30°，由三角形内角和定理可得∠C=30°，由等腰三角形性质可得AE=CE，根据直角三角形的性质可得BE=12AE，可推出EC=2BE，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：由尺规作图可得，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=30°，
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ABE中，BE=12AE，
∴BE=12EC，即EC=2BE，
∴S△BDE:S△CDE=1:2，
故选：A．
【点睛】本题考查基本作图，含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，30°角所对直角边长度是斜边的一半．
【变式5-1】（2023·新疆·统考中考真题）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为a,2a-3，则a的值为 ．

【答案】3
【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．
【详解】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P在第一象限，点P的坐标为a,2a-3，
∴a=2a-3，
∴a=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．

(1)尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AEFD是菱形，理由见解析
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF=∠AFE，结合角平分线的定义可得∠EFA=∠EAF，则AE=EF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）四边形AEFD是菱形；
理由：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFE，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠EFA=∠EAF，
∴AE=EF，
∵AE=AD，
∴AD=EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE=AD，
∴平行四边形AEFD是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式5-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．

(1)求证：四边形BDEF是菱形．
(2)若AC=4，求△AFD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)33
【分析】（1）先证明△BED是等边三角形，得到BE=BD=DE，再根据角平分线的定义得到∠EDF=∠BDF，证明△EFD是等腰三角形，即可证明EF=BD，即可解答本题；
（2）根据等边三角形的性质求出AD，AG，再根据菱形的性质，求得FD，即可求出 △AFD的面积．
【详解】（1）证明：∵等边△ABC，AD⊥BC
∴D是BC中点，∠ABC=∠C=60°，
∵E是AB中点，
∴DE∥AC
∴∠EDB=∠C=60°，
∴△BED是等边三角形
∴BE=BD=DE，
∵由尺规作图可知DF平分∠EDB，
∴∠EDF=∠FDB
∵EF∥BC，
∴∠EFD=∠FDB，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED=BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵DE=BD，
∴四边形BDEF是菱形；
（2）解：∵等边△ABC，AD⊥BC，
∴∠C=60° ,∠ADC=90°,∠BAD=12∠BAC=30°，
∵AC=4
∴BD=12AB=12AC=2，AD=AB2-BD2=23，
∵四边形BDEF是菱形，
∴AG⊥FD,FG=GD，
∵Rt△AGD,∠BAD=30°，
∴DG=12AD=3,AG=AD2-DG2=3，
∴FD=23，
∴S△AFD=12×23×3=33．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，菱形的判定及性质，含有30°角的直角三角形的边长关系，作图-角平分线，熟知上述概念是解题的关键．
【题型6 尺规作图-作三角形】
【例6】（2023·山东滨州·统考中考真题）（1）已知线段m,n，求作Rt△ABC，使得∠C=90°,CA=m,CB=n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作射线AP，在AP上截取AC=m，过点C作AC的垂线MN，在CN上截取CB=n，连接AB，则Rt△ABC，即为所求；
（2）先根据题意画出图形，再证明．延长CD至E使CD=DE，连接AE、BE，因为D是AB的中点，所以AD=BD，因为CD=DE，所以四边形ACBE是平行四边形，因为∠ACB=90°，所以四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质可得出结论．
【详解】（1）如图所示，Rt△ABC即为所求；

（2）已知：如图，CD为Rt△ABC中斜边AB上的中线，∠ACB=90°，
求证：CD=12AB.
证明：延长CD并截取DE=CD.

∵CD为AB边中线，∴BD=AD，
∴四边形ACBE为平行四边形.
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE为矩形，
∴AB=CE=2CD，
∴CD=12AB
【点睛】本题考查了作直角三角形，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造出矩形，利用矩形的性质解答．
【变式6-1】（2023·安徽合肥·统考二模）知：A、B为直线l上两点，请用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）；
(1)任作一个△ABP，使PA=PB；
(2)作△ABQ，使AQ=BQ，且∠AQB=120°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，即可求解；
（2）先作等边三角形ABP，再作出∠APB和∠BAP的角平分线交于点Q，即可求解．
【详解】（1）解：如图，△ABP即为所求；
；
（2）解：如图，△ABQ即为所求；
理由：根据作图得：PC平分∠APB，AP=AB，PB=AB，AQ平分∠BAP，
∴AP=AB=PB，
∴△ABP为等边三角形，∠BAQ=∠ABQ，
∴∠BAP=60°，PC垂直平分AB，
∴AQ=BQ，
∵AQ平分∠BAP，
∴∠BAQ=∠ABQ=30°，
∴∠AQB=120°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，作三角形，熟练掌握尺规作图的方法以及线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
【变式6-2】（2023·北京·校考模拟预测）已知：∠MON，A为射线ON上一点．
求作：△AOB，使得点B在射线OM上，且∠BAO=12∠MON．
作法：①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点F，交射线ON的反向延长线于点E；
②以E为圆心，AF长为半径画弧，交弧EF于点P；
③连接AP，交射线OM于点B．
所以△AOB就是所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接EP，AF，OP，
∵点A，E，P在⊙O上，
∴∠PAE=12∠POE．（______）（填写推理的依据）
∵在⊙O中，PE=AF，
∴∠MON=______．（______）（填写推理的依据）
∴∠BAO=12∠MON．
【答案】(1)见解析
(2)同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；∠POE；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等
【分析】(1)根据题意即可作出图；
(2)根据圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系即可解答．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：连接EP，AF，OP，
∵点A，E，P在⊙O上，
∴∠PAE=12∠POE．（同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半）
∵在⊙O中，PE=AF，
∴∠MON=∠POE．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等）
∴∠BAO=12∠MON．
故答案为：同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；∠POE；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等．
【点睛】本题考查了圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系，准确作出图是解决本题的关键．
【变式6-3】（2023·福建福州·模拟预测）如图，点P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，将△PAB绕点B逆时针旋转60°得到△ODB，其中点P的对应点是Q．
(1)请画出△QDB（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若AB=2，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】（1）以点B与点P为圆心，以BP长为半径画弧，交于点Q ，同理，以点B 与点A 为圆心，以BA 长为半径画弧，交于点D ，连接BD，BQ，DQ ，则△QDB 为所求三角形；
（2）过点D作BC的垂线，垂足为E，连接PQ，CD，由题可知△PAB≌△QDB，即可证得△PBQ是等边三角形，根据△ABC是等边三角形，即可得到BE、CE的长，继而根据勾股定理求得DE、CD的长，于是根据由两点之间，线段最短可得DQ+QP+PC≥CD，故当C，P，Q，D四点共线时，即可得到PA+PB+PC的最小值．
【详解】（1）解：
如图所示，△QDB即为所求作的三角形．
（2）解：过点D作BC的垂线，垂足为E，连接PQ，CD，
∴∠BED=90°．
∵△PAB绕点B逆时针旋转60°得到△QDB，其中点P的对应点是Q，
∴△PAB≌△QDB，∠ABD=∠PBQ=60°，
∴PA=DQ，PB=QB，BD=AB=2，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PB=QP．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=AB=2．
∵∠ABC+∠ABD+∠DBE=180°，
∴∠DBE=60°，∴∠BDE=30°，
∴BE=12BD=1，∴CE=BC+BE=3．
在Rt△BDE中，DE=BD2-BE2=3．
在Rt△CDE中，CD=CE2+DE2=23．
由两点之间，线段最短可得DQ+QP+PC≥CD，
当且仅当C，P，Q，D四点共线时，等号成立，
∴DQ+QP+PC≥23，即PA+PB+PC≥23，
∴PA+PB+PC的最小值是23．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，尺规作三角形，掌握相关性质以及定理是解题的关键．
【题型7 尺规作图-作三角形的中线与高】
【例7】（2023·陕西西安·校考一模）如图，在 △ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC． 请用尺规作图法，在BC边上求作点 D，使 AD=12BD．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作垂线，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质等知识，掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键．过点A作AD⊥AB交BC于点D，先利用等腰三角形的性质求出∠B=30°，然后利用含30°的直角三角形的性质即可判断AD=12BD．
【详解】解：如图，点D即为所求，
理由：由作图，知AD⊥AB，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=180°-∠BAC2=30°，
∴AD=12BD．
【变式7-1】（2023·广西贵港·统考一模）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，已知∠a和线段a、b
求作：（1）△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
（2）在（1）的条件下，作AB边上的中线CD．
【答案】（1）如图，△ABC为所作；见解析；（2）如图，CD为所作；见解析．
【分析】（1）先作∠BAC＝∠α，然后分别截取AB＝a，AC＝b，从而得到△ABC；
（2）作AB的中垂线得到AB的中点，从而得到中线CD．
【详解】（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，CD为所作．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式7-2】（2023·广西贵港·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=30°，∠ADC=90°．
(1)用尺规作图过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)求证：AD=AE．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是准确画图．
（1）根据尺规作图过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点E即可；
（2）根据∠ABC=∠BAC=30°,∠ADC=90°，即可证明：AD=AE．
【详解】（1）解：如图，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点E；
AE即为所求；
（2）∵∠ABC=∠BAC=30°，
∴∠ACE=60°,
∵∠ADC=90°,∠AEC=90°,
∴∠EAC=30°,
∴∠DAC=∠EAC,
∵∠ADC=∠AEC,AC=AC,
∴△ADC≌△AEC(AAS),
∴AD=AE.
【变式7-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交BC于点F，连接AF．

(1)用尺规作图：过点F作AF的垂线，交CD于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证BF=CE．他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC
∵①
∴∠ADF=∠CDF
∴∠DFC=∠CDF
∴②
∵AB=CD
∴AB=FC
∵AF⊥EF
∴∠AFE=90°
∴∠AFB+∠EFC=90°
∵在△ABF中，∠B=90°
∴③
∴∠BAF=∠EFC
在△ABF和△FCE中
∠B=∠C④∠BAF=∠EFC
∴△ABF≌△FCEASA
∴BF=CE
【答案】(1)见解析；
(2)①AB∥CD，②CD=CF，③∠AFB+∠BAF=90°，④AB=FC
【分析】（1）根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法作图即可；
（2）根据AAS证明三角形全等，再根据全等的性质证明．
【详解】（1）解：如图：EF好戏为所作．

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CD=CF，
∵AB=CD，
∴AB=FC，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
在△ABF中，∠B=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
在△ABF和△FCE中，
∠B=∠CAB=FC∠BAF=∠EFC，
∴△ABF≌△FCE(ASA)，
∴BF=CE．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，余角的性质，矩形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
【题型8 尺规作图-作垂直平分线】
【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十六中学校考模拟预测）如图，∠ABC中，∠ACB=90°，点D为CB边上一点．

(1)求作四边形ADBE，使得四边形ADBE是菱形（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)AB与DE的交点为O，连结OC，若AE=5， cs∠DBE=35，求OC的长．
【答案】(1)见解析；
(2)25．
【分析】（1）如图所示，①作线段AB的垂直平分线，交CB于点D；②以点B为圆心，以BD为半径画弧，交垂直平分线于点E；即得所求．
（2）过点E作EF⊥BC于点F，由菱形得，AE∥BC，AE=BE=5，可证四边形ACFE是矩形，解Rt△BEF得BF=3，EF=4，由勾股定理AB=AC2+BC2=45，由斜边中线定理，得OC=12AB=25．
【详解】（1）解：如图所示，①作线段AB的垂直平分线，交CB于点D；
②以点B为圆心，以BD为半径画弧，交垂直平分线于点E；
③连接AD，AE，BE，即得所求．
（2）过点E作EF⊥BC于点F，
∵四边形ADBE是菱形，
∴AE∥BC，AE=BE=5，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACFE是矩形，
∴CF=AE=5，

在Rt△BEF中，∵cs∠DBE= 35，
∴BFBE=35，
∴BF=3，
∴EF=AC=4，
∴BC=CF+BD=5+3=8，
∴AB=AC2+BC2=42+82=45，
∵∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴OC=12AB=25，
∴OC的长为25．
【点睛】本题考查尺规作图，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；构造直角三角形求解线段是解题的关键．
【变式8-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，在AB边上求作一个点E，使OE=12BC（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【分析】作AB的垂直平分线得到AB的中点E，根据平行四边形的性质得到O点为AC的中点，则根据三角形中位线的性质得到OE=12BC．
【详解】解：如图，点E为所作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
【变式8-2】（2023·山东青岛·统考中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．

【答案】见解析
【分析】作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点为P点．
【详解】解：如图，点P为所作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
【变式8-3】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：

(1)如图1，在BC上求作点D，使S△ABD=S△ACD；
(2)如图2，若点D在AB边上，在BC上求作点E，使S△BDE=S四边形ADEC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线与BC的交点即为所求；
（2）如图：由题意得，只要作S△BDE=12S△ABC即可，由第（1）问得，S△ABP=12S△ABC，只要作S△BDE=S△ABP即可．
【详解】（1）解：如图：

作BC的垂直平分线与BC交于D点，
∴BD=CD，
∵△ABD与△ACD高相同，
∴S△ABD=S△ACD．
如图1：点D即为所求；
（2）如图：

由题意得，只要作S△BDE=12S△ABC即可，
作BC的垂直平分线交BC于P点，
由第（1）问得，S△ABP=12S△ABC，
故只要作S△BDE=S△ABP即可，
连接D、P，要使得S△BDE=S△ABP，只要作S△ADP=S△EDP，
根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，
只要作AE∥DP，
根据“同位角相等，两直线平行”，作∠BAE=∠BDP，交BC于E点，
如图2：点E即为所求．
【点睛】本题考查了复杂作图，要求掌握三角形中线的意义及三角形的面积公式，会作线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，其中平行线之间距离性质以及转化思想的运用是解题的关键．
【题型9 尺规作图- 画圆】
【例9】（2023·福建福州·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．
(1)作⊙O，使其与线段AB、CD分别相切于点E、F（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)⊙O与OD相交于点G，连接AG，若AG与⊙O相切，求tan∠ACB．
【答案】(1)见解析
(2)tan∠ACB=3
【分析】（1）过点O作EF⊥AB于E，交CD于F，以点O为圆心，OE为半径作⊙O，即可；
（2）证明∠ACB=60°，可得结论．
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）解：如图，
∵AB，AG与⊙O分别相切于E，G，且OG为半径，
∴OG⊥AG于G，∠OAE=∠OAG，
∴∠AGB=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB，
∴OA=OB，
∴∠OAE=∠OBE=∠OAG，
又∠OAE+∠OBE+∠OAG=∠GAB+∠GBA=90°．
∴∠OAE=30°，
∴∠ACB=90°-∠OAE=60°，
∴ tan∠ACB=3．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式9-1】（2023·陕西西安·校考三模）如图，已知点A是直线l外一点，点B是直线l上一点，请用尺规作⊙O，使得⊙O过点A且与直线l相切于点B．（要求：尺规保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．

【答案】见解析
【分析】作线段AB的垂直平分线EF，过点B作BM⊥l交直线EF于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求，
．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式9-2】（2023·山东青岛·统考一模）已知：如图，A、B、C三个点．求作：⊙O，使⊙O经过A、B、C三点．
【答案】见解析
【分析】连接AB、AC，分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点O，连接AO，以点O为圆心，AO的长为半径画圆即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求，
【点睛】此题考查了三角形的外接圆，熟练掌握三角形外接圆的作法是解题的关键．
【变式9-3】（2023·山东青岛·校联考一模）如图，∠BAC=45∘，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
【答案】见解析
【分析】先作AE的垂直平分线得到中点P，再以AE为直径作⊙P，过点D作AB的垂线交⊙P于点Q，接着在AC上截取AQ=AF，然后过点F作AC的垂线交DE的垂直平分线于点O，最后以点O为圆心，OF为半径作圆即可．
【详解】解：如图， ⊙O为所作．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【题型10 尺规作图- 找圆心】
【例10】（2023·广东茂名·统考一模）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=24cm，CD=8cm．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13cm
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径OA的长．
【详解】（1）解：作弦AC的垂直平分线与弦BC的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，
如图1所示．
（2）连接OA，如图2所示：
设OA=x，
∵CD=8cm，AD=12cm，
∴OD=(x-8)cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+(x-8)2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
【点睛】本题考查了作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．
【变式10-1】（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图，不写作法，但要保留清晰的作图痕迹．
（1）如图1，A，B，C，D四个点在同一个圆上，且AB//CD，请作出这个圆的一条直径；
（2）如图2，四边形ABCD是菱形，且A，B，C三点在同一个圆上，请找出这个圆的圆心．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接CA并延长，连接DB并延长交于点G，连接AD、BC交于点H，作直线GH，即可得到圆的直径EF；
（2）延长CD交圆与点P，利用（1）方法，确定圆的直径EF，连接BD交EF于点O，点O即为圆心．
【详解】解：答图如下：
（1）图1中，线段EF为所求；
（2）图2中，点O为所求．
【点睛】本题考查了圆的轴对称性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，理解圆的对称性和菱形的性质是解题关键．
【变式10-2】（2023·陕西西安·西安益新中学校考模拟预测）尺规作图，如图，有一块残破的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学有关知识，设计一种方案，用尺规作图，找出出圆心，作出这个圆的半径．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据圆的性质，在圆弧上去三个不重合的点A、B、C，连接AB、AC，分别作它们的垂直平分线，相交点即是圆心，即可求解．
【详解】解：在圆弧上去三个不同的点A、B、C，连接AB、AC，分别作它们的垂直平分线，相交点即是圆心，
如图，⊙O即为所求作，线段OC即为⊙O的半径．
【点睛】此题考查了圆的有关性质以及尺规作图，熟练掌握圆的有关性质以及尺规作图是解题的关键．
【变式10-3】（2023·河南新乡·统考三模）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．

(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全⊙O，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点E，过点C作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD．
①求证：AD=AC；
②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC=70,BC=4，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②7
【分析】（1）分别作出AB和BC的垂直平分线交于点O，即为所求作的圆心O；
（2）①连接AO并延长交CD于点F，根据切线的性质和平行线的性质得到OF⊥CD，然后利用垂径定理得到DF=CF，最后利用垂直平分线的性质求解即可；
②连接BD，首先根据题意得到OF是△DCB的中位线，得到OF=12BC=2，然后得到AD=AC=70，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，分别作AB和BC的垂直平分线交于点O，

∴点O即为所求作的圆心O；
（2）如图所示，连接AO并延长交CD于点F，

∵AE是⊙O的切线，
∴FA⊥AE，
∵CD∥AE，
∴∠AFC=90°，
∴OF⊥CD，
∴DF=CF，
∴AF所在直线是CD的垂直平分线，
∴AD=AC；
②如图所示，连接BD，

∵DB为⊙O的直径，
∴点O是DB的中点，OD=AO=BO，
∵点F是CD的中点，
∴OF是△DCB的中位线，
∴OF=12BC=2，
∵AD=AC=70，
∵AF⊥DC，
∴AD2-AF2=OD2-OF2，
即702-AO+22=AO2-22，
∴解得AO=-5（舍去），AO=7，
∴⊙O的半径为7．
【点睛】此题考查了尺规作圆的圆心，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【题型11 尺规作图-过圆外一点作圆的切线】
【例11】（2023·福建福州·闽清天儒中学校考模拟预测）如图，点P是⊙O外一点，连接OP交⊙O于点I．
(1)过点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接AB，求证：点I是△ABP的内心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先作OP的垂直平分线，交OP于一点，再以这个点为圆心，以该点到O点的距离为半径画弧线交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可；
（2）先证明RtΔAOP≌RtΔBOP，得到PA=PB,∠API=∠BPI，从而证得PI平分∠APB，进一步得到OP垂直平分AB，再证明∠OAD=∠API，最后根据∠OAI=∠OIA证得∠DAI=∠PAI，得到AI平分∠BAP，即可证得点I是△ABP的内心．
【详解】（1）解：如图所示，PA，PB圆为所求作的⊙O的两条切线，
其中切点分别为A，B．
（2）证：连接AI,BI,OA,OB，记AB与OP的交点为D．
由（1）得PA,PB都是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥PA,OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴∠OAD+∠DAP=90°．
∵OA=OB,OP=OP，
∴RtΔAOP≌RtΔBOP，
∴PA=PB,∠API=∠BPI，
即PI平分∠APB，
∴点O，P在线段AB的垂直平分线上，
即OP垂直平分AB．
∴∠ADP=90°，
∴∠OAD+∠API=90°，
∴∠OAD=∠API．
∵OA=OI，
∴∠OAI=∠OIA，
即∠DAI+∠OAD=∠PAI+∠API，
∴∠DAI=∠PAI，
即AI平分∠BAP，
∴点I是△ABP的内心．
【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的性质和三角形内心的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．
【变式11-1】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

【答案】见解析
【分析】本题考查切线的定义和尺规作图；作法为：①连接OP，以OP为直径作⊙O'；②⊙O'与⊙O相交于点E，作直线PE．则直线PE即为所求．
【详解】解：如图，直线PE即为所求，

证明：∵OP是直径，
∴∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切线．
【变式11-2】（2023·江苏扬州·模拟预测）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：

(1)在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作⊙O1的切线l1；
(2)在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙O2的切线l2．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了作图−复杂作图、也考查了切线的判定．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作
（1）以O1为圆心，大于O1P为半径画弧，再以P为圆心，适当长度为半径画弧，分别相交于点M、N， 连接MN，点P在直线MN（直线l1）上，即可得直线过P点作O1P的切线得到直线l1；
（2）连接QO2，作QO2的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，OQ为半径作圆交⊙O2于A、B，则直线QA、QB满足条件．
【详解】（1）解：如图①，切线l1为所作：

（2）解：如图②，切线l2为所作：

【变式11-3】（2023·北京海淀·模拟预测）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线，
小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．
【答案】两种作法都正确，证明见解答．
【分析】选作法一、连接BC，判断出四边形OBCP为菱形，得出∠BOP=90°，进而判断出∠OPC=90°，即可得出结论；
选作法二、连接DE，设PD=5x，AP=4x，PC=3x，得出PE2+PA2=25x2=AE2，进而得出∠APE=90°，即可得出结论．
【详解】解：选作法一、如图作法一，

连接BC，由题意得，OB=OP=BC=PC，
∴四边形OBCP为菱形，
∴∠BOP=90°，
∴OB∥CP，
∵∠BOP=90°，
∴∠OPC=90°，
∵OP为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
选作法二、如图作法二，

连接DE，由题意设，AP=4x，
∴PE=3x，AE=PD=4x，
∴PE2+PA2=25x2=AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE=90°，
∵OP为⊙P的半径，
∴PE是⊙O的切线．
【点睛】此题主要考查了尺规作图，正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
【题型12 尺规作图-作外接圆】
【例12】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，求作⊙O，使得⊙O经过△ABC的三个顶点．

【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，作AB的垂直平分线交AD于点O，则O点到点A、B、C的距离相等，则以O点为圆心，OA为半径的圆满足条件．
【详解】解：如图，作AB的垂直平分线交AD于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆，
则⊙O为所作，如图所示：
．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了等腰三角形的性质和三角形外接圆．
【变式12-1】（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上，连接BD，利用尺规作图法求作⊙O，使⊙O经过点B、C、D．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作出线段BD的垂直平分线交BD于点O，以O为圆心，以OD为半径作圆，即可作答．
【详解】作出线段BD的垂直平分线交BD于点O，以O为圆心，以OD为半径作圆，
如下图：
⊙O即为所求．
证明：连接OC，
根据作图可知：点O是Rt△DBC斜边的中点，即OC=12BD=OD=OB，
即点C在以BD为直径的圆上，
即⊙O经过点B、C、D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识，掌握圆周角定理是解答本题的关键．
【变式12-2】（2023·广东广州·校联考一模）如图，在RtΔAEF中，∠E=90°，点C在AE上，点B在AF上，BC∥EF．
(1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O，使它与EF相切于点D（保留作图痕迹，不需写作法）；
(2)连接AD，求证：AD是∠BAC的平分线；
(3)若AC=2，CE=1，求BD的长度．（结果保留π)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2π3
【分析】（1）先作AB的垂直平分线，其与AB的交点即为圆心O，然后以O为圆心，以OA的长为半径画弧交EF于D，点D即为所求；
（2）先证OD∥AE，得到∠ADO=∠DAC，再由OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，则∠OAD=∠DAC，即可证明AD平分∠BAC；
（3）设OD与BC交于点G，先证明∠ACB=∠OGB=90°，得到OGOB=ACAB，四边形CEDG是矩形，则OG=AC⋅OBAB=12AC=1，DF=CE=1，OD=OA=OB=2，求出∠OBG=30°，则∠BOG=60°，BD=60×π×2180=2π3．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
先作AB的垂直平分线，其与AB的交点即为圆心O，然后以O为圆心，以OA的长为半径画弧交EF于D，点D即为所求
（2）解：∵EF是圆O的切线，
∴OD⊥EF，
∵∠E=90°，即AE⊥EF，
∴OD∥AE，
∴∠ADO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠DAC，
∴AD平分∠BAC；
（3）解：设OD与BC交于点G，
∵BC∥EF，OD⊥EF，
∴OD⊥BC，
∴∠ACB=∠OGB=90°，
∴sin∠ABC=sin∠OBG=OGOB=ACAB，四边形CEDG是矩形，
∴OG=AC⋅OBAB=12AC=1，DF=CE=1，
∴OD=OA=OB=2，
∴sin∠OBG=OGOB=12，
∴∠OBG=30°，
∴∠BOG=60°，
∴BD=60×π×2180=2π3．
【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，解直角三角形，求弧长，矩形的性质与判定，作外切圆等等，熟知相关知识是解题的关键．
【变式12-3】（2023·广东广州·统考二模）如图，在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D，

(1)尺规作图：作AD的垂直平分线，交AD于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O（保留痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，
①求证：BC是⊙O的切线；
②若⊙O的半径为3，问线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②存在，32或1
【分析】（1）因为CD⊥AC，所以以AD为直径作圆即为⊙O；
（2）①BC过半径OC外端点C，要证BC是过A，D，C三点的圆的切线，只证OC⊥BC即可；②通过证明△BDP∼△BCO，再利用相似比即可求得DP的长．
【详解】（1）作AD的垂直平分线，交AD于点O，

以点O为圆心，OA长为半径作圆即为所作的．
（2）①∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直径．
连接OC，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°．
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°．
∴BC⊥OC．
∴BC是⊙O的切线．
②存在．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B．
∴DB=DC．
在Rt△ACD中，DC=AD•sin30°=3，
∴BD=3．
过点D作DP1∥OC，则△P1DB∼△COB，
∴P1DCO=BDBO．
∵BO=BD+OD=23，
∴P1D=BDBO×OC=323×3=32．
②过点D作DP2⊥AB，则△BDP2∼△BCO，
∴P2DOC=BDBC．
∵BC=BO2-CO2=3，
∴P2D=BDBC×OC=33×3=1．
综上，DP的长为32或1．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，外接圆作法及切线的判定的综合运用．
【题型13 尺规作图-作内切圆】
【例13】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，已知△ABC．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作△ABC的内切圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=4，AB=5，BC=6，则tan∠OBC=__________．（如需画草图，请使用图2）
【答案】(1)见解析
(2)77
【分析】（1）作∠ACB,∠ABC的角平分线，交于点O，过点O作BC的垂线，交BC于点D，以点O为圆心，OD为半径画圆，⊙O即为所求；
（2）如图，切线长定理求出BD的长，等积法求出OD的长，再利用tan∠OBC=ODBD，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）设AB,AC分别切⊙O于点E,F，连接OE,OF，则：OE⊥AB,OF⊥AC，OD=OE=OF，
由题意，得：OD⊥BC，BD=BE,AE=AF,CD=CF，
设BD=BE=x，
∴AE=AF=AB-BE=5-x，CD=CF=BC-BD=6-x，
∴AC=AF+CF=5-x+6-x=4，
∴x=72，
过点A作AG⊥BC于点G，则：∠AGB=∠AGC=90°，
设BG=a，则：CG=6-a，
∵AG2=AB2-BG2=AC2-CG2
∴52-a2=42-6-a2，
解得：a=154，
∴AG=AB2-BG2=547，
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴12BC⋅AG=12AB+BC+AC⋅OD，即：6×574=4+5+6⋅OD，
∴OD=72；
∴tan∠OBC=ODBD=77．
故答案为：77．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，解直角三角形．熟练掌握等积法求三角形的内切圆的半径，是解题的关键．
【变式13-1】（2023·山东青岛·统考一模）已知：在△ABC及AB边上一点E．求作：⊙O，使它分别于AB，BC相切，且点E为其中一个切点．
【答案】见解析
【分析】过点E作AB的垂线，作∠ABC的平分线，两条线相交于点O，以点O为圆心，OE为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】此题考查了作图—复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
【变式13-2】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边上的中线．请用尺规作图法，求作△ABC的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，作出∠ACB平分线与AD交于O点，即内切圆圆心，然后以点O为圆心，以OD长为半径画圆即可．
【详解】解：如图，∠ACB平分线CO交AD于O点，然后以点O为圆心，以OD长为半径画圆作⊙O，⊙O即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图和三角形的内切圆，正确把握三角形内切圆的圆心是三角形三边角平分线的交点是解题的关键．
【变式13-3】（2023·福建福州·模拟预测）如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°．
（1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB=______°；②BD=_______．
【答案】（1）见解析；（2）135；6．
【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得△ABC的内切圆；
（2）利用角平分线的性质得到∠OAB+∠OBA=12(∠CAB+∠CBA)，再由三角形内角和定理即可求得∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 135°；根据切线长定理即可求得BD的长．
【详解】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；
（2）由作图知，OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴∠OAB=12∠CAB、∠OBA=12∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=12(∠CAB+∠CBA)，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 135°；
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB=BC2+AC2=82+62=10，
∵⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，
设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，
∵AF+CF=AC=6，
∴10-x+8-x=6，
解得：x=6，
故答案为：135；6．
【点睛】本题主要考查了作图－复杂作图，切线长定理，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点．
【题型14 尺规作图-作圆内接正多边形】
【例14】（2023·广东中山·统考三模）如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点.
【详解】如图即为所求作的菱形
理由如下：
∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
【点睛】本题考查尺规作图和菱形的性质，解题的关键是掌握尺规作图和菱形的性质.
【变式14-1】（2023·山东青岛·统考一模）已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．
【答案】见解析
【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式14-2】（2023·江苏扬州·校联考一模）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（1）作△ABC的外接圆圆心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）取BF＝CH＝AD构成等边三角形；
（3）作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【详解】（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示，等边△DFH即为所求；
（3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
【变式14-3】（2023·江苏·统考中考真题）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）158．
【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD的度数，得到AD的长，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．
【详解】解：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOD=360∘8×3=135°，
∵OA=5，
∴AD的长=135π×5180=154π，
设这个圆锥底面圆的半径为R，
∴2πR=154π，
∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．
故答案为158．
【题型15 尺规作图-格点作图】
【例15】（2023·江西·统考中考真题）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
(2)在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）如图，取格点K，使∠AKB=90°，在K的左上方的格点C满足条件，再画三角形即可；
（2）利用小正方形的性质取格点M，连接PM交AB于Q，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求作的三角形；

（2）如图，Q即为所求作的点；

【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．
【变式15-1】（2023·吉林白山·统考一模）如图①，图②，在9×9的正方形网格中，按要求画平行四边形，使每个图形同时满足下列条件：（1）它的四个顶点以及对角线交点都在格点上；
（2）所画的图形的周长是整数；
（3）两个图形不全等．

【答案】见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了在网格中画平行四边形，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．按照题目要求在图①中画边长为5的菱形即可；在图②中画长为6，宽为4的矩形即可．
【详解】解：如图，▱ABCD和▱EFGH为所求作的平行四边形．

【变式15-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，在8×8的正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)如图1，①直接写出BCAC的值；②画出CD平分∠ACB交AB于点D；
(2)如图2，先在边AB上画出中点E，再在边AC上画出点F，使直线EF平分△ABC的周长；
(3)如图3，先画线段AB的垂直平分线l，再在直线l上画出点G，使∠BGC=∠BAC．
【答案】(1)①BCAC=12；②见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）①利用勾股定理即可求出；②构造等腰Rt△ACE，找到AE的中点D，连接CD即可；
（2）利用矩形对角线找到AB中点E，CN中点F，连接EF即是所求直线；
（3）找到以AB为对角线的正方形，即可画出AB的垂直平分线l，仿照(1)①的作法画出∠BCA的平分线，与l的交点即是点G．
【详解】（1）①由图1可得：BC=12+22=5，AC=22+42=25，
∴BCAC=525=12；
②∵BC=5，AC=25，AB=5，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠BCA=90°，
如图，构造等腰Rt△ACE，则斜边中线CD为角平分线．

（2）如图：

∵AE=BE，BC=5，CF=52，AF=25-52=352，
∴BE+BC+CF=AF+AE，
∴EF平分△ABC的周长；
（3）如图：

∵∠BGC=∠BAC，
∴B，G，A，C四点共圆时符合要求，
利用圆内接四边形对角互补，
∴∠BGA=90°．
又l垂直平分AB，G在l上，
∴△ABG为等腰Rt△，CG平分∠BCA，
∴G为∠BCA平分线与l交点．
【点睛】此题考查了仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，掌握勾股定理、构造等腰直角三角形、利用矩形性质找中点是解题关键．
【变式15-3】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）网格中每个小正方形的顶点称为格点，图中A，B，C，D，E均为格点，仅用无刻度直尺依次完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．

(1)在图1中，先在CD上画点M，使BE⊥EM，再在BC上画点N，使得使△DEM∽△CMN；
(2)在图2中，先在AD上画点F，使BF平分∠ABE，再在BE上画点H，使得HB=HF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取点P，连接EP交CD于M，取点Q，连接BQ交网格线于点J，连接MJ，交BC于点N，点M、点M即为所求；
（2）取格点M、N，连接MN交网格线于点K，取格点T，连接TK交AD于点F，在BC上取一点R，使AF=BR，连接RF交BE于点H，点F、点H即为所求．
【详解】（1）解：如图，点M、点M即为所求，
；
（2）解：如图，点F、点H即为所求，
．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点．
作一条线段等于已知线段
步骤：
1.作射线OP；
2.在OP上截取OA=a，OA即为所求线段
作角的平分线
步骤：
1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，
分别交OA.OB于点N.M；
2.分别以点M.N为圆心，大于MN的长为半径作弧，
相交于点P；
3.画射线OP,OP即为所求角平分线
作线段的垂直平分线
步骤：
1.分别以点A.B为圆心，以大于AB的长为半径，在AB两侧作弧；
2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线
作一个角等于已知角
步骤：
1.在∠α上以点O为圆心.以适当的长为半径作弧，
交∠α的两边于点P.Q；
2.作射线O′A；
3.以O′为圆心.OP长为半径作弧，交O′A于点M；
4.以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；
5.过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求角
过一点作已知直线的垂线
步骤：
1.在直线另一侧取点M；
2.以P为圆心，以PM为半径画弧,交直线于A.B两点；
3.分别以A.B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点N；4. 连接PN,则直线PN即为所求垂线
步骤：
1.以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，
交直线于A.B两点；
2.分别以点A.B为圆心，以大于AB长为半径向直线
两侧作弧，交点分别为M.N；
3.连接MN，MN即为所求垂线