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2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题37 轴对称、平移、旋转【十二大题型】（2份，原卷版+解析版）
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这是一份2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题37 轴对称、平移、旋转【十二大题型】（2份，原卷版+解析版），文件包含2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题37轴对称平移旋转十二大题型原卷版docx、2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题37轴对称平移旋转十二大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共118页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14099" 【题型1 轴对称图形、中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc14099 \h 1
\l "_Tc17515" 【题型2 与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】 PAGEREF _Tc17515 \h 3
\l "_Tc16696" 【题型3 与几何图形有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc16696 \h 4
\l "_Tc5375" 【题型4 与抛物线有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc5375 \h 6
\l "_Tc20757" 【题型5 利用轴对称求最值】 PAGEREF _Tc20757 \h 7
\l "_Tc29892" 【题型6 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 PAGEREF _Tc29892 \h 9
\l "_Tc18257" 【题型7 与轴对称、平移、旋转有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc18257 \h 11
\l "_Tc1681" 【题型8 用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】 PAGEREF _Tc1681 \h 12
\l "_Tc5387" 【题型9 旋转或轴对称综合题之线段问题】 PAGEREF _Tc5387 \h 14
\l "_Tc29216" 【题型10 旋转或轴对称综合题之面积问题】 PAGEREF _Tc29216 \h 16
\l "_Tc14791" 【题型11 旋转或轴对称综合题之角度问题】 PAGEREF _Tc14791 \h 18
\l "_Tc7375" 【题型12 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 PAGEREF _Tc7375 \h 20
【知识点 轴对称、平移、旋转】
1.平移
(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2.轴对称
(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x， y）；
3.旋转
(1)旋转
定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。
(2)中心对称
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
(3)中心对称图形
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
(4)关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
【题型1 轴对称图形、中心对称图形的识别】
【例1】（2023·广东东莞·一模）如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·安徽合肥·校考一模）如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合，则下列说法正确的是（ ）
A．这个图形一定是中心对称图形．
B．这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
C．这个图形旋转216度后能与它本身重合．
D．这个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
【变式1-2】2023·福建泉州·统考模拟预测）如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
【变式1-3】（2023·山东青岛·统考三模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】
【例2】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=42，点D的坐标是45,0，tan∠BDO=13，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为（ ）
A．25,1255B．35,655C．1655,25D．1655,855
【变式2-1】（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A-1，4的对应点C1，2，则点B2，1的对应点D的坐标为（ ）
A．4，-1B．0，3C．4，1D．-4，1
【变式2-2】（2023·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，已知A2，1，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．-1，2B．2，-1C．1，-2D．-2，1
【变式2-3】（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点Mx,y，已知x，y满足4x+3+(5y-2)2=0，则点M关于y轴对称的点N在第 象限．
【题型3 与几何图形有关的折叠问题】
【例3】（2023·广西南宁·校考二模）如图，已知平行四边形纸片ABCDAD>AB，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上，连接BF，若AE=4,BF=8，则四边形ABEF的面积为（ ）
A．64B．48C．32D．16
【变式3-1】（2023·河南·统考中考模拟）将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF，已知AB=AC=3，BC=4．若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 ．
【变式3-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，AC，AE，沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．323cm2B．83cm2C．8πcm2D．(433+3π)cm2
【变式3-3】（2023·河南周口·校联考模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．
(1)操作判断
操作一：如图（1），正方形纸片ABCD，点E是BC边上（点E不与点B，C重合）任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图（2）所示；
操作二：将图（2）沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图（3）所示；
操作三：将纸片展平，连接BM，如图（4）所示．
根据以上操作，回答下列问题：
①B，M，N三点 （填“在”或“不在”)一条直线上；
②AE和BN的位置关系是 ，数量关系是 ；
③如图（5），连接AN，改变点E在BC上的位置， （填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．
(2)迁移探究
苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请完成下列探究：
①当点N在CD上时，如图（6），BE和CN有何数量关系？并说明理由；
②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．
【题型4 与抛物线有关的折叠问题】
【例4】（2023·广西贵港·统考三模）抛物线y=-12x2+32x+c与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D3，2为抛物线上一点，且直线CD∥x轴，点M是抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．
(2)若点E的纵坐标为0，且以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．
(3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N'，则是否存在点M，使点N'则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．
【变式4-1】（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
【变式4-2】（2023·山西临汾·统考一模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2-32x-4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将△ABC沿BC所在的直线折叠，得到△DBC，点A的对应点为D．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)求直线BD的函数表达式．
(3)在抛物线上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·统考一模）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1:y=x2+bx+c经过点A1,0和点B(3,0)，与y轴交于点C，经过点A的直线l与y轴的负半轴交于点D，与抛物线F1交于点E，且OD=OA．
(1)求抛物线F1的解析式；
(2)如图②，点P是抛物线F1上位于x轴下方的一动点，连接CP、EP，CP与直线l交于点Q，设△EPQ和△ECQ的面积为S1和S2，求S1S2的最大值；
(3)如图③，将抛物线F1沿直线x=m翻折得到抛物线F2，且直线l与抛物线F2有且只有一个交点，求m的值．
【题型5 利用轴对称求最值】
【例5】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．23B．3C．32D．42
【变式5-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边△ABC中，AB=6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE=2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF-PE的最大值为 ．
【变式5-2】（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，菱形ABCD的边长为10，tanA=43，点M为边AD上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线BM的对称点为点A'，点N为线段CA'的中点，连接DN，则线段DN长度的最小值是 ．
【变式5-3】（2023·浙江·统考二模）如图，在正方形ABCD中，点E为边BC上一个动点，作点B关于AE的对称点B'，连接并延长DB'，交AE延长线于点F，连接BB'，BF．
(1)求证：BF=B'F．
(2)求∠BB'D的度数．
(3)若AB=2，在点E的运动过程中，求点F到BC距离的最大值．
【题型6 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】
【例6】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B(-2,0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF长度的最小值为 ．
【变式6-1】（2023·山西朔州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是 ．
【变式6-2】（2023·江苏南通·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=3．E为边AB上一动点，连接DE．作AF⊥DE交矩形ABCD的边于点F，垂足为G．
(1)求证：∠AFB=∠DEA；
(2)若CF=1，求AE的长；
(3)点O为矩形ABCD的对称中心，探究OG的取值范围．
【变式6-3】（2023·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，动点P从点B出发，在线段BC上以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接AP．将△APB沿直线AP翻折得到△APB'．
(1)求BC的长；
(2)当四边形ABPB'为中心对称图形时，求t的值；
(3)当点B'在BC下方时，连接BB'、CB'，求此时△CBB'面积的最大值；
(4)当直线AB'与△ABC一边垂直时，直接写出t的值．
【题型7 与轴对称、平移、旋转有关的规律探究问题】
【例7】（2023·河南商丘·统考三模）如图，平面直角坐标系中，A(1，1)，B(0，3)，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD．第一次操作：将正方形ABCD绕点O顺时针旋转90°得到正方形A1B1C1D1；第二次操作：将正方形A1B1C1D1绕点O顺时针旋转90°得到正方形A2B2C2D2 ……则第2023次操作得到正方形A2023B2023C2023D2023中，点C2023的坐标为( )
A．(-2，4)B．(-4，2)C．(4，-2)D．(2，-4)
【变式7-1】（2023·重庆南岸·二模）如图，Rt△A1B1C1的斜边A1B1在直线y=3x-3上，点B1在x轴上，C1点坐标为2,0．先将△A1B1C1沿较长直角边A1C1翻折得到△A1B2C1，再将△A1B2C1沿斜边A1B2翻折得到△A1B2C2，再将△A1B2C2沿较短直角边B2C2翻折得到△A2B2C2；…；按此规律，点A11的坐标为（ ）
A．15,53B．15,63C．17,53D．17,63
【变式7-2】（2023·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象为直线l，作点A11,0关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（ ）
A．1007,1008B．1008,1006C．1006,1008D．1008,1007
【变式7-3】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为(-1,1)，第1次将菱形OABC绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1=2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2 =2OB1），第3次将菱形OA2B2C2绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA3B3C3（即OB3=2OB2）…依次类推，则点B2025的坐标为（ ）
A．22025,22025B．2507,2507C．-22005,22025D．-22025,-22025
【题型8 用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】
【例8】（2023·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将（1）中的△A1B1C1以A1C1为轴进行翻折得到△A1B2C1，画出△A1B2C1．
【变式8-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为Aa,1，B3,3，C4,-1；△ABC经过平移得到△A'B'C'，其各顶点坐标分别为A'-5,-3，B'-3,b，C'-2,-5．
(1)观察各对应点坐标的变化并填空：a的值为______，b的值为______；
(2)画出△ABC及将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点C的对应点为点E，写出点E的坐标．
【变式8-2】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图是6×6的正方形网格，线段AB的端点A,B都在格点（网格线的交点）上．
(1)将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到对应线段AB1，画出线段AB1；
(2)请仅用无刻度的直尺过点B作一条直线l，使得点A,B1到l的距离相等．
【变式8-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)连接C1C2，请直接写出C1C2的长为___________．
【题型9 旋转或轴对称综合题之线段问题】
【例9】（2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：
①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若AD=m，求P，P3两点间的距离．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．
【变式9-1】（2023·河南周口·校联考二模）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、BD．根据条件填空：
①∠ACE的度数为 ；
②若CE=2，则CA的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF=45°，BE=1，DF=2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD=CB，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，且满足AC=32CD，若AD=3，AB=4，请直接写出BD的值．
【变式9-2】（2023·北京房山·统考二模）如图，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BA延长线上一点，连接DC，点E和点B关于直线DC对称，连接BE交AC于点F，连接EC,ED,DF．
(1)依题意补全图形，并求∠DEC的度数；
(2)用等式表示线段EC,ED和CF之间的数量关系，并证明．
【变式9-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）综合与实践——探究图形旋转中的问题，问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个菱形为对象，研究相似菱形旋转中的数学问题．已知菱形ABCD∽菱形A'B'C'D'，它们各自对角线的交点重合于点O，且AB=8，A'B'=2，∠B=∠B'=60°，
观察发现：（1）如图1，若A'B'∥AB，连接AA'，DD'，则AA'与DD'的数量关系是 ；
操作探究：（2）保持图1中的菱形ABCD不动，将菱形A'B'C'D'从图1的位置开始绕点O顺时针旋转，设旋转角为α．
①当0°<α<90°时，得到图2．此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②小颖发现，在菱形A'B'C'D'绕点O顺时针旋转到图3位置时，连接CC'，AC'，A'C判断四边形AA'CC'的形状，并说明理由；
③当菱形A'B'C'D'绕点O旋转至A，A'，D'三点共线时，直接写出此时线段AA'的长．
【题型10 旋转或轴对称综合题之 \l "_Tc158497740" 面积问题】
【例10】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，将不是矩形的▱ABCD绕点A旋转得到▱AB'C'D'．
(1)当点B'落在边BC上，且B'C'与边CD相交于点E时，
①点D____C'D'上(填“在”或“不在”)；
②如果点B'、E分别为边BC、CD的中点，求ABBC的值；
(2)当点B'落在对角线AC上，且B'C'经过边AD的中点M时，设ABBC=x，S△AB'MS▱ABCD=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
【变式10-1】（2023·吉林松原·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作∠BPD=120°，边PD交折线AC-CB于点D，作点A关于直线PD的对称点为E，连接ED、EP得到△PDE，设点P的运动时间为t（秒）．
(1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点E落在边BC上时，求t的值；
(3)设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4)设M为AB的中点，N为ED的中点，连接MN，当MN⊥AC时，直接写出t的值．
【变式10-2】（2023·四川成都·模拟预测）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，旋转角为α，连接CD．
(1)①若α=60°，则∠CDA= °；
②若0<α<90°，求∠CDA的度数．
(2)如图2，当0<α<90°时，过点B作BE⊥AD于点E，CD与BE相交于点F，请探究线段CF与线段BE之间的数量关系；
(3)当0<α<360°时，作点A关于CD所在直线的对称点A'，当点A'在线段BC所在的直线上时，求△AA'D的面积．
【变式10-3】（2023·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________；
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），
（参考数据：sin15°=6-24,cs15°=6+24,tan15°=2-3）
【题型11 旋转或轴对称综合题之角度问题】
【例11】（2023·贵州六盘水·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为边AB上异于A，B的一个动点，作点A关于CP的对称点A'，连接A'P，A'C，交直线AB于点Q．
(1)若AC=8，BC=6，CE是边AB上的高线．
①求线段CE的长；
②当∠PQA'=90°时，求线段A'Q的长；
(2)在∠A=35°的情况下，当△A'PQ是等腰三角形时，直接写出∠ACA'的度数．
【变式11-1】（2023·广东广州·二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ0<θ<90°，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．随若θ的变化而变化
【变式11-2】（2023·福建泉州·一模）如图1，已知△ABC的内角∠ACB的平分线CD与它的一个外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．
(1)求证：∠B=2∠D；
(2)若作点D关于AC所在直线的对称点D'，并连接AD'、CD'．
①如图2，当∠BAC=90∘时，求证：AD⊥AD'；
②如图3，当AC=BC时，试探究∠DAD'与∠D之间的数量关系，并说明理由．
【变式11-3】（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是_________，MN与AC的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
（1）求∠BCF的度数；
（2）求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．
【题型12 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例12】（2023·吉林·统考一模）图①、图②和图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形边长均为1．按要求分别在图①、图②和图③中画图：
(1)在图①中画等腰△ABC，使其面积为3，并且点C在小正方形的顶点上；
(2)在图②中画四边形ABDE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D，E两点都在小正方形的顶点上；
(3)在图③中画四边形ABFG，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F，G两点都在小正方形的顶点上；
【变式12-1】（2023·河南商丘·一模）图①、图②均为6×5的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．
【变式12-2】（2023·广东梅州·一模）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【变式12-3】（2023·广东梅州·一模）（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；
（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：
①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；
②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；
③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14099" 【题型1 轴对称图形、中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc14099 \h 1
\l "_Tc17515" 【题型2 与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】 PAGEREF _Tc17515 \h 3
\l "_Tc16696" 【题型3 与几何图形有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc16696 \h 4
\l "_Tc5375" 【题型4 与抛物线有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc5375 \h 6
\l "_Tc20757" 【题型5 利用轴对称求最值】 PAGEREF _Tc20757 \h 7
\l "_Tc29892" 【题型6 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 PAGEREF _Tc29892 \h 9
\l "_Tc18257" 【题型7 与轴对称、平移、旋转有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc18257 \h 11
\l "_Tc1681" 【题型8 用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】 PAGEREF _Tc1681 \h 12
\l "_Tc5387" 【题型9 旋转或轴对称综合题之线段问题】 PAGEREF _Tc5387 \h 14
\l "_Tc29216" 【题型10 旋转或轴对称综合题之面积问题】 PAGEREF _Tc29216 \h 16
\l "_Tc14791" 【题型11 旋转或轴对称综合题之角度问题】 PAGEREF _Tc14791 \h 18
\l "_Tc7375" 【题型12 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 PAGEREF _Tc7375 \h 20
【知识点 轴对称、平移、旋转】
1.平移
(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2.轴对称
(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x， y）；
3.旋转
(1)旋转
定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。
(2)中心对称
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
(3)中心对称图形
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
(4)关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
【题型1 轴对称图形、中心对称图形的识别】
【例1】（2023·广东东莞·一模）如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·安徽合肥·校考一模）如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合，则下列说法正确的是（ ）
A．这个图形一定是中心对称图形．
B．这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
C．这个图形旋转216度后能与它本身重合．
D．这个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
【变式1-2】2023·福建泉州·统考模拟预测）如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
【变式1-3】（2023·山东青岛·统考三模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】
【例2】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=42，点D的坐标是45,0，tan∠BDO=13，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为（ ）
A．25,1255B．35,655C．1655,25D．1655,855
【变式2-1】（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A-1，4的对应点C1，2，则点B2，1的对应点D的坐标为（ ）
A．4，-1B．0，3C．4，1D．-4，1
【变式2-2】（2023·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，已知A2，1，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．-1，2B．2，-1C．1，-2D．-2，1
【变式2-3】（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点Mx,y，已知x，y满足4x+3+(5y-2)2=0，则点M关于y轴对称的点N在第 象限．
【题型3 与几何图形有关的折叠问题】
【例3】（2023·广西南宁·校考二模）如图，已知平行四边形纸片ABCDAD>AB，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上，连接BF，若AE=4,BF=8，则四边形ABEF的面积为（ ）
A．64B．48C．32D．16
【变式3-1】（2023·河南·统考中考模拟）将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF，已知AB=AC=3，BC=4．若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 ．
【变式3-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，AC，AE，沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．323cm2B．83cm2C．8πcm2D．(433+3π)cm2
【变式3-3】（2023·河南周口·校联考模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．
(1)操作判断
操作一：如图（1），正方形纸片ABCD，点E是BC边上（点E不与点B，C重合）任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图（2）所示；
操作二：将图（2）沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图（3）所示；
操作三：将纸片展平，连接BM，如图（4）所示．
根据以上操作，回答下列问题：
①B，M，N三点 （填“在”或“不在”)一条直线上；
②AE和BN的位置关系是 ，数量关系是 ；
③如图（5），连接AN，改变点E在BC上的位置， （填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．
(2)迁移探究
苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请完成下列探究：
①当点N在CD上时，如图（6），BE和CN有何数量关系？并说明理由；
②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．
【题型4 与抛物线有关的折叠问题】
【例4】（2023·广西贵港·统考三模）抛物线y=-12x2+32x+c与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D3，2为抛物线上一点，且直线CD∥x轴，点M是抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．
(2)若点E的纵坐标为0，且以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．
(3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N'，则是否存在点M，使点N'则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．
【变式4-1】（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
【变式4-2】（2023·山西临汾·统考一模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2-32x-4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将△ABC沿BC所在的直线折叠，得到△DBC，点A的对应点为D．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)求直线BD的函数表达式．
(3)在抛物线上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·统考一模）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1:y=x2+bx+c经过点A1,0和点B(3,0)，与y轴交于点C，经过点A的直线l与y轴的负半轴交于点D，与抛物线F1交于点E，且OD=OA．
(1)求抛物线F1的解析式；
(2)如图②，点P是抛物线F1上位于x轴下方的一动点，连接CP、EP，CP与直线l交于点Q，设△EPQ和△ECQ的面积为S1和S2，求S1S2的最大值；
(3)如图③，将抛物线F1沿直线x=m翻折得到抛物线F2，且直线l与抛物线F2有且只有一个交点，求m的值．
【题型5 利用轴对称求最值】
【例5】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．23B．3C．32D．42
【变式5-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边△ABC中，AB=6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE=2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF-PE的最大值为 ．
【变式5-2】（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，菱形ABCD的边长为10，tanA=43，点M为边AD上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线BM的对称点为点A'，点N为线段CA'的中点，连接DN，则线段DN长度的最小值是 ．
【变式5-3】（2023·浙江·统考二模）如图，在正方形ABCD中，点E为边BC上一个动点，作点B关于AE的对称点B'，连接并延长DB'，交AE延长线于点F，连接BB'，BF．
(1)求证：BF=B'F．
(2)求∠BB'D的度数．
(3)若AB=2，在点E的运动过程中，求点F到BC距离的最大值．
【题型6 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】
【例6】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B(-2,0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF长度的最小值为 ．
【变式6-1】（2023·山西朔州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是 ．
【变式6-2】（2023·江苏南通·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=3．E为边AB上一动点，连接DE．作AF⊥DE交矩形ABCD的边于点F，垂足为G．
(1)求证：∠AFB=∠DEA；
(2)若CF=1，求AE的长；
(3)点O为矩形ABCD的对称中心，探究OG的取值范围．
【变式6-3】（2023·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，动点P从点B出发，在线段BC上以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接AP．将△APB沿直线AP翻折得到△APB'．
(1)求BC的长；
(2)当四边形ABPB'为中心对称图形时，求t的值；
(3)当点B'在BC下方时，连接BB'、CB'，求此时△CBB'面积的最大值；
(4)当直线AB'与△ABC一边垂直时，直接写出t的值．
【题型7 与轴对称、平移、旋转有关的规律探究问题】
【例7】（2023·河南商丘·统考三模）如图，平面直角坐标系中，A(1，1)，B(0，3)，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD．第一次操作：将正方形ABCD绕点O顺时针旋转90°得到正方形A1B1C1D1；第二次操作：将正方形A1B1C1D1绕点O顺时针旋转90°得到正方形A2B2C2D2 ……则第2023次操作得到正方形A2023B2023C2023D2023中，点C2023的坐标为( )
A．(-2，4)B．(-4，2)C．(4，-2)D．(2，-4)
【变式7-1】（2023·重庆南岸·二模）如图，Rt△A1B1C1的斜边A1B1在直线y=3x-3上，点B1在x轴上，C1点坐标为2,0．先将△A1B1C1沿较长直角边A1C1翻折得到△A1B2C1，再将△A1B2C1沿斜边A1B2翻折得到△A1B2C2，再将△A1B2C2沿较短直角边B2C2翻折得到△A2B2C2；…；按此规律，点A11的坐标为（ ）
A．15,53B．15,63C．17,53D．17,63
【变式7-2】（2023·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象为直线l，作点A11,0关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（ ）
A．1007,1008B．1008,1006C．1006,1008D．1008,1007
【变式7-3】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为(-1,1)，第1次将菱形OABC绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1=2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2 =2OB1），第3次将菱形OA2B2C2绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA3B3C3（即OB3=2OB2）…依次类推，则点B2025的坐标为（ ）
A．22025,22025B．2507,2507C．-22005,22025D．-22025,-22025
【题型8 用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】
【例8】（2023·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将（1）中的△A1B1C1以A1C1为轴进行翻折得到△A1B2C1，画出△A1B2C1．
【变式8-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为Aa,1，B3,3，C4,-1；△ABC经过平移得到△A'B'C'，其各顶点坐标分别为A'-5,-3，B'-3,b，C'-2,-5．
(1)观察各对应点坐标的变化并填空：a的值为______，b的值为______；
(2)画出△ABC及将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点C的对应点为点E，写出点E的坐标．
【变式8-2】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图是6×6的正方形网格，线段AB的端点A,B都在格点（网格线的交点）上．
(1)将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到对应线段AB1，画出线段AB1；
(2)请仅用无刻度的直尺过点B作一条直线l，使得点A,B1到l的距离相等．
【变式8-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)连接C1C2，请直接写出C1C2的长为___________．
【题型9 旋转或轴对称综合题之线段问题】
【例9】（2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：
①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若AD=m，求P，P3两点间的距离．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．
【变式9-1】（2023·河南周口·校联考二模）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、BD．根据条件填空：
①∠ACE的度数为 ；
②若CE=2，则CA的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF=45°，BE=1，DF=2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD=CB，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，且满足AC=32CD，若AD=3，AB=4，请直接写出BD的值．
【变式9-2】（2023·北京房山·统考二模）如图，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BA延长线上一点，连接DC，点E和点B关于直线DC对称，连接BE交AC于点F，连接EC,ED,DF．
(1)依题意补全图形，并求∠DEC的度数；
(2)用等式表示线段EC,ED和CF之间的数量关系，并证明．
【变式9-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）综合与实践——探究图形旋转中的问题，问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个菱形为对象，研究相似菱形旋转中的数学问题．已知菱形ABCD∽菱形A'B'C'D'，它们各自对角线的交点重合于点O，且AB=8，A'B'=2，∠B=∠B'=60°，
观察发现：（1）如图1，若A'B'∥AB，连接AA'，DD'，则AA'与DD'的数量关系是 ；
操作探究：（2）保持图1中的菱形ABCD不动，将菱形A'B'C'D'从图1的位置开始绕点O顺时针旋转，设旋转角为α．
①当0°<α<90°时，得到图2．此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②小颖发现，在菱形A'B'C'D'绕点O顺时针旋转到图3位置时，连接CC'，AC'，A'C判断四边形AA'CC'的形状，并说明理由；
③当菱形A'B'C'D'绕点O旋转至A，A'，D'三点共线时，直接写出此时线段AA'的长．
【题型10 旋转或轴对称综合题之 \l "_Tc158497740" 面积问题】
【例10】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，将不是矩形的▱ABCD绕点A旋转得到▱AB'C'D'．
(1)当点B'落在边BC上，且B'C'与边CD相交于点E时，
①点D____C'D'上(填“在”或“不在”)；
②如果点B'、E分别为边BC、CD的中点，求ABBC的值；
(2)当点B'落在对角线AC上，且B'C'经过边AD的中点M时，设ABBC=x，S△AB'MS▱ABCD=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
【变式10-1】（2023·吉林松原·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作∠BPD=120°，边PD交折线AC-CB于点D，作点A关于直线PD的对称点为E，连接ED、EP得到△PDE，设点P的运动时间为t（秒）．
(1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点E落在边BC上时，求t的值；
(3)设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4)设M为AB的中点，N为ED的中点，连接MN，当MN⊥AC时，直接写出t的值．
【变式10-2】（2023·四川成都·模拟预测）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，旋转角为α，连接CD．
(1)①若α=60°，则∠CDA= °；
②若0<α<90°，求∠CDA的度数．
(2)如图2，当0<α<90°时，过点B作BE⊥AD于点E，CD与BE相交于点F，请探究线段CF与线段BE之间的数量关系；
(3)当0<α<360°时，作点A关于CD所在直线的对称点A'，当点A'在线段BC所在的直线上时，求△AA'D的面积．
【变式10-3】（2023·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________；
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），
（参考数据：sin15°=6-24,cs15°=6+24,tan15°=2-3）
【题型11 旋转或轴对称综合题之角度问题】
【例11】（2023·贵州六盘水·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为边AB上异于A，B的一个动点，作点A关于CP的对称点A'，连接A'P，A'C，交直线AB于点Q．
(1)若AC=8，BC=6，CE是边AB上的高线．
①求线段CE的长；
②当∠PQA'=90°时，求线段A'Q的长；
(2)在∠A=35°的情况下，当△A'PQ是等腰三角形时，直接写出∠ACA'的度数．
【变式11-1】（2023·广东广州·二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ0<θ<90°，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．随若θ的变化而变化
【变式11-2】（2023·福建泉州·一模）如图1，已知△ABC的内角∠ACB的平分线CD与它的一个外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．
(1)求证：∠B=2∠D；
(2)若作点D关于AC所在直线的对称点D'，并连接AD'、CD'．
①如图2，当∠BAC=90∘时，求证：AD⊥AD'；
②如图3，当AC=BC时，试探究∠DAD'与∠D之间的数量关系，并说明理由．
【变式11-3】（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是_________，MN与AC的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
（1）求∠BCF的度数；
（2）求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．
【题型12 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例12】（2023·吉林·统考一模）图①、图②和图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形边长均为1．按要求分别在图①、图②和图③中画图：
(1)在图①中画等腰△ABC，使其面积为3，并且点C在小正方形的顶点上；
(2)在图②中画四边形ABDE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D，E两点都在小正方形的顶点上；
(3)在图③中画四边形ABFG，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F，G两点都在小正方形的顶点上；
【变式12-1】（2023·河南商丘·一模）图①、图②均为6×5的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．
【变式12-2】（2023·广东梅州·一模）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【变式12-3】（2023·广东梅州·一模）（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；
（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：
①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；
②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；
③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．
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