2025年中考数学二轮培优练习专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc160741717" 题型01 数与式的混合运算
\l "_Tc160741718" 题型02 科学记数法
\l "_Tc160741719" 题型03 整式与分式的化简求值
\l "_Tc160741720" 题型04 因式分解的运算及应用
\l "_Tc160741721" 题型05 比较大小
\l "_Tc160741722" 题型06 解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程）
\l "_Tc160741723" 题型07 解不等式（组）
\l "_Tc160741724" 题型08 根据分式方程解的情况求值
\l "_Tc160741725" 题型09 根据判别式判断一元二次方程根的情况
\l "_Tc160741726" 题型10 根据一元二次根的情况求参数
\l "_Tc160741727" 题型11 一元二次方程根与系数的关系
\l "_Tc160741728" 题型12 根的判别式和根与系数关系综合
\l "_Tc160741729" 题型13 特殊解及含参不等式（组）问题
题型01 数与式的混合运算
1．（2022·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．(-7)2=-7B．6÷23=9C．2a+2b=2abD．2a⋅3b=5ab
2．（2023·北京石景山·校考一模）计算：-12019+-12-2-2-12+4sin60°．
3．（2023·广东肇庆·统考三模）计算：13-2+-π0-3-64-3-2．
4．（2022·重庆·统考中考真题）计算：
(1)x+22+xx-4；
(2)ab-1÷a2-b22b．
题型02 科学记数法
5．（2023·安徽·模拟预测）安徽省统计局网发布消息称，2022年前三季度，全省农林牧渔业总产值约3806亿元．其中3806亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.806×103B．3806×108C．3.806×1011D．3.806×1012
6．（2023·河南濮阳·统考三模）2023年“五一”假期，河南省共接待游客55180000人次，与2019年同比增长21.3%，将数据“55180000”用科学记数法表示为5.518×10n，则n的值为（ ）
A．3B．4C．7D．8
7．（2023·山西临汾·统考一模）原子是化学变化中的 最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“千克”．例如：1个氧原子的质量是2.657×10-26kg．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为2.657×10-26，则这个小数中“0”的个数为（ ）
A．25个B．26个C．27个D．28个
8．（2023·江苏盐城·校联考二模）化学元素钉Ru是除铁 Fe、钻C和镍NIi以外，在室温下具有独特磁性的第四个元 素．钉Ru的原子半径约0.000000000189m．将0.000000000189用科学记数法表示为 ．
题型03 整式与分式的化简求值
9．（2023·陕西西安·校考二模）先化简，再求值：x+2yx-2y+x+2y2-2xy÷2x，其中x=5，y=-8．
10．（2023·湖南长沙·湖南师大附中博才实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：(a+2b)2+a+2ba-2b-2a⋅a，其中a=-1，b=12.
11．（2023·江苏扬州·校考二模）已知a、b满足a2+b2-10+a-b-22=0．
(1)求ab的值；
(2)先化简，再求值：(2a-b)2-(a+2b)(a-b)．
12．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值：xx2-1÷1-1x+1，其中x=2sin45°+2tan45°
13．（2023·广东东莞·统考二模）先化简，再求值：a-2a2-1÷a-1-2a-1a+1，其中a=3．
题型04 因式分解的运算及应用
14．（2023·安徽·模拟预测）下列分解因式错误的是（ ）
A．x2-2x+1=(x-1)2B．xx-y-yx-y=(x-y)2
C．x2-9=x+3x-3D．-x2-xy=-xx-y
15．（2023·广东佛山·佛山市南海区里水镇里水初级中学校考三模）分解因式2x3-8x= ．
16．（2023·江苏南通·统考二模）若4a2-b2=12，2a-b=4，则2a+b= ．
17．（2023·浙江·模拟预测）已知实数x=111-12，求2x5+2x4-53x3-57x+542017的值．
18．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足ab-ac=b2-bc，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
19．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）阅读以下解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
错解：∵a2c2-b2c2=a4-b4 ……①
∴c2a2-b2=a2-b2a2+b2 ……②
∴c2=a2+b2 ……③
∴ △ABC是直角三角形 ……④
上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ，错误的原因是 ．
题型05 比较大小
20．（2023·湖南湘西·模拟预测）比较大小：17-1 13（选填“＞”“＜”或“＝”）．
21．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较2+1与5的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较2+3与17的大小，以下数形结合正确的是（ ）

A． B． C． D.
22．（2023·河北廊坊·校考一模）如图是嘉嘉和淇淇比较2+3与2+3的过程，下列关于两人的思路判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇错B．嘉嘉错，淇淇对C．两人都对D．两人都错
23．（2023·安徽·校联考模拟预测）比较大小：45 54；若正数x，y满足3x=5y，则3x-5y 0.
题型06 解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程）
24．（2023·北京石景山·校考一模）用配方法解方程x2+23x+1=0时，正确的是（ ）
A．x+132=89,x=-13±223B．x+132=-89原方程无解
C．x+232=59,x=-23±53D．x+232=-59原方程无解
25．（2023·广东河源·一模）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是( )
A．(x-2)(x+5)=2B．2x2-x=0
C．x2+5x-2=0D．12(2-x)2=3
26．（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；
(3)该方程正确的解为____________
27．（2023·浙江·模拟预测）已知xy+x+y+7=03x+3y=9+2xy，求x2y+xy2的值．
28．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
填空：
①以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
③小彬同学的解题过程从第 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
29．（2023·安徽·模拟预测）解方程：2x-3x-2-12-x=4．
30．（2023·安徽六安·统考一模）解方程：x-1x+1-1=6x2-1．
31．（2023·四川广安·统考一模）定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c=0a≠0的两个整数根，且满足x1-x2=1，则称此类方程为“自然方程”．例如：x-1x-2=0是“自然方程”．现给出下面两个方程，请通过计算说明这两个方程是否是自然方程．
(1)x2+3x-2=0；
(2)xx+1+2x+1=0．
题型07 解不等式（组）
32．（2023·广东·模拟预测）不等式组2x-4≥0,1-x3<1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
33．（2023·广东茂名·统考二模）已知点M1-2m，m-1在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
34．（2023·安徽·模拟预测）不等式x-12-1>0的解集是 ．
35．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）解不等式组：5x-3<2x7x+32>3x，并写出它的所有整数解．
题型08 根据分式方程解的情况求值
36．（2023·四川成都·统考模拟预测）若分式方程m-1x-2-xx-2=0有增根，则m的值是（ ）
A．3B．2C．1D．-1
37．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）若关于x的分式方程1x-2+a2-x=2a无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．-1或0D．0或1
38．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）若关于x的分式方程2x-mx+1=3的解是负数，则字母m的取值范围是 ．
39．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4kx的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
题型09 根据判别式判断一元二次方程根的情况
40．（2023·河南濮阳·统考三模）已知m为任意实数，则一元二次方程x2-mx-14=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
41．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）若k>2，则关于x的方程x2-2k x+k2-k+1=0的实数根的个数为 ．
42．（2023·安徽六安·校考二模）关于x的方程x2-3x+c=0有两个不相等的实数根，则c的最大整数值是 ．
43．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）已知关于x的方程mx2-m+3x+3=0m≠0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
题型10 根据一元二次根的情况求参数
44．（2023·安徽·模拟预测）若关于x的一元二次方程xx-2+m=1有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
45．（2023·江苏泰州·统考二模）若关于x的一元二次方程x2-2x+m-3=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
46．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于x的方程x2-2m+2x+m2+4=0．
(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)设x1、x2是方程的两根，且x1+x22-2x1+x2-24=0，求m的值．
47．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2．
(1)求实数m的取值范围；
(2)满足x1x2+x1+x2=m2+6，求m的值．
题型11 一元二次方程根与系数的关系
48．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2-ax-3=0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
49．（2023·广东阳江·三模）已知 x1，x2是一元二次方程x2-x-2=0的两个根，则1x1+1x2的值是（ ）
A．1B．12C．-1D．-12
50．（2023·广东河源·统考二模）已知x1，x2是一元二次方程4x2-5x-3=0的两个实数根，则x1+2x2+2的值为（ ）
A．234B．4C．264D．134
51．（2023·江苏盐城·校考二模）已知x1、x2是关于x的方程x2-2x-1=0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．x1=x2B．x12-2x1=x22-2x2
C．x1+x2=-2D．x1⋅x2=1
52．（2023·安徽·校联考模拟预测）若m，n是一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根，则m2-2m+n的值是 ．
题型12 根的判别式和根与系数关系综合
53．（2023·湖北襄阳·统考二模）关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长恰好是此方程的两个实数根，斜边AB=6，求Rt△ABC的周长．
54．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1，x2两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，满足x1-1x2-1=-6m-7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
55．（2023·广东广州·统考模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则有： x1+x2=-ba， x1x2=ca．某班学完该内容后，王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设k=3，方程x2-3x+k=0的两个实数根是x1、x2，求x2x1+x1x2的值．
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵k=3，∴已知方程是x2-3x+k=0，
又∵x1+x2=3，x1x2=3，
∴x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2=32-2×33=1，
∴x2x1+x1x2=1．
(1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由．
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求x2x1+x1x2的值．
56．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m=4时，设方程的根为x1，x2，求代数式 x12+8x1+16x22-5x2+3 的值．
题型13 特殊解及含参不等式（组）问题
57．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组6x-m≥05x-n<0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对m,n共有（ ）
A．42对B．36对C．30对D．11对
58．（2023·广东深圳·校考模拟预测）若关于x的不等式组2x-3≥0x-m≤0有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤32B．m>32C．m<32D．m≥32
59．（2023·湖南邵阳·统考二模）若方程组2x+3y=a-13x+2y=6的解满足1A．00
60．（2023·广东河源·一模）若关于x的不等式组x-2a>02(x+1) >14-x 的解集是x>2a，则a的取值范围是 ．
61．（2023·重庆渝中·统考二模）关于x的分式方程ax-3=1+33-x的解为非负数，且关于y的不等式组a+3y<43y+2<-y+10的解集为y<2，则符合条件的整数a的值之和是 ．
（限时45分钟）
一、单选题
1．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）中国气象局3月10日公布的《2022年中国天然氧吧评价公报》显示，中国天然氧吧地区总面积已超90万平方公里，约占中国国土总面积的9.5%，将90万用科学记数法表示为（ ）
A．0.9×106B．9×105C．9×104D．90×103
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）与364÷4结果不相同的是( )
A．2×2-1B．42×43×4-5C．16÷2D．30
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以AB为边作正方形ABCD．若点A表示的数为1，正方形ABCD面积为7，则B，E两点之间的距离是（ ）

A．7+2B．7-2C．7+1D．7-1
4．（2023·河北保定·校考模拟预测）若92×92×⋯×92m个=3×3×⋯×3100个，则m的值为（ ）
A．100B．50C．25D．4
5．（2023·河北石家庄·校联考二模）如下是嘉淇计算某道题的过程，下列选项中结论不正确的是（ ）
2x+x2-2(3x-2)
=2x+x2-6x+4•••••第一步
=x2+2x-6x+4•••••第二步
=x2-4x+4•••••••••第三步
=x-22••••••••••第四步
A．第一步用到了去括号法则B．第二步用到了加法交换律
C．第三步用到了减法结合律D．第四步用到了完全平方公式
6．（2023·广东梅州·统考一模）已知实数a，b满足a-4+b2-4b+4=0，则有关x的不等式组ax≤bbx>a的解集为（ ）
A．x≤12B．x>2C．12≤x≤2D．无解
7．（2023·广东江门·统考二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A．x-32=4B．x2=xC．x2+2x+1=0D．x2-16=0
8．（2023·河北石家庄·统考一模）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是（ ）
A．B-A的最大值是0B．B-A的最小值是-1
C．当B=2A时，x为正数D．当B=2A时，x为负数
二、填空题
9．（2023·河北唐山·统考二模）已知b4=b×8b≠0，则b= ，b的倒数为 ．
10．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）已知x+y=2，x+3y=4，则代数式x2+4xy+4y2的值为 ．
11．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的不等式组x-a≤09-2x<2恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是 ．
12．（2023·四川成都·模拟预测）因式分解：4x2y-y3= ．
13．（2023·浙江·模拟预测）化简：11+62+11-62= ．
三、解答题
14．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）（1）计算：18--13-2--32-1-20；
（2）下面是王亮同学解方程3x-2+5x+2=8x2-4的过程，请阅读并完成相应任务．
任务一：
①以上求解过程中，第一步的依据是______；
②王亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，整个解答过程．
从前一步到后一步的变形共出现______处错误：
③分式方程检验的目的是______．
任务二：请你直接写出这个方程的正确解______．
15．（2023·广西贵港·统考二模）先化简，再求值：3m-15mm+3÷m-2m2+6m+9，其中m满足m2+3m-6=0．
16．（2023·河南南阳·统考二模）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)填空：x1+x2=______，x1⋅x2=______．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，
当b2-4ac≥0时，有两个实数根x1=______，x2=______．
……
(3)已知关于x的方程2x2+3mx+m2=0的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出m的值．
解方程：2x+13-5x-16=1
解：去分母，得22x+1-5x-1=1……第一步
去括号，得4x+2-5x+1=1……第二步
移项，得4x-5x=1-1-2……第三步
合并同类项，得-x=-2，……第四步
方程两边同除以－1，得x=2．……第五步
x-2y=1①3x+y=-2②解方程组：
解：①×3，得3x-6y=3．③…第一步
②-③，得-5y=-5．…第二步
y=1．…第三步
y=1代入①，得x=3．…第四步
所以，原方程组的解为x=3y=1．…第五步
解：方程两边同乘以x2-4，得
3x+2+5x-2=8 第一步
3x+6+5x-2=8． 第二步
2x=8-6+2 第三步
x=6 第四步
经检验：x=6是原方程的解． 第五步
∴原方程的解是x=6 第六步
一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根分别记为x1，x2，则有恒等式ax2+bx+c=ax-x1x-x2，即ax2+bx+c=ax2-ax1+x2x+ax1x2．比较两边系数可得：x1+x2=______，x1⋅x2=______．