北京市首都师范大学附属育新学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷版）

这是一份北京市首都师范大学附属育新学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷版），共5页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
2. 下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）
A. 两两垂直B.
C. D.
3. 在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（ ）
A B. 10C. D.
5. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
6. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
7. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A B. C. D.
9. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得到点的距离为3
C. 在上存在点，使得
D. 上的点到直线的最小距离为1
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为.则该圆锥的体积为________.
12. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________.
13. 过两条直线与交点，倾斜角为的直线方程为____________ （用一般式表示）
14. 已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米， 则车辆的最大高度为______________米．
15. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）
①正方体的外接球表面积为；②异面直线与所成角的取值范围是；③直线平面；④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
三、解答题（共85分）
16. 已知顶点、、．
（1）求线段的中点及其所在直线的斜率；
（2）求线段的垂直平分线的方程；
（3）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
17. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
18. 已知圆，直线过点.
（1）求圆的圆心坐标及半径长；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程；
（3）设直线与圆相切于点，求AB.
19. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则
（1）①点，，求的值．
②求圆心在原点，半径为1“曼哈顿单位圆”方程．
（2）已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
（3）设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．