北京市第五十中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份北京市第五十中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了本试卷分为试题、答题卡两部分，认真填写所在班级、姓名、学号， 已知函数则等于， 不等式的解集为， 已知p， 已知，则函数的解析式为等内容，欢迎下载使用。

考生须知
1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分.考试时间120分钟.
2.认真填写所在班级、姓名、学号.
3.请用2B铅笔填涂机读卡，用黑色签字笔在二卷上按要求作答.
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
详解】由于，故，
故选：D
2. 已知，则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的性质可判断A，由特值法可判断BCD.
【详解】由，则，A正确；
当时，，故B错误；
当时，，
，则，故C错误；
，则，故D错误.
故选：A.
3. 命题“，都有”的否定是（ ）
A. ，都有B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，都有”的否定是“，使得”.
故选：B.
4. 已知函数则等于（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可.
【详解】因为函数
所以，
所以，
故选：D
5. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式不等式等价于，即可求解.
【详解】由可得，
故等价于，解得，
故选：C
6. 下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单调性的定义知函数在在上为减函数，然后逐项分析即可.
【详解】根据题意，“对任意的，使得”，
则函数在上为减函数.
对于选项A，为二次函数，其开口向下且对称轴为，
所以在上递减，符合题意；
对于选项B，，因为在上递增，在上递增，
所以由单调性的性质知，在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，在上单调递增，不符合题意.
故选：A.
7. 已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断出的真子集，得到答案.
【详解】因为是的真子集，故是p的一个充分不必要条件，C正确；
ABD选项均不是的真子集，均不合要求.
故选：C
8. 函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】由在上是增函数， 为偶函数，可知在上是减函数，进而可比较函数值的大小.
【详解】∵在上是增函数，
∴在上是增函数，
由函数是偶函数，知：在上是减函数，
而，由，
∴.
故选：B
9. 已知，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解．
【详解】设，则，
所以，
所以，
故选：D．
10. 已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由是函数的最小值，结合二次函数的性质知在，上单调递减，从而可得，再由分段函数的性质知，从而求实数的取值范围．
【详解】解：是函数的最小值，
在，上单调递减，
，
当时，在处有最小值，
即，
故，
即，
解得，，
综上所述，，
故实数的取值范围是，，
故选：．
二、填空题（本题共6小题，共30分）
11. 已知集合，用列举法表示_________.
【答案】##
【解析】
【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合.
【详解】解：解方程得，
所以列举法表示集合为，
故答案为：
12. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由即可求出.
【详解】由，解得且，
所以的定义域为.
故答案为：.
13. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.
【详解】函数图象开口向上，对称轴为，
由函数在区间上单调递增，得，解得，
所以a的取值范围是
故答案为：
14. 已知正数满足，则的最小值为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】把要求的式子变形为，利用基本不等式即可得到的最小值．
【详解】因为,
所以，
当且仅当即时，取等号．
故答案为： 9
15. 已知函数，为常数），若，则__．
【答案】
【解析】
【分析】设，可得函数为奇函数，从而可得，即得，代入条件即可得解.
【详解】根据题意，设，
有，则函数为奇函数，
则，即，
变形可得，
则有，
，则；
故答案为：5.
【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，解题的关键是设，从而与奇偶性建立联系进而得解，属于基础题.
16. 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】，
设，
，该二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，，
要想关于的不等式在区间内有解，
只需，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
三、解答题；本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，，
（1）求，；
（2）求，．
【答案】17. ，
18. ，或．
【解析】
【分析】根据交集、并集、补集的定义一次计算即可.
【小问1详解】
利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图．
则，.
小问2详解】
依题意：
或，或，
所以，或．
18. 已知函数．
（1）写出的分段解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）结合图象，写出函数的单调区间和值域．
【答案】函数的分段解析式为;
见详解;
函数的单调递增区间为；
单调递减区间为;函数的值域为.
【解析】
【分析】去绝对值得到分段函数的解析式;
根据解析式,通过描点作图,画出函数图象;
结合图象,通过观察,写出函数的单调区间和值域;
【详解】由题意可得,当时,fx=x2-2x;当时,;
所以函数的分段解析式为;
根据中函数的解析式,通过描点作图,得到函数的图象如下:
由函数图象可知,函数的单调递增区间为；
单调递减区间为;函数的值域为.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质;函数图象的判定和作法，利用函数图象判断函数的性质;属于中档题,常考题型.
19. 已知关于的不等式.
（1）若，求不等式的解集；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
分析】（1）将代入解不等式即可；
（2）因为对应方程的两个根为，分、、三种情况解不等式即可.
【小问1详解】
由，
当时，可得解集为.
【小问2详解】
对应方程的两个根为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为或，
20. 定义在上的函数是奇函数，当时，．
（1）利用函数单调性的定义，证明：在上是单调增函数
（2）求函数的解析式．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）任取，通过判断的符号来证明单调性即可；
（2）利用可得函数解析式.
【小问1详解】
任取，
则，
，
，
，即，
在上是单调增函数；
【小问2详解】
当时，由函数是奇函数得
，，
又，
.
21. 某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）求S的最大值，并求出此时x的值．
【答案】（1），
（2）当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为．
【解析】
【分析】（1）三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积: , 根据 边长为正得其定义域为 ；
（2）利用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
由题设，得，．
【小问2详解】
因为，所以，
当且仅当时等号成立，从而．
故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为．
22. 已知函数满足，当时，，且.
（1）求值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；在上为增函数；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用赋值法求出的值，利用函数的单调性定义判断的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.
【详解】（1）令，得，得，
令，得，得；
设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以
，
因为，所以，所以，
因此
即在上为增函数；
（2）因为，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立；
得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，所以；
即时满足题意.