辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，若，，，则的形状是等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：人教B版必修第四册，三角函数，选择性必修第一册第一章~第二章2.2.1。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则=
A．B．C．D．
2．点关于平面xOy对称的点的坐标是
A．B．C．D．
3．经过点和的直线的倾斜角为
A．B．C．D．
4．已知点，，，且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为
A．B．C．D．
5．已知向量，，且平面α，平面β，若平面α与平面β的夹角的余弦值为，则实数t的值为
A．或-1B．或1C．-1或2D．
6．若，，，则的形状是
A．不等边锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
7．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC上的一点，F为CD的中点，若点E到平面的距离为1，则线段CE的长度为
A．1B．C．D．2
8．在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走akm到达C处，这时他离出发点A的距离为，那么a的值可以是
A．1B．C．D．2
10．已知向量，，则下列向量中与，共面的向量是
A．B．
C．D．
11．如图，在长方体中，，，O为的中点，E为棱上任意一点，直线OE与棱交于点F．则下列结论正确的是
A．四边形是平行四边形
B．当E为的中点时，四边形是菱形
C．四边形的周长的最小值为9
D．四棱锥的体积为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若三点，，共线，则m=______．
13．已知在长方体中，，E，F分别为，CD的中点，M为上任意一点，则异面直线EM与AF所成的角为______．
14．如图，在三棱柱中，，，，，D为的中点，E为的中点，BD和AE相交于点P，则CP=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形。，P是MC上一点，且，
（1）建立适当的坐标系并求点P的坐标；
（2）求证：．
16．（本小题满分15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A；
（2）若的外接圆的面积为，，求的面积．
17．（本小题满分15分）
如图，在长方体中．，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
如图所示，平面ABM，点M在以AB为直径的上，，．
（1）证明：平面平面PAM；
（2）求二面角的余弦值．
19．（本小题满分17分）
函数的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点，与x轴交于点B，C，M为最高点，的面积为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有，求实数k的取值范围．
建平县实验中学2024~2025学年度上学期高二期中考试·数学参考答案、提示及评分细则
1．B ，，所以，故选B．
2．B 点P关于平面xOy对称的点的坐标是，故选B．
3．D 由直线斜率为，即，解得．
4．C 由线段AC和BD共中点，AC的中点为，可得点D的坐标为，故选C．
5．B 由，，，有，解得或1．故选B．
6．A ，，，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角．所以为锐角三角形．
7．A 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，则，，，
设，则，
，，．
设为平面的一个法向量，
则，
令，得，，所以．则点E到平面的距离为，解得，所以线段CE的长度为1．
8．A 由，，有，，，则A到BC的距离为，故选A．
9．AD 由条件可知，，，，，根据余弦定理可知，即，解得：或2，故选AD．
10．AC 对于A选项，由可得，与共面，故选项A正确；
对于B选项，设，有，有，无解，可得，与不共面，故B选项错误；
对于C选项，由可得，与共面，故选项C正确；
对于D选项，设，有，有，无解，可得，与不共面，故D选项错误．故选AC．
11．ABD 对于A选项，连接AC，，因为是平行四边形，O为平行四边形的对角线的中点，可得，可得，可得四边形的对角线互相平分，所以四边形是平行四边形．故A选项正确；
对于B选项，当E为的中点时，，又由平面，所以，可得，所以四边形是菱形．故B选项正确；
对于C选项，如图，将长方形沿折到与长方形在一个平面内，因为，，可得，所以的最小值为5，可得四边形的周长的最小值为10．故C选项错误；
对于D选项，因为．故D选项正确．故选ABD．
12． 由题意，直线AB的斜率为，
直线BC的斜率为：，
因A，B，C三点共线，故，即，解得：．
13． 设，，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，．
∵，∴，∴，即异面直线EM与AF所成的角为．
14． 如图，连接DE，CE，CP，由，，可得，，可得，有，有，有，
又由，，，有
．
15．（1）解：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
易知，，，．
设，，，
∵，∴，
解得，，，故点P的坐标为．
（2）证明：由（1）知，，
∵，∴．
16．解：（1）因为，
所以，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，所以的外接圆的半径为，
又因为的外接圆的面积为，所以，可得，
又因为及，所以，可得，
又因为及正弦定理，所以，
又因为，所以，
将代入，可得，
所以的面积为．
17．解：由长方体可知DA，DC，两两垂直，以D为坐标原点，向量，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，有，，，，，，．
（1）证明：因为，，，
所以，，
所以，，
又因为，DE，平面，所以平面；
（2）设平面的法向量为，
由，，有取，，，可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
因为，所以，，，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
18．（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以，
又因为AB为的直径，点M在弧AB上，所以．⋯4分
因为，所以平面PAM，又因为平面PBM，所以平面平面PAM．
（2）解：如图，以A为原点，AB所在的直线为y轴，过点A且垂直AB的直线为x轴，AP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz．因为，，所以，，所以是边长为1的等边三角形，所以，又∵，，，
∴，，
设为平面PMB的一个法向量，
则，令，得，，
∴．易知是平面PAB的一个法向量，
∴，由图知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
19．解：（1）由题意可知：的面积，可得，
所以周期，则，
由，得，又，于是，
所以；
（2）由，则，得，
即．由，得，
即在上恒成立，
亦即，
因为，，
所以，解得，
即实数k的取值范围是．