四川省成都市新津区实验高级中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

这是一份四川省成都市新津区实验高级中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集，集合满足，则（ ）
A.B.C.D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.若，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量（只）近似满足，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭（，）（ ）
A.1530只B.1636只C.1830只D.1930只
5.若函数在处取最小值，则等于（ ）
A.B.C.3D.4
6.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.已知，，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，下列说法错误的是（ ）
A.图像关于对称
B.只有一个零点且
C.若，则
D.不等式的解集
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列命题正确的是（ ）
A.命题“，都有”的否定为“，使得”
B.若的定义域是，则的定义域为
C.“为锐角”是“”的充分不必要条件
D.对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件
10.函数的图象以中心对称，则（ ）
A.在单调递减B.在有2个极值点
C.直线是一条对称轴D.直线是一条切线
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.函数存在两个不同的零点
B.函数既存在极大值又存在极小值
C.当时，方程有且只有两个实根
D.若时，，则的最小值为2
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12..已知扇形的圆心角为120°，弧长为，则扇形面积为__________.
13.若函数在处有极大值，则实数的值为__________.
14.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知
（1）若过原点的直线与函数相切，切点的横坐标为，求证：；
（2）若，，求的值.
16.（15分）在四棱锥中，底面是正方形，若，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
17.（15分）已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值；
（2）当时，求函数的最小值，以及相应的集合.
18.（17分）已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设，证明：对任意，，.
19.（17分）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数.
（2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
（3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
新津实验高中2022级高三11月月考数学试题答案
12.13.14.
15.（1）（2）.
【详解】（1）设切点为，，.
，.
（2）将平方得，所以，所以.
所以，从而.
联立，得.
所以，.
故.
16（1）证明：，，
又，.
平面，又平面，平面平面.
内，过作，交BC于，则，
（2）在平面 内, 过 作 , 交 B C于 , 则 ,
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，，，故，.
设平面的法向量，则即，
取，则，，故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
17.（1）；（2）2，.
【详解】解：，
，，.
所以函数的最大值为，，.
（2）由（1）得，
当时，函数的最小值为2，
此时，解得，
即时取最小值.
18题（1）证明：，，，
令，得；令，得，
设在，，，
成立，即成立.
（2）解的定义域为，.
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
当时，令，解得.
当时，；时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明不妨设，由于，由（1）可得在上单调递减.
所以等价于，即.
令，则.
于是.
从而在上单调递减，故，
即，
故对任意，，.
19.解（1）设样本平均数的估计值为，
则，
所以样本平均数的估计值为62.
设第40百分位数为，，
（2）因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中，.
所以，所以.
所以估计能参加复试的人数为.
（3）由该生获一等奖的概率为可知，，
则.
令，，
则
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
B
C
D
B
B
CD
AD
AB