湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题(B卷)

这是一份湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题(B卷)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试范围：必修第一册第一章至第三章）
时量：120分钟 满分：150分
得分：_____________
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1.已知集合，，则集合为
A.B.
C.D.
2.命题“，”的否定为
A.，B.，
C.，D.，
3.若幂函数，则m=
A.B.C.2D.1
4.已知函数为奇函数，且当时，，则
A.B.C.-3D.3
5.已知函数，且，则m=
A.2B.6C.25D.44
6.甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为.那么原不等式的解集为
A.B.
C.D.
7.若，则
A.，B.，
C.，D.，
8.已知函数则方程的解的个数为
Λ.5B.6C.7D.8
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下表是某市公共汽车的票价y（单位：元）与里程x（单位：km）之间的函数，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是
A.B.若，则
C.函数的定义域是D.函数的值域是{2,3,4,5}
10.已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①为偶函数；②为上的减函数；③，下列选项成立的是
A.的单调递增区间为
B.
C.若，则
D.若，则
11.若，，且，则下列说法正确的是
A.的最大值是B.ab的最小值是8
C.的最小值是D.的最小值是32
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.函数的定义域为________.
13.已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为________.
14.我们用表示实数x到离它最近的整数的距离，例如，，，则的最大值是________；对于函数，若满足，则有________种可能的值.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
（1）化简；
（2）已知，求的值.
16.（本题满分15分）
已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
17.（本题满分15分）
某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍.
（1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
18.（本题满分17分）
设函数.
（1）若，且，求m的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围.
19.（本题满分17分）
给定函数，，我们用表示，中的较大者，记为.
（1）若，，请用解析法表示，并求出的最小值.
（2）若，，其中a为实数.
（ⅰ）当时，写出的解析式；
（ⅱ）若的图象与x轴有交点，求a的取值范围.
2024年秋季高一期中联考
数学（B卷）参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）
1.C 【解析】结合数轴易知正确答案是C.
2.A 【解析】根据全称量词命题的否定原则，本题答案为A.
3A 【解析】根据幂函数定义可知，，解得.
4.C 【解析】由题意可知，又因为函数是奇函数，所以.
5.B 【解析】由函数，可得，所以函数的解析式为，所以，解得.
6.D 【解析】甲的常数c正确，由韦达定理可知，故；乙的常数b正确，故，故.所以原不等式为，即，解集为.
7.D 【解析】由题构造函数，，因为，所以在上单调递增，所以，即，同理，在上单调递增，所以，即.
8.B 【解析】由方程可解得或，结合的图象，可得方程的解有6个.
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.ACD 【解析】，选项A正确；若，则，选项B错误；函数的定义域为，选项C正确；函数的值域是{2,3,4,5}，选项D正确.
10.AD 【解析】由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递增，选项A正确；，因为函数在上单调递减，所以，即，选项B错误；由，有，即，选项C错误；由条件③知，当时，函数在上单调递减，，即时；当时，函数在上单调递增，，即时，所以，选项D正确.
11.BCD 【解析】选项A，，当且仅当，时等号成立，即的最小值是，选项A错误；
选项B，由，可得，当时等号成立，，，∵，，∴，即，ab的最小值是8，选项B正确；
选项C，法1：，由A知的最小值是.
法2，∵，∴，∵，，∴，∴，当且仅当时等号成立，选项C正确；
选项D，法1：，当时等号成立，而，也是当时等号成立，即，当时等号成立，故的最小值是32.
法2：，选项D正确.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 【解析】，∴.
13. 【解析】由题意知，且，解得.
14. 12（第1空2分，第2空3分）【解析】由定义可知，故的最大值为；
设，，，，∴，也就是和的小数部分要么相同，要么和为1.当小数部分相同时，则，可得，且，∴，，有6种；当小数部分和为1时，则，可得，且，∴，，有6种.综上，有12种可能的值.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.【解析】（1）原式3分
5分
.6分
（2）∵，
∴，8分
即，11分
∴.13分
16.【解析】（1）当时，，2分
∵.5分
∴.7分
（2）∵，9分
∴.10分
∵是的充分不必要条件，∴，12分
显然，则由，解得.15分
17.【解析】（1）由题意知，当时，，
则，解得，2分
所以.4分
因为每件产品的销售价格为元，
所以2025年该产品的利润.7分
（2）因为当时，.8分
所以，10分
当且仅当，即时，等号成立.12分
所以.14分
故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元.15分
18.【解析】（1）∵，∴，∴，又，则.3分
（2）在区间上单调递减.4分
证明：，且，则，5分
化简得，7分
由，得，∴，，
∴，于是，即.
∴在区间上单调递减.9分
（3）设，由知，，10分
将其代入，得，
化简得恒成立，13分
设，则在上恒成立.
即.14分
∵与在上单调递增，∴在上单调递增，15分
∴，∴，16分
∴实数a的取值范围是.17分
19.【解析】（1）设
当时，；2分
当，，令，得或；
当时，.4分
故当时，；当时，.
故6分
（只有正确结论的给4分，有图有结论的给5分，有分析过程有结论的给6分）
当时，有最小值1；时，.
综上，的最小值为l.7分
（2）设，
（ⅰ）当时，，在上是增函数，在上是减函数，且，
故当时，；当时，，
所以10分
（ⅱ），在上是增函数，在上是减函数，
①当时，，恒成立，
故，此时图象与x轴无交点；12分
②当时，，即，
故，
由函数图象可知，与x轴有交点；14分
③当时，，令，解得，
结合图象可知，当时，；当时，，
故15分
则，
即图象与x轴有交点.16分
综上，a的取值范围为.17分
（只有正确结论的给3分，有图有正确结论的给5分，有分析过程有正确结论的给7分）
x
2
3
4
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
A
C
B
D
D
B
ACD
AD
BCD