+广东省惠州市八校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份+广东省惠州市八校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信房梁是水平的，其理由是( )
A. 等腰三角形两腰等分B. 等腰三角形两底角相等
C. 三角形具有稳定性D. 等腰三角形的底边中线和底边上的高重合
3.如果线段2、7、m能组成一个三角形，则m的值可能是( )
A. 4B. 5C. 8D. 12
4.定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌.若只选用一种大小相同的正多边形，在下列四个选项中，不能进行平面镶嵌的是( )
A. 正三角形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形
5.如图，在△AEB和△ADC中，AD=AE，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是( )
A. ∠B=∠C
B. AC=AB
C. ∠ADC=∠AEB
D. BE=CD
6.△ABC中，BC=6，BC边上的高AD=3，BD=2，则△ACD的面积是( )
A. 6B. 12C. 6或12D. 以上都不对
7.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，BC=30，BD：CD=3：2，则点D到AB的距离为( )
A. 18B. 12C. 15D. 16
8.如图，点D为△ABC中BC边的中点，点E为AD的中点，设S△ABE=m，S△CDE=n，下面结论正确的是( )
A. m>n
B. mC. m=n
D. m、n大小关系无法确定
9.如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52∘方向，乙岛在丁岛的南偏东40∘方向.那么，丁岛在乙岛的( )方向？
A. 丁岛在乙岛的北偏西40∘方向B. 丁岛在乙岛的北偏西50∘方向
C. 丁岛在乙岛的东偏南60∘方向D. 丁岛在乙岛的东偏南40∘方向
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30∘，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE=2，则CE的长度为( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系中，点A(3,−1)关于y轴对称的点的坐标是______.
12.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于______.
13.如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120∘，∠CDB=20∘，则∠AEF=______.
14.如图，三角形纸片ABC，AB=12，AC=7，BC=8，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______.
15.如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CF⊥AD，BE⊥AD.若CF=8，BE=6，AD=10，则EF的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(2,4)，C(3,−1).
(1)试在平面直角坐标系中，画出△ABC；
(2)若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标.
17.(本小题7分)
如图，D是边AB上一点，DF交AC于E点，CF//AB，AE=EC.
求证：DE=EF.
18.(本小题7分)
工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请说明理由．
19.(本小题9分)
上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=30∘，∠NBC=60∘.
(1)求从海岛B到灯塔C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？
20.(本小题9分)
已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD.
(1)求证：DB=DE；
(2)若点F是BE的中点，连接DF，且CF=2，求等边三角形△ABC的边长.
21.(本小题9分)
有一块土地形状是三角形，其中∠C=90∘，∠B=30∘.
(1)在图1中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙两家农户，要使这两家农户所得土地是面积相等的等腰三角形，请用无刻度直尺和圆规画出分法；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在图2中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法.(保留作图痕迹，不写作法)
22.(本小题13分)
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC，交AB于点E，交AC于点F.
(1)若∠ABC=40∘，∠ACB=60∘，则∠BOE+∠COF=______；
(2)若∠ABC=α，∠ACB=β，请用α和β表示∠BOE+∠COF的度数；
(3)若△AEF的周长为8cm，BC=4cm，求△ABC的周长.
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，OB=AB，∠BOP=150∘.
(1)如图1，求证：△OAB是等边三角形；
(2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以BM为边作等边三角形BMN，连接NA并延长交x轴于点P，求证：AP=2AO；
(3)如图2，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，连接AC、DB交于E，请问AE、BE与CE之间有何数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是轴对称称图形，故此选项符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C.
根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC=BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
∴OC⊥AB.
等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合，
故选：D.
根据△ABC是个等腰三角形可得AC=BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．
本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．
3.【答案】C
【解析】解：由三角形的三边关系可得7−2即5∴只有C选项符合题意；
故选：C.
根据三角形的三边关系可得7−2本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.正三角形的每个内角为60∘，因为60∘×6=360∘，所以正三角形能镶嵌成一个平面图案，故A不符合题意；
B.正四边形的每个内角为90∘，因为90∘×4=360∘，所以正四边形能镶嵌成一个平面图案，故B不符合题意；
C.正五边形的每个内角为(5−2)×180∘÷5=108∘，因为360∘÷108∘不是整数，所以正五边形不能镶嵌成一个平面图案，故C符合题意；
D.正六边形的每个内角为(6−2)×180∘÷6=120∘，因为120∘×3=360∘，所以正六边形能镶嵌成一个平面图案，故D不符合题意．
故选：C.
根据正三角形、正四边形、正五边形、正六边形内角的度数，进行判定即可．
本题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
5.【答案】D
【解析】解：A选项对应角角边，可以判定全等；
B选项对应边角边，可以判定全等；
C选项对应角边角，可以判定全等；
D选项只能是边边角，无法判定全等；
故选：D.
根据三角形全等判定定理解题即可．
本题考查三角形全等的判定定理，能够熟练运用判定定理是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：当AD在△ABC内部时，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=BC−BD=4，
又BC边上的高AD=3，
∴△ACD的面积是12×4×3=6；
当AD在△ABC外部时，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=BC+BD=8，
又BC边上的高AD=3，
∴△ACD的面积是12×8×3=12；
综上，△ACD的面积是6或12.
故选：C.
根据题意得出CD的长度，再利用三角形面积公式求出△ACD的面积即可，注意分类讨论．
本题主要考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：作DE⊥AB于E，
∵BD：CD=3：2，BC=30，
∴CD=12，
∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，DE⊥AB，
∴CD=DE=12，
故选：B.
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．
本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离等于CD长是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵点D为△ABC中BC边的中点，
∴S△ABD=S△ACD，
∵点E为AD的中点，
∴S△ABE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，
∴S△ABE=S△CDE，
∵S△ABE=m，S△CDE=n，
∴m=n，
故选：C.
根据中线把三角形的面积分成相等的部分，可得到答案．
本题考查的是三角形的中线、三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C.作NB//CD，如图，
∵丁岛在丙岛的正北方，
∴CD⊥AB.
∵乙岛在丁岛的南偏东40∘方向，
∴∠BCD=40∘.
又∵BN//CD，
∴∠1=∠BCD=40∘，
∴丁岛在乙岛的北偏西40∘方向．
故选：A.
根据方向角的定义即可求解．设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C.作NB//CD，根据两直线平行，内错角相等即可解决问题．
本题考查方向角的定义和平行线的性质，理解题意，掌握平行线的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AE，如图：

在△ABC中，AB=AC，∠C=30∘，
∴∠B=∠C=30∘，
∴∠BAC=180∘−(∠B+∠C)=120∘，
∵点D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠DAE=30∘，
在Rt△ADE中，∠DAE=30∘，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∵∠BAC=120∘，∠DAE=30∘，
∴∠CAE=∠BAC−∠DAE=120∘−30∘=90∘，
在Rt△CAE中，∠C=30∘，AE=4，
∴CE=2AE=8.
故选：B.
连接AE，先求出∠B=∠C=30∘，∠BAC=120∘，再根据线段垂直平分线的性质得，BE=AE，由此得∠B=∠DAE=30∘，进而利用直角三角形的性质得AE=2DE=4，然后求出∠CAE=90∘，再利用直角三角形的性质即可求出CE的长．
此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，30∘的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．
11.【答案】(−3,−1)
【解析】解：点A(3,−1)关于y轴对称的点的坐标是(−3,−1).
故答案为：(−3,−1).
关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
12.【答案】720∘
【解析】解：∵一个多边形从一个顶点可引对角线3条，
∴这个多边形的边数为3+3=6(条)，
则(6−2)×180∘=720∘，
即这个多边形内角和等于720∘，
故答案为：720∘.
根据多边形的对角线求得其边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
本题考查多边形的内角和及对角线，结合已知条件求得多边形的边数是解题的关键．
13.【答案】40∘
【解析】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO=∠CDB=20∘，∠AEF=∠OED，
在△ODE中，∠OED=180∘−∠AOB−∠EDO=180∘−120∘−20∘=40∘，
∴∠AEF=∠OED=40∘.
故答案为：40∘.
根据平面镜反射的规律得到∠EDO=∠CDB=20∘，∠AEF=∠OED，在△ODE中，根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，即可得到∠AEF=∠OED的度数．
本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到∠EDO=∠CDB=20∘，∠AEF=∠OED是解题的关键．
14.【答案】11
【解析】解：∵将△ABC沿过点B的直线折叠，点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴ED=CD，BE=BC，
∴AD+ED=AD+CD=AC=7，
∵AB=12，BC=8，
∴BE=8，
∴AE=AB−BE=12−8=4，
∴AD+ED+AE=7+4=11，
∴△AED的周长为11，
故答案为：11.
由折叠得ED=CD，BE=BC=8，则AD+ED=AD+CD=AC=7，而AB=12，则AE=AB−BE=4，所以AD+ED+AE=11，于是得到问题的答案．
此题重点考查翻折变换的性质，推导出AD+ED=AC=7，AE=AB−BE=4是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：∵AB⊥CD，CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠C+∠D=90∘，∠A+∠D=90∘，∠AEB=∠CFD=90∘，
∴∠A=∠C，
在△ABE和△CDF中，
∠A=∠C∠AEB=∠CFDAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF=6，AE=CF=8，
∵AF=AD−DF=10−6=4，
∴EF=AE−AF=8−4=4，
故答案为：4.
证△ABE≌△CDF，可得BE=DF=6，AE=CF=8，可求EF的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1，点△ABC即为所求；
(2)如图，△A1B1C1即为所求；
A1(0,−4)、B1(2,−4)、C1(3,1).
【解析】(1)根据点A、B、C的坐标及坐标的概念描点即可；
(2)分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得．
本题主要考查作图-轴对称变换，根据轴对称变换的定义和性质得出对应点是解题的关键．
17.【答案】证明：∵CF//AB，
∴∠A=∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠ECF∠AED=∠CEFDE=FE，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴DE=EF.
【解析】证明△ADE≌△CFE(AAS)，即可得出结论
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明△ADE≌△CFE是解题的关键．
18.【答案】解：射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
在△OMP和△ONP中
∵OM=ONMP=NPOP=OP
∴△OMP≌△ONP(SSS)，
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB.
【解析】本题是通过三角形的全等得到∠MOP=∠NOP，从而得到结论．
本题考查三角形全等的判定和性质，这是一个很实际的问题，要具备把实际问题转化为数学问题的能力．
19.【答案】解：(1)∵∠NBC=60，∠NAC=30∘，
∴∠ACB=60∘−30∘=30∘，
∴AB=BC，
∵AB=15×2=30海里，
∴BC=30(海里)，
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
(2)过C作CP⊥AB于P，
则线段CP的长度即为小船与灯塔C的最短距离，
∵∠NBC=60∘，∠BPC=90∘，
∴∠PCB=90∘−60∘=30∘，
∴PB=12BC=15海里，
∴15÷15=1小时，
∴这条船继续向正北航行，在上午的11时小船与灯塔C的距离最短．
【解析】(1)根据已知条件得到∠ACB=60∘−30∘=30∘，根据等腰三角形的性质得到结论；
(2)过C作CP⊥AB于P，则线段CP的长度即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含30∘角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握含30∘角的直角三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60∘
又∵BD是中线
∴BD平分∠ABC
∴∠DBC=12∠ABC=30∘
∵CE=CD
∴∠E=∠CDE
又∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=∠CDE=30∘
∴∠DBC=∠E
∴DB=DE
(2)解：由(1)可知DB=DE
又∵点F是BE的中点
∴DF⊥BE
∵∠ACB=60∘
∴∠CDF=180∘−90∘−60∘=30∘
又∵△CDF为直角三角形
∴CF=12CD，∴CD=4
∵BD是中线
∴AC=2CD=8
即等边三角形△ABC的边长为8.
【解析】求证BD=DE，可求解∠DBC=∠E，利用角相等，得出线段相等，对边长的求解，利用各个三角形角之间的关系，以及等边三角形的中线等进行求解．
本题考查了等边三角形的性质；求得∠CDF=30∘是正确解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1所示，△ACD与△BCD即为所求；
(2)如图2所示，△ACE、△AEF、△BEF即为所求．

【解析】(1)作出线段AB的垂直平分线交AB于点D，连接CD，则△ACD与△BCD即为所求；
(2)作出线段AB的垂直平分线交AB于点F，交BC于点E，连接AE，则△ACE、△AEF、△BEF即为所求．
本题考查了作图-应用设计作图，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，熟记线段垂直平分线的性质并灵活运用是解题的关键．
22.【答案】50∘
【解析】解：(1)∵EF//BC，
∴∠OCB=∠COF，∠OBC=∠BOE，
又BO、CO分别是∠BAC和∠ACB的角平分线，
∴∠COF=∠FCO=12∠ACB=30∘，∠BOE=∠OBE=12∠ABC=20∘，
∴∠BOE+∠COF=50∘；
(2)∵∠BOE=∠OBC=12α，∠COF=∠OCB=12β，
∴∠BOE+∠COF=12(α+β)，
(3)∵∠COF=∠FCO，
∴OF=CF，
∵∠BOE=∠OBE，
∴OE=BE，
∴△AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8cm，
∴△ABC的周长=8+4=12(cm).
(1)两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得到∠COF=∠FCO=12∠ACB=30∘，∠BOE=∠OBE=12∠ABC=20∘，可得到∠BOE+∠COF)的度数；
(2)根据∠BOE=∠OBC=12α，∠COF=∠OCB=12β，直接写出等式即可；
(3)根据∠COF=∠FCO，∠BOE=∠OBE可得△FOC、△EOB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB，进而可得到△ABC的周长．
此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质；对相等的线段进行有效等量代换是解答本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠BOP=150∘，∠AOP=90∘，
∴∠AOB=60∘，
∵OB=AB，
∴△OAB是等边三角形；
(2)证明：由(1)知：△OAB是等边三角形，
∴∠ABO=60∘，
∵△BMN是等边三角形，
∴BM=BN，∠MBN=60∘，
∴∠MBO=∠NBA，
∵AB=OB，
在△MBO和△NBA中，
BM=BN∠MBO=∠NBABO=BA，
∴△MBO≌△NBA(SAS)，
∴∠OMB=∠ANB，
∵∠AFM=∠BFN，
∴∠FAM=∠FBN=60∘，
∵∠OAP=∠FAM=60∘，∠AOP=90∘，
∴∠APO=30∘，
∴AP=2AO；
(3)解：AE=BE+CE，理由如下：
如图2，在AC上截取AG=EC，连接BG，可得AG+EG=CE+EG，即AE=CG，
∵BC⊥BO，BC=BO，
∴∠OBC=90∘，
∵D为CO的中点，
∴BD平分∠OBC，即∠CBD=∠OBD=45∘，
∵∠ABO=60∘，
∴∠ABD=105∘，∠ABC=150∘，
∵AB=OB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=15∘，
∴∠AEB=15∘+45∘=60∘，
在△ABE和△CBG中，
AB=CB∠BAE=∠BCGAE=CG，
∴△ABE≌△CBG(SAS)，
∴BG=BE，
∴△BEG为等边三角形，
∴BE=EG，
∴AE=AG+EG=CE+BE；
【解析】(1)根据有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形可得结论；
(2)根据SAS证明△MBO≌△NBA，得∠OMB=∠ANB，由8字形可得∠FAM=∠FBN=60∘，最后由含30∘角的直角三角形的性质可得结论；
(3)如图2，在AC上截取AG=CE，先证∠AEB=60∘，方法是根据题意得到△ABO为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，确定出∠ABD度数，根据AB=BC，且∠ABC=150∘，得到∠BAE度数，进而确定出∠AEB为60∘，再由AG=CE，得到AE=CG，再由AB=CB，且夹角∠BAC=∠BCA，利用SAS得到△ABE≌△CBG，利用全等三角形的对应边相等得到BG=BE，得到△BEG为等边三角形，得到BE=EG，由AE=EG+AG，等量代换即可得证．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，以及含30∘角的直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．