2023-2024学年湖北省武汉市黄陂区部分学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市黄陂区部分学校九年级（上）月考数学试卷（12月份），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么（ ）
A.当时，直线与圆相交B.当时，直线与圆相离
C.当时，直线与圆相切D.当时，直线与圆相切
3.如图，为的直径，为的弦，于，下列说法错误的是（ ）
A.B.C.D.
4.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.且D.且
5.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，依此类推.已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则的值为（ ）
A.9B.10C.11D.12
6.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，，分别与相切于点，，，，则的长为（ ）
A.B.D.D.
8.如图，是的直径，、、是上的点，若，，则的度数（ ）
A.B.C.D.
9.如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的最大扇形（阴影部分）则这个扇形的面积为（ ）
A.B.C.D.
10.若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形.如图，是上半圆上一点，将沿着折叠，与直径交于圆心右侧一点，若是完美三角形，则为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.已知点坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为________.
12.第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，小熙同学幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片，如图，该照片（中间的矩形）长29cm，宽为20cm，他想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框（阴影部分），且镜框所占面积为照片面积的，为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为，依题意列方程，化成一般式为________.
13.一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是________.
14.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为水管，在水管的顶端点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离处达到最高，水柱落地处离池中心距离，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离是________.
15.已知，分别是的外心和内心，，则的大小是________.
16.抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为.下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰三角形时，的值有3个.其中正确的有________（填序号即可）.
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17.（本题8分）解方程：.
18.（本题8分）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点.求证：.
19.（本题8分）已知关于的方程.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根.
20.如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于，
（1）求证：为的切线.
（2）若，，求的长.
21.（本题8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹.（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
图1 图2 图3 图4
（1）如图1，在中，是边上一点，在边上画点，使；
（2）如图2，在内接于，是的中点，画的中线；
（3）如图3，在中，是边上一点，且，画的平分线；
（4）如图4，是的直径，是内一点，画的高.
22.小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克.他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克.
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式；
（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润（元）最大是多少？
（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠元利润（）给希望工程.公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价（元/千克）的增大而增大.直接写出的取值范围为
23.【问题背景】如图1，在中，，是直线上的一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，求证：；
【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长，交于点，交于点，求证：；
【拓展创新】如图3，是内一点，，，，直接写出的面积为________.
图1 图2 图3
24.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点.
图① 图②
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，求的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点，求出点的坐标；并探究：在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
一、选择题
1-5DCCDB 6-10CBBAD
二、填空
11. 12. 13.1 14.5 15.或 16.①③
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17.(本题8分)解方程：．
解：移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
∴原方程的解是：，．
18.(本题8分)如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点．
求证：．
证明：过点作，
则由垂径定理得，
，
∴
即
19.(1)证明：∵，
∴，
∴不论实数取何值，方程总有实数根；
(2)解：设该方程的两个实数根分别为，，
∴．
∵，
∴，
∴，
代入得，，
整理得，，
解得：，．
∴的值为0或．
20.解：(1)如图1中，线段即为所求作．
(2)如图2中，线段即为所求作．
(3)如图3中，射线即为所求作．
(4)如图4中，线段即为所求作．
21.(1)证明：连接，过点作于．
∵是的切线，
∵，
∵平分，，
∴，
∴是的切线．
(2)∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，是的切线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22.解：(1)由题意，可得
(2)∵
∴
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，最大值
答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润最大为750元．
(3)设扣除捐赠后的日销售利润为元，
∴
∵当时，随的增大而增大，
∴
∴
∴
即的取值范围为
23.解：如图1，∵，
∴，
在和中，
∴．
【尝试应用】证明：如图2，过点作交的延长线于．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
【拓展创新】解：如图3中，过点作交于，连接．
∵，，
∴与都是等腰直角三角形，
同法可证，
∴，
∵，
∴，
∴．
24.解：(1)抛物线顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
将代入可得，
∴；
(2)连接，
由题意，，，
设，
∴，
，
，
，
∴，
∴当时，的最大值为；
(3)存在，设点的坐标为，
过作对称轴的垂线，垂足为，
则，，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴或(舍)
∴，
∴，，
连接，在中，
∴，
∴，，
∴在以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，
此时，，
设，为圆的半径，
，
∴，
∴，
∴或，
综上所述：点坐标为或．