上海市静安区新中高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市静安区新中高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共10题，每题4分，共40分）
1．已知m//α，n⊂α，则直线m、n的位置关系为 .
（填平行、相交、异面）
2.已知a向量=-m，6，3平行于向量 b=2，n，1，则 m+n= .
3.在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中, F 是DC 的中点, 设AA1=a，AB=b，AD=c，
用a、b、c表示A1F= .
4.已知向量 a=1，-1，0，b=-1，0，1，则a与b的夹角为 .
5．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1=3cm，AB=4cm，
则点A1到棱BC的距离是 cm
6．已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的高为 .
7．已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为 .
8．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB
所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .
9．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，
液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为 .
10．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，若13AB=12AD=EF，△ADE和△BCF都是正三角形，G为AD的中点，则异面直线GE与CF
所成角的余弦值为 .

二、单选题（共3题，每题4分，共12分）
11．已知空间向量a=2，1，0，b=1，0，-1，则a在b上的投影向量为（ ）
A．12bB．12aC．bD．a
12．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ）
A．23 B．23 C．34 D．34
13．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界），
则下列说法中不正确的是（ ）

若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段
B．不存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD
C．当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大
D．若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为22π
三、解答题（共4题，共48分）
14．（本题满分8分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个圆柱，AB=AC，BC为底面圆的直径，
圆柱的体积是2π，底面直径与圆柱的高相等．
（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
15．（本题满分8分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，
点G在CD上，且CG=14CD．（1）求EF与C1G所成角的余弦值；
（2）求点E到平面AB1C的距离．
16．（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，且PB=6BC，
点O、Q分别为棱CD、PB的中点，且DQ⊥平面PBC.
（1）证明：OQ //平面PAD；（2）求二面角P-AD-Q的大小.
17．（本题满分20分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E为AD中点，
点O，F分别为BE，DE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如图）．

（1）求证：BE⊥平面A1OC；（2）求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值；
（3）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP//平面A1OF？若存在，求出A1PA1C的值，若不存在，请说明理由．
新中高级中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷解析
学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________
一、填空题（共10题，每题4分，共40分）
1．已知m//α，n⊂α，则直线m、n的位置关系为 平行或异面 .
（填平行、相交、异面）
1．平行或异面【分析】利用线面平行的定义直接判断即可.【详解】由m//α，得直线m与平面α无公共点，
而n⊂α，因此直线m,n没有公共点，所以直线m、n的位置关系为平行或异面.故答案为：平行或异面.
2.已知a向量=-m，6，3平行于向量 b=2，n，1，则 m+n= -4 .
3.在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中, F 是DC 的中点, 设AA1=a，AB=b，AD=c，
用a、b、c表示A1F= -a+12b+c .
4.已知向量 a=1，-1，0，b=-1，0，1，则a与b的夹角为 120° .
5．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1=3cm，AB=4cm，
则点A1到棱BC的距离是 5 cm
5．5【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案.
【详解】连结A1B，如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由BC⊥平面ABB1A1，
A1B⊂平面ABB1A1，所以A1B⊥BC，则点A1到棱BC的距离是A1B，
在矩形ABB1A1中，A1B=AB2+AA12=32+42=5.故答案为：5.
6．已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的高为 .
6．62【分析】设圆锥的母线为l，高为h，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长求出l，再由勾股定理计算
可得.【详解】设圆锥的母线为l，高为h，底面半径r=3，扇形的半径为l.
由已知可得AB的长为2πr=6π，又∠AOB=2π3，由6π=2π3l可得l=9，
所以圆锥的高h=l2-r2=92-32=62.故答案为：62.
7．已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为 .
7．423【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积.
【详解】设底面正方形两条对角线相交于O点，
由题可得，PO⊥底面ABCD，在Rt△AOP中,
∵AO=2AC=22，AP=2，
∴PO=AP2-AO2=4-2=2.
故VP-ABCD=13×SABCD×PO=423.故答案为423.【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：
公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；
切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；
补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分
即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用；
等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.
如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.
8．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB
所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .
8．16π3【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可
求得结果.【详解】由题，△ABC为等腰直角三角形，作CO⊥AB于点O，如图，
则△ABC绕着直径AB所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥AO和BO，
由半径为2可得圆锥底面圆半径为CO=2，圆锥的高为2，
则圆锥AO的体积为V1=13π×22×2=83π，
半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为V2=43π×23=323π，
因此剩余部分所形成的几何体的体积为V=V2-2V1=163π.故答案为：163π.
9．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，
液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为 .
9．6【分析】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案．
【详解】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设△ABC的面积为S，则S梯形＝34S，水的体积V水＝34S×AA1＝6S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh＝6S，
故h＝6.【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
10．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，若13AB=12AD=EF，△ADE和△BCF都是正三角形，
G为AD的中点，则异面直线GE与CF所成角的余弦值为 .
36【分析】取BC中点M，连接FM，GM，易证AD⊥平面EFMG，
再由等边三角形可知四边形EFMG为等腰梯形，高为2，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值.【详解】如图所示，设EF=1，取BC中点M，连接FM，GM，
则GM//AB，又∵EF//AB，∴EF//GM，∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥GM，
又∵△ADE为正三角形，G为AD的中点，∴AD⊥EG，∵GM∩EG=G，
且GM，EG⊂平面EFMG，∴AD⊥平面EFMG，易知△ADE≅△BCF，
则EG=FM=3，∴四边形EFMG为等腰梯形，高为2，在平面EFMG内，过点G作GM的垂线，
以点G为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则G0,0,0，E0,1,2，
C-1,3,0，F0,2,2，即GE=0,1,2，CF=1,-1,2，∴csGE,CF=GE⋅CFGE⋅CF=-1+23×2=36，
即异面直线GE与CF的夹角余弦值为36，故答案为：36.
二、单选题（共3题，每题4分，共12分）
11．已知空间向量a=2，1，0，b=1，0，-1，则a在b上的投影向量为（ ）
A．12bB．12aC．bD．a
11．C【分析】根据空间向量的坐标运算求a⋅b,b，结合投影向量的坐标运算求解.
【详解】因为a=2，1，0，b=1，0，-1，则a⋅b=2×1+1×0+0×-1=2，
b=12+02+-12=2，所以a在b上的投影向量为a⋅bb2b=b.故选：C.
如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，
则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A．23 B．23 C．34 D．34
12．B【分析】设球的半径为R，根据球、圆柱的体积公式计算可得.
【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以球的体积V球=4π3R3，
圆柱的体积V圆柱=πR2×2R=2πR3，所以V球V圆柱=4π3R32πR3=23.故选：B.
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，
Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段
B．不存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD
C．当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大
D．若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为22π
13．D【分析】利用线面平行与面面平行的判定定理与性质定理判断A；建立空间直角坐标系，求得平面A1PD的法向量，从而利用线面垂直的向量表示可判断B；利用空间向量法求得点Q到平面A1PD的距离关于x,z的表达式，分类讨论x+z的取值范围求得三棱锥Q-A1PD的体积，从而判断C；利用勾股定理求得C1Q为定值，从而判断Q的轨迹，
进而求其长度判断D.【详解】选项A，分别取B1C1,CC1中点E,F，连接D1E,D1F,EF,PF，
由PF与B1C1，A1D1平行且相等得平行四边形A1PFD1，所以D1F // A1P，
又D1F⊂平面A1DP，A1P⊂平面A1DP，所以D1F //平面A1DP，同理EF //平面A1DP，又EF∩D1F=F,EF,D1F⊂平面D1EF，所以平面D1EF //平面A1DP，当Q∈EF时，D1Q⊂平面D1EF，所以D1Q //平面A1DP，即Q点轨迹是线段EF，
故A正确；选项B，以D1为原点，D1A1,D1C1,DC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A11,0,0,D0,0,1,P1,1,12，
设Qx,1,z0≤x,z≤1，则A1D=-1,0,1,A1P=0,1,12,D1Q=x,1,z，设m=a,b,c是平面A1PD的一个法向量，则m⋅A1D=-a+c=0m⋅A1P=b+12c=0，取c=1，则m=1,-12,1，若D1Q⊥平面A1PD，则D1Q // m，所以存在λ∈R，
使得D1Q=λm，则x=λ1=-λ2z=λ，解得x=z=-2∉0,1，因此正方形B1C1CB内（含边界）不存在点Q，
使得D1Q⊥平面A1PD，故B正确；
选项C，△A1PD面积为定值，当且仅当点Q到平面A1PD的距离最大时，三棱锥Q-A1PD的体积最大，
又A1Q=x-1,1,z，则Q到平面A1PD的距离为d=A1Q⋅mm=23x+z-32，当0≤x+z≤32时，d=2332-x+z，
则当x+z=0时，d有最大值1；当32≤x+z≤2时，d=23x+z-32，则当x+z=2时，d有最大值13，
综上，当x+z=0时，d取得最大值1，即Q与C1重合时，d取得最大值，三棱锥Q-A1PD的体积最大，故C正确；
选项D，D1C1⊥平面BB1C1C,CQ⊂平面BB1C1C，所以D1C1⊥C1Q，所以C1Q=D1Q2-D1C12=622-12=22，
所以Q点轨迹是以C1为圆心，22为半径的圆弧，圆心角是π2，则其轨迹长度为14×2π×22=24π，故D错误.故选：D.
三、解答题（共4题，共48分）
14．（本题满分8分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个圆柱，AB=AC，BC为底面圆的直径，
圆柱的体积是2π，底面直径与圆柱的高相等．
（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
（1）4π；（2）2.
【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为r=1，代入侧面积公式可得结果；
（2）求出三棱柱底面△ABC的面积，再由体积公式可得结果.
【详解】（1）设底面圆的直径为2r，则其高也为2r；由题可知，
圆柱的体积V=πr2⋅2r=2π，解得r=1，因此圆柱的侧面积为S=2πr×2r=4π；
（2）因为△ABC是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长AB=AC=2，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=12×2×2×2=2．
（本题满分8分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E、F分别为DD1、BD的中点，点G在CD上，且CG=14CD．
（1）求EF与C1G所成角的余弦值；（2）求点E到平面AB1C的距离．
15．（1）5117；（2）.【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间
向量的坐标运算，由EF⋅B1C=0，即可证明；（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）证明：以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系如图，
则根据题意可得：E0，0，12，F12，12，0，B11，1，1，C0，1，0，
∴EF=12，12，-12，∵G0，34，0，C10，1，1，GC1=0，14，1，
∴cs〈EF，GC1〉=EF⋅GC1EF⋅GC1=-5117，又EF与CG所成角的范围为0，π2，
∴EF与CG所成角的余弦值为5117；
（2）∵由三垂线定理得：BD1⊥平面AB1C，∴平面AB1C法向量为D1B=1，1，-1，
∵AE=-1，0，12，∴点E到平面AB1C的距离d=AE∙nn=-1+0-123=32.
（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，
且PB=6BC，点O、Q分别为棱CD、PB的中点，且DQ⊥平面PBC.
（1）证明：OQ //平面PAD；（2）求二面角P-AD-Q的大小.
16．（1）证明见解析；（2）π4.【分析】（1）取PA中点G，连接GQ,GD，
可证OQ // DG，进而OQ //平面PAD；（2）根据已知可证OQ⊥平面ABCD，取AB中点E，以OE,OC,OQ所在直线
分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，由两平面夹角的向量公式可解.
【详解】（1）取PA中点G，连接GQ,GD∴点Q为PB中点，∴GQ // AB,GQ=12AB，∵底面是边长为2的正方形，
O为CD中点，∴DO // AB,DO=12AB，∴GQ // OD,GQ=OD∴四边形GQOD是平行四边形.
∴OQ // DG,∵OQ⊄平面PAD,GD⊂平面PAD，∴OQ //平面PAD；
（2）∵DQ⊥平面PBC,BC⊂平面PBC∴DQ⊥BC，又∵底面是边长为2的正方形，∴DC⊥BC,∵DQ∩DC=D,
DQ⊂平面DCQ，DC⊂平面DCQ，∴BC⊥平面DCQ，∵OQ⊂平面DCQ,∴BC⊥OQ.又∵CQ⊂平面DCQ,∴BC⊥CQ.
∵PB=26,∴QB=6,∵BC=2,∴QC=2，∵底面是边长为2的正方形，∴DB=22,∴DQ=2∴DQ=CQ，
∵O为CD中点，∴OQ⊥DC，又∵BC⊥OQ,DC∩BC=C, DC⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴OQ⊥平面ABCD，
取AB中点E，以OE,OC,OQ所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则O0,0,0,Q0,0,1,A2,-1,0,B2,1,0,D0,-1,0,P-2,-1,2
所以AP=-4,0,2,AD=-2,0,0,AQ=-2,1,1，
设平面PAD法向量为m=x,y,z，则m⋅AP=-4x+2z=0m⋅AD=-2x=0∴m=0,1,0
设平面QAD法向量为n=x1,y1,z1，则n⋅AQ=-2x1+y1+z1=0n⋅AD=-2x1=0，
∴n=0,1,-1，csm,n=m⋅nm⋅n=22，所以向量的夹角为π4，
结合图形可知二面角P-AD-Q为锐角，所以二面角P-AD-Q的大小为π4.
17．（本题满分20分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E为AD中点，
点O，F分别为BE，DE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如图）．

（1）求证：BE⊥平面A1OC；（2）求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值；
（3）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP//平面A1OF？若存在，求出A1PA1C的值，若不存在，请说明理由．
17．(1)证明见解析；(2)155；(3)存在，13.
【分析】（1）通过证明CO⊥BE，A1O⊥BE，可证明相关结论；（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面A1CE
法向量，后由空间向量知识可得答案；（3）由题目信息可表示出平面A1OF的法向量n1，后由BP⋅n1=0可解决问题.
【详解】（1）证明：因BC//DE，且BC=DE，则四边形BCDE是平行四边形，则BE=CD，
又四边形ABCD为等腰梯形，则AB=BE，结合∠A=60°可得△A1BE是等边三角形.又O为BE中点，则A1O⊥BE；
如图连接CE，注意到BC//AE，BC=AE，则四边形BCEA是平行四边形，结合△A1BE是等边三角形，
可得四边形BCEA是菱形，则△BCE是等边三角形，又O为BE中点，则CO⊥BE，
因为A1O，CO⊂平面A1OC，A1O∩CO=O，所以BE⊥平面A1OC；
因平面A1BE⊥平面BCDE，
平面A1BE∩平面BCDE=BE，A1O⊂平面A1BE，
A1O⊥BE，则A1O⊥平面BCDE.
又由（1）可得CO⊥BE，则如图建立以O为原点的
空间直角坐标系，则O0,0,0，B1,0,0，C0,3,0，
A10,0,3，E-1,0,0.则A1B=1,0,-3，A1C=0,3,-3，A1E=-1,0,-3.
设平面A1CE的法向量为n=x,y,z，则n⋅A1C=3y-3z=0n⋅A1E=x+3z=0，取y=1，则x=-3,z=1，
所以n=-3,1,1为平面A1CE的一个法向量，
设直线A1B与平面A1CE所成角为θ，则sinθ=csA1B,n=-232×5=155；
假设存在满足条件的P点，设A1PA1C=t，则A1P=tA1C=0,3t,-3t.又OA1=0,0,3，
得OP=OA1+A1P=0,3t,3-3t，则P0,3t,3-3t.又由题可得D-2,3,0，结合E-1,0,0，
F为DE的中点，可得F-32,32,0，则OA1=0,0,3，OF=-32,32,0，设平面A1OF的法向量为n1=x1,y1,z1，则n1⋅OA1=3z1=0n1⋅OF=-3x12+32y1=0，取x1=1，则y1=3，z1=0，所以n1=1,3,0为平面A1OF的一个法向量.
要使BP//平面A1OF，则BP⋅n1=0，又BP=-1,3t，3-3t，
则-1+3t=0⇒t=13.故在侧棱A1C上存在点P，使得BP//平面A1OF，且A1PA1C=13.