广西南宁市江南区2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份广西南宁市江南区2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数3的相反数是
A．3B．C．D．
2．（3分）下面图形分别是节水，农食产品认证，绿色食品和可回收物标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是
A．
B．
C．
D．
3．（3分）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．（3分）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是
A．两点之间，线段最短B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形具有稳定性D．垂线段最短
5．（3分）下列长度的三条线段能构成三角形的是
A．2，3，5B．5，6，11C．3，4，8D．5，6，10
6．（3分）如图，，，则的度数是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在中，边上的高是
A．B．C．D．
8．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
9．（3分）一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的边数是
A．6B．8C．10D．12
10．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组
A．B．
C．D．
11．（3分）如图，在中，已知点、分别为边、、上的中点，且，则的值为
A．B．C．D．
12．（3分）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，为上一动点，则的最小值为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）计算： ．
14．（2分）比较大小： （填“”、“ ”、“ ”
15．（2分）关于的方程的解是，则的值为 ．
16．（2分）如图，在△中，是边的垂直平分线，垂足为，交于点，若，△的周长是15，则的长为 ．
17．（2分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为 ．
18．（2分）如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：．
20．（6分）化简求值：，其中，．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△在坐标系中，，．
（1）在图中画出△关于轴的对称图形△；
（2）分别写出对应点，，的坐标；
（3）请在图中的轴上找一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．
22．（10分）2024年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空老师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了“太空冰雪”试验、液桥演示试验、水油分别试验、太空抛物试验等，以天地互动的形式演示了试验，并介绍与展示了空间科学设施．这场充溢奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：
．学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，．
．在这一组成绩的是
80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89
．成绩不低于90分为优秀．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查采用的方式是 （选填“全面调查”或“抽样调查” ，样本容量是 ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数．
23．（10分）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的度数
24．（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：若购买3套甲型号和2套乙型号共用420元，买5套甲型号和4套乙型号共用740元．
（1）求每套甲型号、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，至少可以买乙型号多少套？
25．（10分）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组对如图所示的课本上的一道例题进行了深入探究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上一点作角的平行线构造等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，过点作交于点，易证为等腰三角形．
【基本运用】（1）如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，重合部分是等腰三角形吗？为什么？
【类比探究】（2）如图3，中，与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、点，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；
【拓展提升】（3）如图4，四边形中，，为边的中点，且平分，连接，求证：．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和．
（1）若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上，其中，满足，点在第四象限，过点作轴于点，求的值；
（3）如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）实数3的相反数是
A．3B．C．D．
解：实数3的相反数是：．
故选：．
2．（3分）下面图形分别是节水，农食产品认证，绿色食品和可回收物标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是
A．
B．
C．
D．
解：、选项图形中没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
、选项图形中没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
、选项图形中有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
、选项图形中没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
3．（3分）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
解：．
故选：．
4．（3分）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是
A．两点之间，线段最短B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形具有稳定性D．垂线段最短
解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：．
5．（3分）下列长度的三条线段能构成三角形的是
A．2，3，5B．5，6，11C．3，4，8D．5，6，10
解：．，不能组成三角形，故不符合题意；
．，不能组成三角形，故不符合题意；
．，不能组成三角形，故不符合题意；
．，能组成三角形，故符合题意．
故选：．
6．（3分）如图，，，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解；，，
．
故选：．
7．（3分）如图，在中，边上的高是
A．B．C．D．
解：在中，边上的高是：．
故选：．
8．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
解：．，故此选项符合题意；
．与无法合并，故此选项不合题意；
．与无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
9．（3分）一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的边数是
A．6B．8C．10D．12
解：该正多边形的一个外角为，多边形的外角和为，
边数，
该正多边形的边数是8．
故选：．
10．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组
A．B．
C．D．
解：设客人为人，银子为两，根据题意得，
．
故选：．
11．（3分）如图，在中，已知点、分别为边、、上的中点，且，则的值为
A．B．C．D．
解：为的中点，
、分别是、的中线，
、，
，
即的值为．
故选：．
12．（3分）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，为上一动点，则的最小值为
A．B．C．D．
解：如图，过点作于点．
，，，，
由作图过程可知：平分，，，
，
设，则有，
，
，
为上一动点，
则的最小值为，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）计算： 2 ．
解：，
的算术平方根是2，即．
故答案为：2．
14．（2分）比较大小： （填“”、“ ”、“ ”
解：，
，
故答案为：．
15．（2分）关于的方程的解是，则的值为 ．
解：把代入方程中，得，
解得，
故答案为：．
16．（2分）如图，在△中，是边的垂直平分线，垂足为，交于点，若，△的周长是15，则的长为 9 ．
解：是的垂直平分线，
，
，△的周长为15，
，
，
，
故答案为：9．
17．（2分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为 ．
解：光线与主光轴平行，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18．（2分）如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 30 ．
解：过点作于点，于点，
是等边三角形，
，
为的中点，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
故答案为：30．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：．
解：
．
20．（6分）化简求值：，其中，．
解：原式
，
当，时，
原式．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△在坐标系中，，．
（1）在图中画出△关于轴的对称图形△；
（2）分别写出对应点，，的坐标；
（3）请在图中的轴上找一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．
解：（1）如图，△即为所求．
（2）由图可得，点，，．
（3）如图，连接交轴于点，连接，
此时，
则点即为所求．
由图可得，点的坐标为．
22．（10分）2024年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空老师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了“太空冰雪”试验、液桥演示试验、水油分别试验、太空抛物试验等，以天地互动的形式演示了试验，并介绍与展示了空间科学设施．这场充溢奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：
．学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，．
．在这一组成绩的是
80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89
．成绩不低于90分为优秀．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查采用的方式是 抽样调查 （选填“全面调查”或“抽样调查” ，样本容量是 ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数．
解：（1）本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是：；
故答案为：抽样调查，50；
（2）成绩在这一组的共有16名，成绩在这一组的有（名，
补全频数分布直方图如下：
（3）（名，
答：该校七年级学生达到优秀的大约有104名．
23．（10分）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的度数
【解答】（1）证明：，
，
即，
在△与△中，
，
△△；
（2）解：△△，
，
，
．
24．（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：若购买3套甲型号和2套乙型号共用420元，买5套甲型号和4套乙型号共用740元．
（1）求每套甲型号、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，至少可以买乙型号多少套？
解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，每套乙型号“文房四宝”的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
（2）设购买乙型号“文房四宝” 套，则购买甲型号“文房四宝” 套，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为88．
答：至少可以买乙型号“文房四宝”88套．
25．（10分）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组对如图所示的课本上的一道例题进行了深入探究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上一点作角的平行线构造等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，过点作交于点，易证为等腰三角形．
【基本运用】（1）如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，重合部分是等腰三角形吗？为什么？
【类比探究】（2）如图3，中，与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、点，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；
【拓展提升】（3）如图4，四边形中，，为边的中点，且平分，连接，求证：．
【解答】【基本运用】（1）解：是等腰三角形．理由如下：
在长方形中，，
，
由折叠性质可知：，
，
，
是等腰三角形；
【类比探究】（2）解：；理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
同理：，
又，
；
【拓展提升】（3）证明：如图4，延长、交于点，
，
，，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和．
（1）若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上，其中，满足，点在第四象限，过点作轴于点，求的值；
（3）如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？请说明理由．
解：（1）和满足，
，，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
△是等腰直角三角形，
点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点，
点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的，
点坐标为，
故答案为：，，；
（2）轴，
，
，
又，
，
，
又，
△△，
，，
，
点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，
，
，
；
（3）；理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
轴恰好平分，
，
轴于点，
，
，
△△，
，
，，
，
轴，
轴，
，
，
，
，
又，
△△，
，
，
．