福建省龙岩市上杭县城区三校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份福建省龙岩市上杭县城区三校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解方程时，将方程化为形式，则的值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
5．如图，四边形是⊙O的内接四边形．若，则的度数为（ ）

A．138°B．121°C．118°D．112°
6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为
A．B．C．D．
7. 在平面直角坐标系中，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为一元二次方程两个根，则的值为（ ）
A. B. 0C. 7D. 11
9. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
那么关于它图象，下列判断正确的是（ ）
A. 开口向上B. 与x轴的另一个交点是(3，0)
C. 与y轴交于负半轴D. 在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小
10. 已知关于x的一元二次方程的解为，则抛物线与轴交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
12．一元二次方程根的判别式的值是______．
13．已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标是 ．
14．如图，△中，，，，将△绕点逆时针旋转得△，若点在上，则的长为 .

（第14题） （第15题）
15．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”.用几何语言可表述为：为⊙O的直径，弦于点，寸，寸，则直径的长为 .
16．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ．
（第16题）
三 解答题（本题共8小题，共86分．第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，第25题14分）
17．（1）解方程：； （2）解不等式组：
18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为1,0．
（1）画出关于轴对称的；
（2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的，并写出的坐标．
19．已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
20．如图，四边形内接于⊙O，为⊙O的直径，．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度．
21．已知抛物线经过点，且
（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）证明：直线与该抛物线有两个不同的交点．
22. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
23．根据以下素材，探索完成任务．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C．
（1）求C点的坐标；
（2）连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标；
25．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB＝10，OC＝OD＝8．
（1）如图1，连接AC、BD，问AC与BD相等吗？并说明理由．
（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间关系，并说明理由．
（3）若△COD绕点O旋转，当∠AOC＝15°时，直线CD与直线AO交于点F，直接写出AF的长．
参考答案
选择题：
1.C 2.A 3.C 4.C 5.C 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D
二、填空题：
11. 12.17 13. 14. 15.26 16.
三、解答题：
17．（1）解：，
，
，
，2分
，
解得；4分
（2）解：，
解不等式①得：，1分
解不等式②得：，即，3分
故原不等式的解集为．4分
18．（1）解：如图所示，即为所求，3分
（2）如图所示，即为所求，8分

19．解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，2分
即[﹣（k+1）]2﹣4×(14k2+1)＞0，5分
解得k＞327分
即当k＞32时，方程有两个不相等的实数根．8分
20.解：（1）是等腰直角三角形，证明过程如下：
为的直径，
，1分
，
，
，3分
又，
是等腰直角三角形．4分
（2）在中，，
，6分
在中，，，
．
即的长为：．8分
21.解：（1）抛物线y=ax2+ax+b过点，
∴a+a+b=0，即，1分
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+12)2-9a4，
抛物线顶点的坐标为，-9a4)；4分
（2）联立直线与抛物线解析式，即有：ax2+ax-2a=2x-2
可得ax2+(a-2)x-2a+2=05分
△=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4=3a-22，7分
由（1）知，且，
，△，8分
22.解：（1）由题意得每件涨价x元，
则每星期的销量为，（0≤x≤5且x为整数）；4分
（2）每星期的利润为W元，
，8分
∵x为整数，
∴当x=3或2时，W有最大值1560，9分
当x=3时，销量为120件，当x=2时销量为130件，
所以定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元.10分
23.解：（1）如图，以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系如图（答案不唯一）：

由题意可得，，顶点的横坐标为，1分
设大棚横截面所对应的抛物线解析式为，
，解得，4分
∴大棚横截面所对应的抛物线解析式为；5分
（2）符合要求的方案：
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
∴共需2根竹竿，
当时，，7分
当时，，9分
∴所需竹竿总长度为（米．10分
24.（1）解：将代入抛物线解析可得：
解得：．
∴C点的坐标为；4分
（2）设与轴的交点为，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，令，则，
解得：，，∴，∴，6分
在中，，解得：，∴，8分
设直线的解析式为，
将代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，9分
当时，
解得：或，10分
∴D点的坐标为：12分
25.解（1）结论：AC＝BD．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°．
∴∠AOC＝∠BOD．
在△AOC和△BOD中．
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；4分
（2）结论：BC2+AC2＝2OC2．
理由：连接BD．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD ∠CAO＝∠DBO＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴BC2+BD2＝CD2，
∴BC2+AC2＝2OC2；8分
（3）如图3﹣1中，当点C在AO的上方时，过点O作OH⊥CD于H．
∵OC＝OD＝8，∠COD＝90°，
∴CD=2OC＝82，
∵OH⊥CD，
∴CH＝HD，
∴OH=12CD＝42，
∵∠DCO＝∠CFO+∠AOC＝45°，∠AOC＝15°，
∴∠CFO＝30°，
∴OF＝2OH＝82，
∵OA＝10，
∴AF＝OF﹣OA＝82-10．10分
如图3﹣2中，当点C在OA的下方时，∠OFH＝∠C+∠AOC＝60°，
∴∠FOH＝30°，
∴FH＝2OF，
∵OF2＝FH2+OH2，
∴4FH2＝FH2+（42）2，
∴FH=463，
∴OF=863，
∴AF＝AO﹣OF＝10-863，
综上所述，满足条件的AF的长为82-10或10-863．12分x
……
﹣1
0
1
2
……
y
……
0
3
4
3
……
如何加固蔬菜大棚？
素材1
农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体A处，另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米．

素材2
为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1
确定大棚形状
结合素材1，以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2
探索加固方案
请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：
①从何处立第一根竹竿；
②共需多少根竹竿；
③所需竹竿的总长度（写出计算过程）．