山东省德州市崇德中学、东城学校2025届九年级上学期第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份山东省德州市崇德中学、东城学校2025届九年级上学期第一次联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列方程中,是一元二次方程的是( )
A.B.
C.D.
2．若关于x的一元二次方程有一个根是,则a的值为( )
A.B.0C.1D.或1
3．一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的边长是方程的根,则这个三角形的周长是( )
A.11B.11或13C.13D.以上选项都不正确
4．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加活动？设有x人参加活动,可列方程为( )
A.B.
C.D.
5．用配方法解方程,变形后结果正确的是( )
A.B.
C.D.
6．对于二次函数的图象的特征,下列描述正确的是( )
A.开口向上B.经过原点
C.对称轴是y轴D.顶点在x轴上
7．将抛物线先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,那么平移后所得新抛物线的表达式是( ).
A.B.
C.D.
8．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( ).
A.B.C.D.
9．已知抛物线经过,,三点,则,,的大小关系是( )
A.B.C.D.
10．抛物线与直线在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A.B.C.D.
11．为助力实现“双碳”目标,某企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知该企业生产某种零件的成本为10元/个,且规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现,该零件每周的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间满足一次函数,若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元,则每个零件的售价应定为( )元.
A.25B.20或40C.40D.20
12．如图是抛物线图象的一部分,抛物线的顶点坐标,与x轴的一个交点,直线与抛物线交于A,B两点,下列结论：
①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是；⑤当时,有,
其中正确的是( )
A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤
二、填空题
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围是______.
14．若抛物线有最小值,则常数m的值为______.
15．如图,大正方形的边长为,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数与的图像,则图中阴影部分的面积是______.
16．若抛物线的最低点在x轴上,则______.
17．已知二次函数(h为常数),当时,函数的最大值为,则h的值为______.
18．如图抛物线的图像与x轴,y轴分别交于A、B、C三点,点Q在抛物线上,若请你写出点Q的坐标______.
三、解答题
19．解方程：
(1)
(2)
(3)
20．如图,要用篱笆(虚线部分)围成一个矩形苗圃,其中两边靠墙,墙长为9米,墙的长为6米,中间用平行于的篱笆隔开,已知篱笆的总长度为18米.
(1)设矩形苗圃的一边的长为,矩形苗圃面积为,求y关于x的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时,所围矩形苗圃的面积为？
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.
22．如图,已知抛物线的顶点为,抛物线与y轴交于点,与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),点P是抛物线对称轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当的周长最小时,求点P的坐标.
23．若一元二次方程有两个实数根,且这两个实数根为相邻的偶数,则称此方程为“对偶方程”.例如：方程的两个根为,,则方程是“对偶方程”.如果关于x的一元二次方程是“对偶方程”,求的值.
24．已知二次函数.
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)当时,函数图象的最高点为M,最低点为N,且最高点的纵坐标为,求点M和点N的坐标；
(3)对于该二次函数图象上的两点,,当,时,均有,请结合图象,直接写出t的取值范围.
25．在数学活动课上,小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究,如果将二次函数图象上的点的横坐标不变,纵坐标变为A点的横、纵坐标之和,就会得到的一个新的点,他们把这个点定义为点A的“简朴”点.他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线,于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”.例如,二次函数的“简朴曲线”就是,请按照定义完成：
(1)点的“简朴”点是________；
(2)如果抛物线经过点,求该抛物线的“简朴曲线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是,若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为,当时,求n的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：A、是一元二次方程,符合题意；
B、当时,不是一元二次方程,不符合题意；
C、方程整理得,未知数的最高次不是2,不是一元二次方程,不符合题意；
D、不是整式方程,不是一元二次方程,不符合题意；
故选：A.
2．答案：A
解析：∵关于x的一元二次方程有一个根是
∴
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
故选：A.
3．答案：C
解析：解方程,得：或,
当时,2,3,6不能构成三角形,舍去；
当时,3,4,6构成三角形,周长为.
故选C.
4．答案：A
解析：设有x人参加活动,每个人与其他人握手的次数均为次,并且每个人与其他人握手均重复一次,由此可得：
,
故选：A.
5．答案：C
解析：∵,
∴
∴,即,
故选：C.
6．答案：D
解析：在二次函数中,
∵,
∴图像开口向下,故A错误；
令,则,
∴图像不经过原点,故B错误；
二次函数的对称轴为直线,故C错误；
二次函数的顶点坐标为,
∴顶点在x轴上,故D正确.
故选：D.
7．答案：C
解析：抛物线先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：.
故选：C.
8．答案：D
解析：A.由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，错误；
B.由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，，由直线可知，，错误；
C.由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误；
D.由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知，，正确，
故选D.
9．答案：B
解析：∵,,
∴抛物线开口向上,对称轴是直线,
∴当时,y随x的增大而减小；关于直线的对称点是,
∵,
∴,
故选：B.
10．答案：A
解析：A、由抛物线可得：,由一次函数图象得：,且抛物线与直线与y轴的交点相同,故本选项正确,
B、由抛物线可得：,由一次函数图象得：,则a的取值矛盾,故本选项错误；
C、由抛物线可得：,由一次函数图象得：,则a的取值矛盾,故本选项错误；
D、由抛物线可得：,,由一次函数图象得：,,则c的取值矛盾,故本选项错误；
故选A.
11．答案：D
解析：根据题意,得,
解得,,
又售价不能超过35元/个,
∴,
即每个零件的售价应定为20元,
故选：D.
12．答案：C
解析：∵抛物线的顶点坐标,
∴抛物线的对称轴为直线,
∴,所以①正确；
∵抛物线开口向下,
∴,
∴,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴,
∴,所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标,
∴时,二次函数有最大值,
∴方程有两个相等的实数根,所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为
而抛物线的对称轴为直线,
∴抛物线与x轴的另一个交点为,所以④错误；
∵抛物线与直线交于,
∴当时,,所以⑤正确.
故选C.
13．答案：且
解析：由题意得：,解得：,
∵,
∴a的取值范围是且,
故答案为：且.
14．答案：2
解析：∵抛物线有最小值,
∴(开口向上),
解得,
即,
故答案为：2
15．答案：3
解析：∵函数与的图象关于x轴对称,
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半,
∵边长为的正方形面积为6,
∴图中的阴影部分的面积为3,
故答案为：3.
16．答案：2
解析：抛物线的最低点在轴上,
方程,只有一根,
,
解得：或,
抛物线由最低点,
,即,
；
故答案为2.
17．答案：或7
解析：∵二次函数的图象开口向下,对称轴为,
∴当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小,
∴若,即时,则当时,函数y取最大值,即,
解得：或(舍去),
若,即,则当时,函数y取最大值0,不符合题意；
若,即时,则当时,函数y取最大值,即,
解得：(舍去)或,
综上,h的值为0或,
故答案为：或7.
18．答案：
解析：,
令,
解得,,,
∴,
当时,,即,
如图,作于D,过D作轴于F,过C作于E,设,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,,
∴,
∴,,
又∵,
∴,,
∴,
设直线的解析式为,
将,代入得,,
解得,,
∴直线的解析式为,
联立,
解得,,,
∴,
故答案为：.
19．答案：(1),
(2),
(3),
解析：(1)∵,
∴,
∴或,
解得,；
(2)∵,
∴,
∴,
∴或,
解得,；
(3)∵,
∴,
∴,
∴或,
解得,.
20．答案：(1)
(2)当x为5时,所围矩形花圃的面积为
解析：(1)∵在矩形中,,,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
,
,
∵墙长为9米,墙的长为6米,
∴,
∴
；
(2)由题意得,,
解得：(舍去),.
答：当x为5时,所围矩形花圃的面积为.
21．答案：（1）50%
（2）能，理由见解析
解析：（1）设进馆人次的月平均增长率为x.由题意得.
化简得，
解得，（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50%.
（2）能.理由：进馆人次的月平均增长率为50%，
第四个月的进馆人次为（人次），，
校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)抛物线的顶点为,
设抛物线的解析式为,
在抛物线上,,
解得.
抛物线的解析式为；
(2)中,
令,则
解得,,
,.
∵是定值,
∴求的周长最小就转化为求的最小值,
由抛物线的对称性,知点C与点D关于抛物线的对称轴对称,
∴,当点B,P,D三点共线时,取得最小值,
连接交直线于点P,此时的值最小.
设直线的解析式为,
,
解得：
故直线的解析式为.
当时,.
.
23．答案：0
解析：根据题意设两根为,,
则,,
消去m得：,
化简得：,
∴
解得：,
∴.
24．答案：(1)直线
(2),
(3)或
解析：(1)该二次函数图象的对称轴是直线；
(2)∵该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,且,最高点的纵坐标为,
∴当时,y的值最大,
∴,
把代入,解得.
∴该二次函数的表达式为.
当时,y最小,且,
∴N.
(3)∵,
∴抛物线的开口向上,
∵抛物线的对称轴是直线,且,时,均有,
∴当或时,满足题意,
解得：或.
25．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)根据题意可知,点的“简朴”点是,
∴点的“简朴”点的纵坐标为,即.
故答案为：.
(2)将点代入抛物线得：,解得：,
即抛物线的解析式为,
∴抛物线的“简朴曲线”为,
即.
(3)根据题意可知,点是点的“简朴”点,
∴,解得：,即,
将点代入抛物线得：,则,
∴抛物线为,
∴抛物线的“简朴曲线”为：
,
即
∵其顶点坐标为,
∴,
将n看作c的函数,
∵,
时,n有最大值,且最大值为1,
当时,,n有最小值,且最小值为,
∴当时,n的取值范围是.