超几何分布和二项分布 ——从一道高考数学真题错解谈起

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——从一道高考真题错解谈起
河南省平顶山市第一高级中学 邮编：467000
摘要：2023年高考数学全国甲卷19题是概率统计问题，文章通过几种解法引出对超几何和二项分布的辨析，并对教学提出了实操性建议.
关键词：超几何分布；二项分布；区别
在新高三的教学中，让学生练习了2023年全国高考数学甲卷19题，对于第一小问，学生们给出了三种不同解法，争论激烈，甚至有同学拿出某考卷给出的“标准答案”，以此证明自己的解法的正确性.这不由的让我反思，如何在教学中让学生能正确区分超几何分布和二项分布.
1 真题呈现
（2023年高考数学理科全国甲卷第19题） 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
（1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
（2）略
本题主要考察了离散型随机变量的分布列以及独立性检验问题.第二问没有分歧，下面主要研究第一小问的解法.
2解法赏析
解法1：两只小鼠分在两个组，每只小白鼠都各有两种分配方案，总的分配方案为4种，两只小白鼠全部分配到试验组有1种，有一只分配到对照组有2种情况，全部分配到对照组的有1种情况，
的可能取值为，
由古典概型的概率计算公式可得：
，，.
所以的分布列为：
解法2：每只小白鼠都可能被分到对照组和试验组，所以1小白鼠被分到对照组的概率为，
依题意，的可能取值为，
,
，.
所以的分布列为：
解法3：依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
3寻根求源辨真假
三种做法的期望一样，但是概率分布列不同，孰对孰错？
我们先看教材.在人教A版《选择性必修》第三册的7.4.2节，有这样一个问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.这个问题旨在让学生通过具体情景感知，如果采用放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数x服从二项分布，如果采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但是每次抽取不是同一个实验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，x服从超几何分布.也就是说，有无放回是区别二项分布和超几何分布的重要特征.
结合本题，小白鼠抽取，显然是不再放回的，也就是属于无放回抽取.从而本题应该是超几何分布.这样解法3就是正确的做法，做法1错误在于把特定的两只小白鼠等同与其他小白鼠，按照每只小白鼠被抽到的可能性相等，事实上，这两只小白鼠被抽到的可能性是不同于其他小白鼠的，相当于40件产品中，有2件次品，38件正品，次品和正品被抽到的可能性不等.解法2错误在把抽两只小白鼠当作2次独立重复实验，事实上每次抽取并不独立，会影响第二次抽取.
4教学启示
一般的，我们辨别超几何分布还是二项分布，有两点，其一是看总体数大小，其二是有无放回.当总体数目较大或者没有给出时，或者是无放回抽取时，属于二项分布，反之，为超几何分布.
事实上，很多时候，学生面临的很多试题中，并没有明确说明是有放回还是无放回抽取，这就造成很多学生无法正确辨别采用什么分布，从而做错.
著名数学教育家波利亚认为：“数学教学的第一要务就是要加强解题训练”，教师通过例题习题，可以让概念具体化，通过例题习题及时纠正学生对概念理解的偏差，这就要重视教材，从教材出发，通过教材中的经典案例，剖析超几何分布和二项分布的内在联系与本质区别，让学生在具体的情景中抓住关键，从而提高辨识，避免混淆不清.毕竟教材中的例习题 是经过家精心构思、 复推敲后选定的，是教材知识点的辅助和补充，有利于学生们把握数学概念和内涵.例如教材中给出这样一个习题：
案例 一个车间有3台车床，它们各自独立工作，设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列
（1）3台车床型号相同，它们发生故障的概率是20%.
（2）3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型号车床发生故障的概率是10%，B型号车床发生故障的概率是20%.
在这里并没有明确的说明是“有放回”还是“无放回”的抽取，但是，（1）中车床型号相同，且发生故障的概率相同，可以理解为在相同试验条件下进行3次独立试验，满足n重伯努利试验的条件，所以x服从的是二项分布，而在（2）中车床分不同的型号，有差异，每种型号车床发生故障的概率有差异，那么发生故障的概率跟车床有关，所以服从超几何分布.
所以在教学中，尤其是概率统计这一部分，要精选例题、习题，从而让学生深刻理解不同分布的区别与联系，面对问题的时候，才有有的放矢提高解决问题的准确性.