陕西省西安市鄠邑区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市鄠邑区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】集合，所以.
故选：C.
2. 已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为中恰有三个元素，所以或或，
结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.
故选：D．
3. 若，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，若，令，，则，，，故A不正确；
对于B、C，令，，，但，，故B、C不正确；
对于D，，则，，
所以，故D正确.
故选：D.
4. 已知命题，，若为假命题，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意可知，为真命题，
由于时等号成立，所以.
故选：D.
5. 已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，故，
所以.
故选：A.
6. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数是奇函数，不符合题意；
函数是偶函数，且在上单调递增，不符合题意；
函数是偶函数又在上单调递减，符合题意.
故选：D.
7. 函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果时，那么
【答案】B
【解析】，和的图象都过点，的图象都过点.
A选项，如果，根据图象可知：，A选项正确；
B选项，如果，根据图象可知：或，B选项错误；
C选项，如果，根据图象可知：，C选项正确；
D选项，如果时，根据图象可知：，D选项正确.
故选：B.
8. 如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当点在上时，，
当点在上时，
，
当点在上时，，
其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9. 下列叙述正确的是（ ）
A 若，则
B.
C. ，，则
D. 有个非空子集
【答案】BD
【解析】是个集合，所以，A错误；
是的一个子集，所以，B正确；
是点集，是数集，所以集合与集合没有关系，C错误；
的非空子集有，与，共3个，D正确.
故选：BD.
10. 对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 函数是偶函数
B. 方程有三个解
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数有4个单调区间
【答案】ABD
【解析】根据函数与，
画出函数的图象，如图：
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD.
11. 已知正数，满足，则（ ）
A. 有最大值B. 有最小值8
C. 有最小值4D. 有最小值
【答案】ACD
【解析】A：，则当且仅当，时取等号，正确；
B：，当且仅当时取等号，
错误；
C：，当且仅当时取等号，正确；
D：，故最小值为，
正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，所以，所以.
又因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以，所以.
13. 当时，不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】依题意，，且函数的开口向下，两个零点为和，
所以不等式的解集为.
14. 设，则________．
【答案】7
【解析】，其中，
．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 集合，，.
（1）求
（2）现有两个条件：
①，
②条件，，若是的充分不必要条件；
在这两个条件中任选一个填到横线上，并解答本题，选择多个条件作答时，按第一选择给分.
已知___________，求实数的取值范围.
解：（1），，或，
或.
（2）选①，由可得，当时，解得，
当时，解得综上所述，.
选②，由是的充分不必要条件，可得且即，
当时，解得，
当时，且两等号不能同时取得，解得，
综上所述，.
16. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若，的解集为，求最小值.
解：（1）当时，，则，即，
解得或，所以不等式的解集为.
（2）因为的解集为，所以方程的解为，且，
则，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，所以最小值为.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明.
解：（1）由得，
由函数是定义在上的奇函数得即，
联立解得，，，
经过检验，满足题意.故.
（2）在上单调递减.
，，且，
，
，，又，，，
，，，
即，在上单调递减.
18. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
解：（1），，
当且仅当时，即取“=”，符合题意，
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2），
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
19. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.如：函数在区间上的值域为，则为函数的“和谐区间”.
（1）请直接写出函数的所有的“和谐区间”；
（2）在直角坐标系中画出函数的图象；
（3）若为函数的一个“和谐区间”，求的值.
解：（1）设函数一个“和谐区间”为，
所以在上的值域为，
由于函数在上单调递增，
所以有即a，b是的根，
方程的根为，，，
所以函数的所有的“和谐区间”为、、.
（2）函数的图象如下.
（3）是函数的一个“和谐区间”，
所以在上的值域为，
由的图象可知：，令，
解得，或；
当时，值域为，则；
当时，值域为，所以，
综上所述，的值为1或2.