河南省驻马店市2024-2025学年高二上学期开学联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省驻马店市2024-2025学年高二上学期开学联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知向量，则， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解不等式得，即，
所以.
故选：C.
2. 已知为虚数单位，，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，
所以的共轭复数.
故选：A.
3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由正弦函数的定义可知，
再利用诱导公式知.
故选：B.
4. 已知向量，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】因为，则，
又因为，即，
所以，即.
故选：C.
5. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A，若，则直线可能平行，异面，相交，故A错误；
对于B，若，则直线可能平行，异面，故B错误；
对于C，若，，则与可能平行或相交，故C错误；
对于D，若，又，则，故D正确.
故选：D.
6. 已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】D
【解析】由题意可知：，
又因为，即，
可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以该矩形周长的最小值为16.
故选：D.
7. 已知函数在上有且仅有1个零点，则实数（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】因为定义域为R，
且，可知为偶函数，
若函数在R上有且仅有1个零点，由对称性可知的唯一零点为0，则，解得；
若，则，
因为，即，当且仅当时，等号成立，
且，即，当且仅当时，等号成立，
可知，当且仅当时，等号成立，
所以有且仅有一个零点0，符合题意；
综上所述：.
故选：A.
8. 记的三个内角的对边分别为，若则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，且，
则，即，
可得，
因为，
则，
即，可得，
所以的取值范围为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 与的最小正周期相同
B. 与有相同的最大值
C. 与的图象有相同的对称轴
D. 曲线与在上有4个交点
【答案】ABD
【解析】对于A，因为的周期为，所以的最小正周期为，
又函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，的最大值为1，的最大值为1，故B正确；
对于C，的对称轴为，，
令，解得，，
所以的对称轴为，，
所以与的对称轴不同，故C错误；
对于D，如图作出与的图象，与在上有4个交点，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B. 不可能为互斥事件
C. 若，则事件相互独立
D. 若相互独立，则
【答案】BC
【解析】对于A，若，则事件相互独立，无法确定，故A错误；
对于B，若为互斥事件，则，
所以，故不可能为互斥事件，故B正确；
对于C，若，所以事件相互独立，故C正确；
对于D，若，互相独立，则相互独立，
所以.故D错误.
故选：BC.
11. 已知圆台的上､下底面圆的直径分别为2和6，母线长为4，则下列结论正确的是（ ）
A. 该圆台的高为
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台的外接球的表面积为
D. 挖去以该圆台的上底面为底面､高为2的圆柱，剩余的几何体的表面积为
【答案】BCD
【解析】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为，
由题意可知：，
则，
对于选项A：该圆台的高为，故A错误；
对于选项B：圆台的体积为，故B正确；
对于选项C：由题意可知：外接球的球心，设外接球的半径为，
因为，即，解得，
所以该圆台的外接球的表面积为，故C正确；
对于选项D：由题意可知：剩余的几何体的表面有：上、下底面圆面，圆台、圆柱的侧面，
所以剩余的几何体的表面积为，故D正确；
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】因为，解得，
所以.
13. 设的三个内角的对边分别为，已知，则__________.
【答案】
【解析】由余弦定理知，
所以，所以.
14. 已知分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则__________.
【答案】30
【解析】因为，则，
可得，即，
若，则，当且仅当时，等号成立，
即在内的最小值为，
所以；
若，则，当且仅当时，等号成立，
即在内的最大值为，
所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1），且，
.
的值为.
（2）
.
故的值为.
16. 某农业研究所为调研新品种玉米的亩产量分布情况，从甲镇种植的旧品种玉米中随机抽取100亩的产量，并得到亩产量的平均数，中位数；从乙镇种植的新品种玉米中随机抽取100亩的产量，按亩产量进行分组（每组为左闭右开区间），得到亩产量的频率分布直方图如下：
（1）每组数据以组中值为代表，估计乙镇种植的新品种玉米亩产量的平均数，中位数；并根据“同一品种玉米亩产量的平均数与中位数差的绝对值越小，玉米亩产量越稳定”，比较甲､乙两镇种植的不同品种玉米亩产量的稳定情况.
（2）现按亩产量用分层随机抽样的方法，从乙镇亩产量在和内的样本中共抽取6亩，再从这6亩中随机抽取2亩深入调研分析，求抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率.
解：（1）根据题意，，
，
因为，，
所以乙镇种植的新品种玉米谁更稳定.
（2）由频率分布直方图，亩产量在的有10亩，亩产量在的有5亩，
所以样本中共抽取的6亩有亩在，有2亩在，
设在的4亩为，，，，在的2亩为，
则从这6亩中随机抽取2亩的情况有：
,
,
,
,
,
所以抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率为.
17. 如图，在四棱锥中，，，侧面平面.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积.
解：（1）因，即，所以，
如图所示，取中点E，连接，
因为，所以，
又侧面平面，侧面平面，
所以底面，
而底面，所以，
因为，，平面，
所以平面,
因为平面，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）由上知底面，且，
则直线与平面所成角为，
即，
，
故三棱锥的体积为.
18. 已知函数的图象的对称中心为.
（1）求的值；
（2）用函数单调性的定义证明在其定义域上单调递减；
（3）若方程在上有解，求实数的取值范围.
解：（1）根据题意有，
整理得，
即，
所以，
经检验，符合题意；
（2）由上知，令，
不妨设令，
则，
易知，
又，所以，
则，即，
则在定义域上单调递减，证毕；
（3）方程在上有解，
即两个函数与有交点，
令，设，则时，，
则，显然时，该函数单调递减，
而单调递增，
根据复合函数的单调性知在时单调递减，
结合（2）的结论有单调递减，
所以，而接近0时，y接近正无穷，
所以，即实数的取值范围为.
19. 已知的三个内角的对边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若，求的面积；
（3）若为锐角三角形，当取得最小值时，求的值.
解：（1）易知，
整理得，
即，
所以，
因为，
所以，即,
所以，证毕；
（2）由（1）知，则，
如图所示作，垂足为D，
由题意知，
根据勾股定理有，且，
所以，故；
（3）由（1）知
，
根据正弦定理知：
,
又为锐角三角形，即，
则,
所以，当且仅当，
即时取得最小值.