山西省吕梁市部分学校2024-2025学年高二上学期月考数学】试卷（解析版）

这是一份山西省吕梁市部分学校2024-2025学年高二上学期月考数学】试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知向量若则等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量若则（ ）
A. -2B. 1C. D. 1
【答案】D
【解析】因为，
所以，即，
解得．
故选：D．
2. 已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，则，所以，
所以，
故选：C.
3. 若平面的法向量，直线l的方向向量，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】因为，所以或.
故选：D.
4. 已知，，，为空间中不共面的四点，且若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】因为，，，四点共面，所以存在，使得，
故,整理得
，又，
所以，所以，
所以，
当时，函数取最小值，且最小值.
故选:D.
5. 在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，.
故选：A.
6. 已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在基底下的坐标为，得，
设向量在基底下的坐标是，
则，
所以解得，
故选：C.
7. 在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，

以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，
则，，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，
又，
所以点到平面的距离为，
故选：D.
8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】取的中点为，连接，，，因为，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以，
又底面是矩形，所以，
以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
由，，，得，
所以，，，
则，
设，
则，，
，
，
因此点到直线的距离
，
故当时，取最小值，
即线段上的动点到直线的距离的最小值为．
故选：C．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A. 对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若，，则
D. 若所在直线两两共面，则共面
【答案】ACD
【解析】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，
即，A错；
若是空间的一个基底，则不共面，
若共面，则，，
显然无解，即不共面，
故也是空间的一个基底，B对；
若，，在空间中不一定平行，C错；
若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，
即不一定共面，D错.
故选：ACD.
10. 已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ）
A. 若，则点在棱上
B. 若，则点在线段上
C. 若，为棱的中点
D. 若，则点在线段上
【答案】ABD
【解析】作出三棱柱，如图，
对于A，当时，，则，
所以点在棱上，故A正确；
对于B，当时，，
所以点在线段上，故B正确；
对于C，当时，由B知，所以为棱的中点，故C错误；
对于D，当时，，
所以，则，即，
所以点在线段上，故D正确.故选：ABD.
11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）

A. ，，，四点共面
B. 与所成角的大小为
C. 在线段上存在点，使得平面
D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
【答案】AD
【解析】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，

则，
所以，解得，
故，即，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，,
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 点关于平面的对称点坐标为______.
【答案】
【解析】求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变.
故点关于平面的对称点坐标就是.
13. 如图，已知二面角的大小为，，，，，且，，则______.

【答案】
【解析】因为二面角的大小为，所以与的夹角为，
又因为，
所以，所以.
14. 已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为______.
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
设，，则，则，
所以，，
显然与不可能同向，
因为是锐角，所以，
则，解得或，
又，所以，又，
所以，即线段长度的取值范围为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
解：（1）由，则存在实数，使，即，
所以，解得，所以.
则，所以.
（2）由，可得，即，解得，
又由，可得，解得，
当时，，，
所以.
当时，，，
所以.
16. 如图，在四面体中，，,,，点，分别在棱，上，且，.

（1）用，，表示，；
（2）求异面直线，所成角的余弦值.
解：（1）因为点，分别在棱，上，且，，
所以，，
所以，
；
（2）因，，，，
所以，，
所以，
，
，
所以，
即异面直线，所成角的余弦值为.
17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M，N分别是AD，CQ的中点．
（1）证明：；
（2）若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度．
解：（1）∵M是AD中点，，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面QAD，
∴平面ABCD，又平面ABCD，∴．
（2）取BC中点F，连接MF，∵M，F分别为AD，BC中点，，
∴，又，∴；
以F为坐标原点，，正方向为x，y轴正方向，过F作z轴，可建立如图所示空间直角坐标系
设，∵，，
∴，，，，，
∴，，；
设平面QBC法向量，则，
令，解得，，∴；
∴，
解得或，故QM的长为或.
18. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，AB的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线CE与平面所成角的正弦值.
解：（1）取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
19. 如图，在三棱台中，是等边三角形，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）.

（1）证明:平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值的最小值.
解：（1）因为是等边三角形，点是棱的中点，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）在平面中，过点作,
由（1）可知，，所以，，
又平面，平面，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为是等边三角形，，
所以，，，
因为 ，所以
设所以，
所以
设平面的法向量为，
又
所以，即 ，
令，得所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为 ，
又
所以 ，即 ，
令，得
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，
设，因为，
所以，
所以，
所以，
设，则由复合函数单调性可知
在时单调递增，
所以当 时，即时，取到最小值.