江苏省南通市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省南通市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了如图，已知，且，，则的度数是，若，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置.
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．图中所示的几个图形是国际所用的交通标志，其中不是轴对称图形的是：（）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．(a2)3=a6B．a2.a3=a6C．a2+ a3=a5D．a6÷a3=a2
3．在平面直角坐标系中，点（3,-5）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3,5）B．（-3,-5）C．（-3,5）D．（-5,3）
4．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，，，添加以下条件之一，仍不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知，且，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．若，，则的值为（ ）
A．B．C．5D．10
7．如图，中，平分，于点E，若的面积是8，，，则的长度为（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．如图，中，，，D，E，F分别在上，且，．若，，则AC的长度为（ ）
A．7B．6C．5D．4
9．学校要举行80周年校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．某学生提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建舞台（阴影部分），花坛和舞台构成长方形，舞台的面积记为．具体数据如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，分别为边上的高，连接，过点D作交于点F，过点F作交于点G，下列结论：①；②若，，则；③；④G为的中点．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．计算：（﹣2a3）2=．
12．化简的结果是．
13．如图，中，DE是AB的垂直平分线，如果，的周长为8，那么的周长为．
14．如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则．
15．若，，其中m，n为正整数，则．（用含有a，b的式子表示）
16．如图，在中，，D是AC上一点，连接BD，满足，则的度数是．
17．观察以下等式：
； ；
； ．
运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数，，则的最大值为．
18．如图，为等腰三角形，，，，，F为线段AD上一动点，则的最小值为．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）；（2）．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
（1）画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在y轴上找一点P，使得最小．
21．先化简，再求值：，其中、．
22．如图，在和中，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．如图，在中，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与的边交于点D，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，求证：垂直平分．
24．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1．
（1）计算，商式是________，余式是________；
（2）计算，结果为________；
（3）已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值．
25．如图，，E是的中点，连接．

（1）若平分，求证：是的平分线；
（2）在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________；
（3）若，求证：是的平分线．
26．在中，，，D是平面内一点，，点D关于直线的对称点为E，连接．
（1）如图1，当D在边上时，直接写出的度数为________；
（2）如图2，D为内一点，且，连接，取的中点F，连接．依题意补全图2，并求证；
（3）在（2）的条件下，作射线交于G，在射线上有一点H，满足，延长交于K，连接，若，求的面积．
参考答案
1．C
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可．
【详解】解：A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
2．A
【分析】此题考查整式的计算，根据幂的乘方，同底数乘除法，合并同类项法则分别计算并判断，熟练掌握计算法则是解题的关键．
【详解】解：A．(a2)3=a6，故该项正确，符合题意；
B．a2.a3=a6，故该项错误，不符合题意；
C．a2+ a3=a5，故该项错误，不符合题意；
D．a6÷a3=a2，故该项错误，不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】此题考查坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查三角形全等判定，由全等三角形的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
A、由不能判定，故选项符合题意；
B、由判定，故选项不符合题意；
C、由判定，故选项不符合题意；
D、由判定，故选项不符合题意．
故选：A．
5．D
【分析】此题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和求出的度数．
【详解】解：∵，且，，
∴
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，再由即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
则，
∴，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的点到角两边的距离相等是解题的关键．
如图：作于F，先利用角平分线的性质得到，再根据求解即可．
【详解】解：如图：作于F，
∵平分，、，
∴，
，，，
，即，解得：．
故选：D．
8．C
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，过点F作，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，由此求出AC的长度．
【详解】解：过点F作，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】此题考查列代数式，平方差公式计算法则，根据图形分别求出阴影部分的面积，由此得到答案．
【详解】解：方案一：如图1，，
方案二：如图2，
∴，则，
故选：C．
10．B
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
证明，即可证得，由此判断①；证明，由此判断②；延长交于点N，证明，由此判断③；无法判断④．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，故②正确；
延长交于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴，故③正确；
无法证明G为的中点，故④不正确；
故选B．
11．4a6．
【分析】根据积的乘方运算法则进行运算即可.
【详解】原式
故答案为
【点睛】考查积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.
12．
【分析】先算单项式乘多项式，再合并同类项.注意每项的正负号.
【详解】,故答案为：x.
【点睛】本题考查了整式的化简：单项式乘多项式及合并同类项.正确掌握相关的运算法则是解题关键.
13．14
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，利用的周长为8得到，由此求出的周长．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，
∴的周长，
故答案为：14．
14．
【分析】本题主要考查了等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，则由等边对等角得到，据此根据线段的和差关系可得答案．
【详解】解：∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．##
【分析】此题考查整式的乘法公式—幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆用，根据幂的乘方逆运算将整式变形，代入，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为．
16．
【分析】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质：等边对等角，掌握理解等腰三角形的性质是解题关键．设，根据等边对等角求出，再根据三角形内角和定理得到，求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得，
故答案为：．
17．100
【分析】本题主要考查了多项式运算中的规律探索，根据已知等式得到计算规律，并解决问题是解题的关键，根据已知得到，再根据偶次方的非负性求出最大值．
【详解】解：∵；
；
；
．
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴的最大值为100，
故答案为：100．
18．8
【分析】此题考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，证明是等边三角形，得到，再证明，推出，由此得到，当三点共线时，有最小值，即为线段的长．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，即，
∴当三点共线时，有最小值，即为线段的长，
∴的最小值为8，
故答案为8．
19．（1）
（2）
【分析】此题考查整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键，
（1）先计算乘方，再计算除法，最后合并同类项；
（2）先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，再合并同类项．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（1）见解析，
（2）
（3）见解析
【分析】此题考查画轴对称图形，轴对称的性质，
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）利用网格特点直接列式求出三角形面积；
（3）作点C关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为点P．
【详解】（1）解：如图，即为所求；；
（2）的面积；
（3）如图，点P即为所求；
21．，1．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则成为解题的关键．
先运用整式的混合运算法则化简，然后将、代入计算即可．
【详解】解：
；
当、时，原式．
22．（1）证明见解析
（2）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定：
（1）利用证明得到，则可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
23．（1）见解析
（2）见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据尺规作图作线段的垂直平分线，并按要求标注即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得，从而得到、，可证，然后根据即可证明可得，即点D在的垂直平分线上；又，可得点A在的垂直平分线上；然后根据垂直平分线的判定定理即可证明结论．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
，
又∵，
，
又∵，，
∴，
∴，即点D在的垂直平分线上，
∵，
∴点A在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
24．（1）；
（2）
（3）
【分析】本题主要考查了多项式除以多项式：
（1）仿照题意利用短除法求解即可；
（2）仿照题意利用短除法求解即可；
（3）根据题意可得的余数为0，则有，据此可得答案．
【详解】（1）解：
∴商式是，余式是，
故答案为：；；
（2）解：
∴；
（3）解：∵M是一个整式，m是常数，，，
∴的余数为0，
∴
∴，
∴．
25．（1）见解析
（2）5
（3）见解析
【分析】（1）如图：过E作，由角平分线的性质定理可得，再结合已知条件可得，进而得到，最后根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（2）先证明可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答；
（3）如图：延长交于点N，再证明可得，进而得到是线段的垂直平分线，即；最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：如图：过E作，

∵平分，，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；

同理可得：，
∴．
故答案为：5．
（3）证明：如图：延长交于点N，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是的平分线（三线合一）．

【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键．
26．（1）30
（2）见解析
（3）4
【分析】（1）求出，连接，，证明是等边三角形，也是等边三角形，得到，由此推出垂直平分，得到；
（2）补全图形，如图所示，连接，求出，得到，证明，推出，由轴对称可得，证得，由此推出，即可证得；
（3）证明，得到，，根据，证明，得到，求出，即可得到的面积．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
连接，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由轴对称性质得，
∴，也是等边三角形，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴，
故答案为：30；
（2）补全图形，如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
由轴对称可得
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴
∴，
∴的面积．
【点睛】此题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，等边对等角，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．