2024-2025学年重庆十一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆十一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知{a,b,c}是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是( )
A. {a,b,a+c}B. {a,b,a+2b}
C. {a+2c,b,c}D. {a,a+b,a+c}
2.如图，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记AB=a，AC=b，AD=c，则BE=( )
A. a−12b+12cB. −a+12b+12c
C. 12a−b+12cD. −12a+b+12c
3.已知点A(a,−3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,−1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是( )
A. −2，3B. −1，2C. 1，3D. −2，2
4.已知向量a=(2,−1,1)，b=(1,x,1)，c=(1,−2,−1)，当a⊥b时，向量b在向量c上的投影向量为( )(用坐标表示)
A. (−1,2,1)B. (1,2,1)C. (−1,−2,1)D. (1,2,−1)
5.空间内有三点P(3,1,−4)，E(2,1,1)，F(1,2,2)，则点P到直线EF的距离为( )
A. 14B. 3 2C. 3D. 2 3
6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且AB=AD=AP=3，EC=2PE，则AE⋅DE=( )
A. −3
B. 3
C. 2
D. 5
7.正方体不在同一表面上的两顶点A(−1,2,−1)，B(3,−2,3)，则正方体的体积是( )
A. 4B. 4 3C. 64D. 192 3
8.已知向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为( )
A. (−∞,−6)B. (−∞,−6)∪(−6,103)
C. (103,+∞)D. (−∞,103)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是( )
A. 点P(1,−1,0)与点Q(1,1,0)关于z轴对称
B. 点A(−3,−1,4)与点B(3,−1,−4)关于y轴对称
C. 点A(−3,−1,4)与点B(3,−1,−4)关于平面xOz对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10.下列说法错误的是( )
A. 若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B. 若a//b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb
C. 若AB,CD共线，则AB//CD
D. 对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
11.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是( )
A. 若AP=λAB+μAA1，则CP的最小值为2
B. 若AP=λAB+AA1，则三棱锥P−ABC的体积为定值
C. 若AP=AB+λAC1，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为2 77
D. 若AP=12AA1+13AB+16AC，则平面PBC截三棱柱ABC−A1B1C1所得的截面面积为 7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(4,1,3)、B(2,−5,1)，C为线段AB上一点，且AB=3AC，则C的坐标为______．
13.在四面体ABCD中，BC=1，BD=2，∠ABC=90°，BC⋅DA=− 3，则∠CBD= ______．
14.如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，M是AC的中点，PB=1，则EP⋅EM的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,2,2)，b=(−2,1,−1)．
(1)求a⋅b；
(2)求|2a−b|；
(3)求cs〈a,b〉．
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F分别是BD，B1C的中点．
(1)求异面直线A1E与BF所成角的余弦值；
(2)求点A1到平面BDF的距离．
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)求AE的长；
(2)求异面直线AE和BC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且BC= 2AB，∠ABC=45°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=BC．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在点Q，使得直线AD与平面BDQ所成角的正弦值为 1010？若存在，求CQCP的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角C−OA−B，A−OB−C，B−OC−A分别为α，β，γ，则球面三角形ABC的面积为S球面△ABC=(α+β+γ−π)R2．

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
(2)将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC=θ1，∠BOC=θ2，∠AOB=θ3．
①证明：csθ1+csθ2−csθ3=1；
②延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为π4，π3，且BE=λBD，λ∈(0,1]，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.A
5.A
6.B
7.C
8.B
9.BD
10.BCD
11.BCD
12.(103,−1,73)
13.30°
14.−18
15.解：(1)a⋅b=−2+2−2=−2；
(2)2a−b=(2,4,4)−(−2,1,−1)=(4,3,5)，
则|2a−b|= 16+9+25=5 2；
(3)|a|= 1+4+4=3,|b|= 4+1+1= 6，则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−23× 6=− 69．
16.解：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F分别是BD，B1C的中点，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则A1(2,0,2)，E(1,1,0)，B(2,2,0)，F(1,2,1)，
A1E=(−1,1,−2)，BF=(−1,0,1)，
设异面直线A1E与BF所成角为θ，
则csθ=|A1E⋅BF||A1E|⋅|BF|=1 6⋅ 2= 36，
∴异面直线A1E与BF所成角的余弦值为 36；
(2)设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，
DB=(2,2,0)，DF=(1,2,1)，DA1=(2,0,2)，
则n⋅DB=2x+2y=0n⋅DF=x+2y+z=0，取x=1，得n=(1,−1,1)，
∴点A1到平面BDF的距离为d=|DA1⋅n||n|=4 3=4 33．
17.解：(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
因为AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，
AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，
所以AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB⋅BC+AB⋅CC1+BC⋅CC1，
由题意AB2=25，BC2=AD2=9，CC12=AA12=4，
AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cs(180°−90°)=0，AB⋅CC1=|AB|⋅|CC1|cs60°=5×4×12=10，
BC⋅CC1=|BC|⋅|CC1|cs60°=3×4×12=6，
所以AE2=25+9+14×16+0+10+6=54，
所以AE=|AE|=3 6；
(2)AE⋅BC=(AB+BC+CE)⋅BC=AB⋅BC+BC2+12BC⋅CC1=0+9+12×6=12，
|AE|=3 6，|BC|=3，
所以cs=AEBC|AE|⋅|BC|=123 6×3=29 6．
设异面直线AE和BC夹角为θ，则θ∈(0,π2]，
所以csθ=|cs|=29 6．
所以异面直线AE和BC夹角的余弦值为29 6．
18.(1)证明：在△ABC中，BC= 2AB，∠ABC=45°
由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs45°=AB2，
所以AC2+AB2=BC2，即AB⊥AC．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
AB⊥AC，ACC平面ABCD，所以AC⊥平面PAB，
又AC⊂平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．
(2)设AB，BC的中点分别为O，E，连接OP，OE，
因为PA=PB，O为AB的中点，所以PO⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，
所以PO⊥平面ABCD，又OE⊂平面ABCD，所以PO⊥OE．
因为O，E分别为AB，BC的中点，所以OE/​/AC，
又AB⊥AC，所以OE⊥AB，即OB，OE，OP两两互相垂直，
以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=2，则A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(−1,2,0)，D(−3,2,0)，P(0,0, 7)，
设CQCP=λ，则CQ=λCP=(λ,−2λ, 7λ)，λ∈(0,1]，
所以Q(λ−1,2−2λ, 7λ)，
BD=(−4,2,0)，BQ=(λ−2,2−2λ, 7λ)，
设m=(x,y,z)是平面BDQ的法向量，
则m⋅BD=0m⋅BQ=0，即−4x+2y=0(λ−2)x+(2−2λ)y+ 7λz=0，
令x=1，则y=2，z= 7(3λ−2)7λ，
即平面BDQ的一个法向量为m=(1,2, 7(3λ−2)7λ)，
设直线AD与平面BDQ所成角为θ，又AD=(−2,2,0)，
则sinθ=|cs|=|AD⋅m||AD|⋅|m|=22 2× 5+9λ2−12λ+47λ2= 1010，
即9λ2−12λ+47λ2=0，解得λ=23，
所以存在点Q，使得直线AD与平面BDQ所成角的正弦值为 1010，此时CQCP=23．
19.解：(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，有α=β=γ=π2，
所以球球面三角ABC的面积为S=(α+β+γ−π)R2=π2R2；
(2)①证明：由余弦定理有：AC2=R2+R2−2R2csθ1BC2=R2+R2−2R2csθ2AB2=R2+R2−2R2csθ3，且AC2+BC2=AB2，
消掉R2，可得csθ1+csθ2−csθ3=1；
②由AD是球的直径，则AB⊥BD，AC⊥CD，
且AC⊥BC，CD∩BC=C，CD，BC⊂平面BCD，
所以AC⊥平面BCD，且BD⊂平面BCD，则AC⊥BD，
且AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，可得BD⊥平面ABC，
由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为π4，π3，
所以∠DAB=π4,∠DCB=π3，
不妨先令R= 3，则AD=2 3,AB=BD= 6,BC= 2,AC=2，
由AC⊥BC，AC⊥BD，BC⊥BD，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线分别为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，设BE=t,t∈(0, 6],

则A(0,2,0),B( 2,0,0),C(0,0,0),D( 2,0, 6)，
可得S(0,1,0),T( 22,0,0),E( 2,0,t),O( 22,1, 62)，
则CB=( 2,0,0),CO=( 22,1, 62),ST=( 22,−1,0),TE=( 22,0,t)，
设平面OBC的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⊥BCm⊥CO，即m⋅CB= 2x=0m⋅CO= 22x+y+ 62z=0，取z=−2，则y= 6,x=0，
可得平面OBC的一个法向量为m=(0, 6,−2)，
设平面EST法向量为n=(a,b,c)，
则n⊥STn⊥TE，即n⋅ST= 22a−b=0n⋅TE= 22a+tc=0，取a= 2t，则b=t，c=−1，
可得平面EST法向量为n=( 2t,t,−1)，
要使sinθ取最小值，则|csθ|取最大值，
因为|csθ|=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=| 6t+2| 10⋅ 3t2+1=1 5×| 3t+ 2| 3t2+1，
=1 5× ( 3t+ 2)23t2+1=1 5× 1+2 6t+13t2+1，
令m=2 6t+1,m∈(1,13]，则t=m−12 6,3t2=(m−1)28，
可得2 6t+13t2+1=m(m−1)28+1=8mm2−2m+9=8m+9m−2≤86−2=2，
当且仅当m=3,t=1 6取等号，
则|csθ|取最大值 3 5，sinθ= 1−cs2θ= 105为最小值．