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2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，第1.2小题每小题4分，第3、4小题每小题5分，共18分。
1.方程x2−2 3x+1=0的两个根可分别作为( )
A. 椭圆和双曲线的离心率B. 两双曲线的离心率
C. 两椭圆的离心率D. 以上皆错
2.“a2+b2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分必要条件
3.已知方程b2x2−a2[k(x−b)]2−a2b2=0(b>a>0)的根大于a，则实数k满足( )
A. |k|>baB. |k|abD. |k|4.设曲线E的方程为4x2+9y2=1，动点A(m,n)，B(−m,n)，C(−m,−n)，D(m,−n)在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是( )
A. ①错，②对B. ①对，②错C. ①②都错D. ①②都对
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.以圆x2+y2=4上点(1, 3)为切点的圆切线方程是______．
6.抛物线y=2x2的焦点坐标是 ．
7.已知函数f(x)= mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．
8.已知F1，F2是椭圆x29+y23=1的两个焦点，过F1的直线交此椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=8，则|AB|=______．
9.双曲线2x2−y2=k的焦距是10，则实数k的值为______．
10.设集合A={m||m−2|<3}，B={m|x2m+2+y2m−3=1是双曲线}，则A∩B= ______．
11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0,2b)，双曲线的渐近线上存在一点P，使得顺次连接A，B，F，P构成平行四边形，则双曲线C的离心率为______．
12.设P是椭圆x24+y2=1第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______．
13.若直线ax+y+b−1=0(a>0,b>0)过抛物线y2=4x的焦点F，则1a+1b的最小值是______．
14.已知抛物线对称轴为x轴.若抛物线上的动点到直线3x+4y−12=0的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为______．
15.坐标平面上一点P到点A(1,0)，B(a,2)及到直线x=−1的距离都相等.如果这样的点P有且只有两个，那么实数a的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=| 1−x2−2ax−b|，其中a，b∈R，f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知α，β是方程4x2−4mx+m+2=0的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若f(x)=α2+β2，求f(m)的最小值．
18.(本小题15分)
已知命题p：点M(1,3)不在圆(x+m)2+(y−m)2=16的内部，命题q：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线C2：x2m−t+y2m−t−1=1表示双曲线”．
(1)若“p且q”是真命题，求m的取值范围；
(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
19.(本小题15分)
如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为1m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中．
(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；
(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？
20.(本小题15分)
已知动直线y=kx交圆(x−2)2+y2=4于坐标原点O和点A，交直线x=4于点B，若动点M满足OM=AB，动点M的轨迹C的方程为F(x,y)=0．
(1)试用k表示点A、点B的坐标；
(2)求动点M的轨迹方程F(x,y)=0；
(3)以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由(若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分)．
①对称性；
②顶点坐标(定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点)；
③图形范围；
④渐近线；
⑤对方程F(x,y)=0，当y≥0时，函数y=f(x)的单调性．
21.(本小题18分)
已知直线x+y+ 3=0与椭圆E：x2a2+y2=1有且只有一个公共点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于椭圆的左焦点，S是四边形ABCD的面积，求S的最小值．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.x+ 3y=4
6.(0,18)
7.[0,4]
8.4
9.±503
10.(−1,3)
11.3
12.1
13.4
14.y2=−214x
15.(−1,1)∪(1,+∞)
16. 2−12
17.解：(1)若α，β是方程4x2−4mx+m+2=0的两个实数根．
则Δ=(4m)2−4×4(m+2)≥0，
解得：m∈(−∞,−1]∪[2,+∞)；
(2)若f(x)=α2+β2=(α+β)2−2αβ=m2−m+22=m2−m2−1，
其图象是开口朝上，以m=14为对称轴的抛物线，
由m∈(−∞,−1]∪[2,+∞)；
故当m=−1时，f(m)的最小值为12．
18.解：(1)若p为真：(1+m)2+(3−m)2≥16
解得m≤−1或m≥3，
若q为真：则m2>2m+82m+8>0
解得−44
若“p且q”是真命题，
则m≤−1或m≥3−44，
解得−44；
(2)若s为真，则(m−t)(m−t−1)<0，
即t由q是s的必要不充分条件，
则可得{m|t4}，
即t≥−4t+1≤−2或t≥4，
解得−4≤t≤−3或t≥4．
19.解：(1)建立如图1所示的平面直角坐标系，
则Q(10,6)，P(−10,−10)，
所以kPQ=45，
则直线PQ的方程为45x−y−2=0，即4x−5y−10=0，
故圆心O到直线PQ的距离为d=10 41=10 4141<2，
所以圆O与直线PQ相交，
故仪器Q在仪器P的“盲区”中．
(2)建立如图2所示的平面直角坐标系，
则A(−10,−10)，B(10,−10)，C(10,10)，D(−10,10)，
由题意可知，起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中，
假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为ts，
则P(−10,32t−10),Q(10,10−t)，
所以直线PQ的斜率为kPQ=8−t8，
则直线PQ的方程为y=(10−t)=8−t8(x−10)，即(t−8)x+8y−2t=0，
从而点O到直线PQ的距离为d=|−2t| (t−8)2+64≤2，
解得t≤8，
又t≥0，
所以0≤t≤8，
故在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为8s．
20.解：(1)(x−2)2+y2=4y=kx，得x=0y=0或x=41+k2y=4k1+k2，
即点A(41+k2, 4k1+k2)．x=4y=kx，得x=4y=4k，即点B(4,4k).…4分
(2)OM=AB=(4k21+k2,4k31+k2)，则点M的参数方程为x=4k21+k2y=4k31+k2(k为参数)，
消去参数k，得x3+xy2−4y2=0.…8分
(3)①关于x轴对称；
将方程中的(x,y)换成(x,−y)，方程的形式不变，则曲线C关于x轴对称．
②曲线C的顶点为(0,0)；
在方程x3+xy2−4y2=0中，令y=0，得x=0.则曲线C的顶点坐标为(0,0)．
③图象范围：0≤x<4，y∈R；y2=x34−x≥0，得0≤x<4，y∈R．
④直线x=4是曲线C的渐近线；0≤x<4，y2=x34−x，当x→4时，y→∞.则直线x=4是曲线C的渐近线．
⑤当y≥0时函数y=f(x)在[0,4)上单调递增；y2=x34−x(0≤x<4).设0≤x1则y1221.解：(1)联立x+y+ 3=0x2a2+y2=1，消去y并整理得(1+a2)x2+2 3a2x+2a2=0，
因为直线x+y+ 3=0与椭圆E有且只有一个公共点，
所以Δ=(2 3a2)2−8a2(1+a2)=0，
解得a2=2，
则椭圆E的方程为x22+y2=1；
(2)假设存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称，
不妨设直线PQ的方程为x+2y+t=0，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x+2y+t=0x22+y2=1，消去x并整理得6y2+4ty+t2−2=0，
此时Δ=16t2−24(t2−2)>0，
解得− 6由韦达定理得y1+y2=−2t3，
所以x1+x2=−2(y1+y2)−2t=−2t3，
则2×x1+x22−y1+y22−λ=−2t3+t3−λ=−t3−λ=0，
解得λ=−t3∈(− 63, 63)，
故存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称，
且λ的取值范围为(− 63, 63)；
(3)易知椭圆的左焦点为(−1,0)，
当对角线AC与BD中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时，
此时四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×2a×2b2a=12×2 2×2 2=2；
当对角线AC与BD的斜率即存在，又不为零时，
不妨设直线AC的方程为x=ty−1，t≠0，A(x1,y1)，C(x2,y2)，B(x3,y3)D(x4,y4)，
可得直线BD的方程为x=−1ty−1，
联立x=ty−1x22+y2=1，消去并整理x得(t2+2)y2−2ty−1=0，
由韦达定理得y1+y2=2tt2+2，y1y2=−1t2+2，
所以|AC|= 1+t2 (y1+y2)2−4y2y2= 1+t2 (2tt2+2)2+4t2+2=2 2(t2+1)t2+2，
同理得|BD|=2 2(1t2+1)1t2+2=2 2(t2+1)2t2+1，
此时四边形ABCD的面积S=12|AC|⋅|CD|=12⋅2 2(t2+1)t2+2⋅2 2(t2+1)2t2+1=4(t2+1)2(t2+2)(2t2+1)，
不妨令m=t2+1，m>1，
此时4(t2+1)2(t2+2)(2t2+1)=4m2(m+1)(2m−1)=4×m22t2+t−1
=4×12+1m−1m2=4×1−(1m−12)2+2+14，
因为m>1，
所以0<1m<1，
即2<−(1m−12)2+94≤94，
此时94≤1−(1m−12)2+2+14<12，
则169≤S四边形ABCD<2，
综上得，四边形ABCD的面积的最小值为169．
一、单选题：本题共4小题，第1.2小题每小题4分，第3、4小题每小题5分，共18分。
1.方程x2−2 3x+1=0的两个根可分别作为( )
A. 椭圆和双曲线的离心率B. 两双曲线的离心率
C. 两椭圆的离心率D. 以上皆错
2.“a2+b2
3.已知方程b2x2−a2[k(x−b)]2−a2b2=0(b>a>0)的根大于a，则实数k满足( )
A. |k|>baB. |k|
A. ①错，②对B. ①对，②错C. ①②都错D. ①②都对
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.以圆x2+y2=4上点(1, 3)为切点的圆切线方程是______．
6.抛物线y=2x2的焦点坐标是 ．
7.已知函数f(x)= mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．
8.已知F1，F2是椭圆x29+y23=1的两个焦点，过F1的直线交此椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=8，则|AB|=______．
9.双曲线2x2−y2=k的焦距是10，则实数k的值为______．
10.设集合A={m||m−2|<3}，B={m|x2m+2+y2m−3=1是双曲线}，则A∩B= ______．
11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0,2b)，双曲线的渐近线上存在一点P，使得顺次连接A，B，F，P构成平行四边形，则双曲线C的离心率为______．
12.设P是椭圆x24+y2=1第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______．
13.若直线ax+y+b−1=0(a>0,b>0)过抛物线y2=4x的焦点F，则1a+1b的最小值是______．
14.已知抛物线对称轴为x轴.若抛物线上的动点到直线3x+4y−12=0的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为______．
15.坐标平面上一点P到点A(1,0)，B(a,2)及到直线x=−1的距离都相等.如果这样的点P有且只有两个，那么实数a的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=| 1−x2−2ax−b|，其中a，b∈R，f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知α，β是方程4x2−4mx+m+2=0的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若f(x)=α2+β2，求f(m)的最小值．
18.(本小题15分)
已知命题p：点M(1,3)不在圆(x+m)2+(y−m)2=16的内部，命题q：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线C2：x2m−t+y2m−t−1=1表示双曲线”．
(1)若“p且q”是真命题，求m的取值范围；
(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
19.(本小题15分)
如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为1m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中．
(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；
(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？
20.(本小题15分)
已知动直线y=kx交圆(x−2)2+y2=4于坐标原点O和点A，交直线x=4于点B，若动点M满足OM=AB，动点M的轨迹C的方程为F(x,y)=0．
(1)试用k表示点A、点B的坐标；
(2)求动点M的轨迹方程F(x,y)=0；
(3)以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由(若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分)．
①对称性；
②顶点坐标(定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点)；
③图形范围；
④渐近线；
⑤对方程F(x,y)=0，当y≥0时，函数y=f(x)的单调性．
21.(本小题18分)
已知直线x+y+ 3=0与椭圆E：x2a2+y2=1有且只有一个公共点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于椭圆的左焦点，S是四边形ABCD的面积，求S的最小值．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.x+ 3y=4
6.(0,18)
7.[0,4]
8.4
9.±503
10.(−1,3)
11.3
12.1
13.4
14.y2=−214x
15.(−1,1)∪(1,+∞)
16. 2−12
17.解：(1)若α，β是方程4x2−4mx+m+2=0的两个实数根．
则Δ=(4m)2−4×4(m+2)≥0，
解得：m∈(−∞,−1]∪[2,+∞)；
(2)若f(x)=α2+β2=(α+β)2−2αβ=m2−m+22=m2−m2−1，
其图象是开口朝上，以m=14为对称轴的抛物线，
由m∈(−∞,−1]∪[2,+∞)；
故当m=−1时，f(m)的最小值为12．
18.解：(1)若p为真：(1+m)2+(3−m)2≥16
解得m≤−1或m≥3，
若q为真：则m2>2m+82m+8>0
解得−4
若“p且q”是真命题，
则m≤−1或m≥3−4
解得−4
(2)若s为真，则(m−t)(m−t−1)<0，
即t
则可得{m|t
即t≥−4t+1≤−2或t≥4，
解得−4≤t≤−3或t≥4．
19.解：(1)建立如图1所示的平面直角坐标系，
则Q(10,6)，P(−10,−10)，
所以kPQ=45，
则直线PQ的方程为45x−y−2=0，即4x−5y−10=0，
故圆心O到直线PQ的距离为d=10 41=10 4141<2，
所以圆O与直线PQ相交，
故仪器Q在仪器P的“盲区”中．
(2)建立如图2所示的平面直角坐标系，
则A(−10,−10)，B(10,−10)，C(10,10)，D(−10,10)，
由题意可知，起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中，
假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为ts，
则P(−10,32t−10),Q(10,10−t)，
所以直线PQ的斜率为kPQ=8−t8，
则直线PQ的方程为y=(10−t)=8−t8(x−10)，即(t−8)x+8y−2t=0，
从而点O到直线PQ的距离为d=|−2t| (t−8)2+64≤2，
解得t≤8，
又t≥0，
所以0≤t≤8，
故在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为8s．
20.解：(1)(x−2)2+y2=4y=kx，得x=0y=0或x=41+k2y=4k1+k2，
即点A(41+k2, 4k1+k2)．x=4y=kx，得x=4y=4k，即点B(4,4k).…4分
(2)OM=AB=(4k21+k2,4k31+k2)，则点M的参数方程为x=4k21+k2y=4k31+k2(k为参数)，
消去参数k，得x3+xy2−4y2=0.…8分
(3)①关于x轴对称；
将方程中的(x,y)换成(x,−y)，方程的形式不变，则曲线C关于x轴对称．
②曲线C的顶点为(0,0)；
在方程x3+xy2−4y2=0中，令y=0，得x=0.则曲线C的顶点坐标为(0,0)．
③图象范围：0≤x<4，y∈R；y2=x34−x≥0，得0≤x<4，y∈R．
④直线x=4是曲线C的渐近线；0≤x<4，y2=x34−x，当x→4时，y→∞.则直线x=4是曲线C的渐近线．
⑤当y≥0时函数y=f(x)在[0,4)上单调递增；y2=x34−x(0≤x<4).设0≤x1
因为直线x+y+ 3=0与椭圆E有且只有一个公共点，
所以Δ=(2 3a2)2−8a2(1+a2)=0，
解得a2=2，
则椭圆E的方程为x22+y2=1；
(2)假设存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称，
不妨设直线PQ的方程为x+2y+t=0，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x+2y+t=0x22+y2=1，消去x并整理得6y2+4ty+t2−2=0，
此时Δ=16t2−24(t2−2)>0，
解得− 6
所以x1+x2=−2(y1+y2)−2t=−2t3，
则2×x1+x22−y1+y22−λ=−2t3+t3−λ=−t3−λ=0，
解得λ=−t3∈(− 63, 63)，
故存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称，
且λ的取值范围为(− 63, 63)；
(3)易知椭圆的左焦点为(−1,0)，
当对角线AC与BD中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时，
此时四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×2a×2b2a=12×2 2×2 2=2；
当对角线AC与BD的斜率即存在，又不为零时，
不妨设直线AC的方程为x=ty−1，t≠0，A(x1,y1)，C(x2,y2)，B(x3,y3)D(x4,y4)，
可得直线BD的方程为x=−1ty−1，
联立x=ty−1x22+y2=1，消去并整理x得(t2+2)y2−2ty−1=0，
由韦达定理得y1+y2=2tt2+2，y1y2=−1t2+2，
所以|AC|= 1+t2 (y1+y2)2−4y2y2= 1+t2 (2tt2+2)2+4t2+2=2 2(t2+1)t2+2，
同理得|BD|=2 2(1t2+1)1t2+2=2 2(t2+1)2t2+1，
此时四边形ABCD的面积S=12|AC|⋅|CD|=12⋅2 2(t2+1)t2+2⋅2 2(t2+1)2t2+1=4(t2+1)2(t2+2)(2t2+1)，
不妨令m=t2+1，m>1，
此时4(t2+1)2(t2+2)(2t2+1)=4m2(m+1)(2m−1)=4×m22t2+t−1
=4×12+1m−1m2=4×1−(1m−12)2+2+14，
因为m>1，
所以0<1m<1，
即2<−(1m−12)2+94≤94，
此时94≤1−(1m−12)2+2+14<12，
则169≤S四边形ABCD<2，
综上得，四边形ABCD的面积的最小值为169．
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